Dãy số và giới hạn

và các bài toán về dãy
số
1.1 Giới thiệu
Chọn đề tài về dãy số, chúng tôi đã tự trước mình một nhiệm vụ vô cùng khó
khăn, bởi đây là một lĩnh vực rất khó và rất rộng, sử dụng nhiều kiến thức khác
nhau của toán học. Hơn thế, trước đó đã có khá nhiều cuốn sách chuyên khảo về
đề tài này. Dù vậy, chúng tôi vẫn muốn cố gắng đóng góp một số kinh nghiệm và
ghi nhận của mình thu lượm được trong quá trình giảng dạy những năm qua.
Tập tài liệu này không phải là một giáo trình về dãy số, lại càng không phải
là một cẩm nang hướng dẫn giải các bài toán dãy số. Tập tài liệu này đúng hơn
hết là những cóp nhặt của tác giả về những phương pháp giải các bài toán dãy
số cùng với những nhận định đôi khi mang đầy tính chủ quan của tác giả. Vì vậy,
hãy coi đây là một tài liệu mở. Hãy tiếp tục triển khai, liên hệ và đúc kết kinh
nghiệm, ghi nhận những cái hay và góp ý cho những cái chưa hay, thậm chí chưa
chính xác.
Trong tài liệu này, không phải tất cả các vấn đề của dãy số đều được đề cập
tới. Ví dụ phần dãy số và bất đẳng thức chỉ được nói đến rất sơ sài, các bài toán
dãy số mà thực chất là các bài toán về đồng dư cũng không được xét tới… Hai
mảng lớn mà tập tài liệu này chú ý đến nhất là bài toán tìm số hạng tổng quát
của một dãy số và bài toán tìm giới hạn dãy số.
Trong tập tài liệu này, các vấn đề và các bài toán có mức độ khó dễ khác
nhau. Có những bài cơ bản, có những bài khó hơn và có những bài rất khó. Vì
vậy, cần phải lựa chọn vấn đề với mức độ thích hợp (ví dụ có một số vấn đề và
bài toán chỉ đụng phải ở mức kỳ thi chọn đội tuyển hoặc quốc tế).
Viết tập tài liệu này, tác giả đã sử dụng rất nhiều nguồn tài liệu khác nhau,
tuy nhiên chỉ có một số bài có ghi nguồn gốc, một số bài không thể xác định được.
4

Bạn đang đọc: Dãy số và giới hạn

phương pháp giải bài toán về dãy số 21
sau đó chứng minh dãy số ban đầu có cùng giới hạn. Tất nhiên, dãy số phụ phải
được xây dựng từ dãy số chính.
Ví dụ 1.26. Dãy số {an} được xác định bởi a1 > 0, a2 > 0 và an+1 = 2/(an +
an−1). Chứng minh rằng dãy số {an} hội tụ và tìm giới hạn của dãy số đó.
Giải. Xét hai dãy
Mn = max{an, an+1, an+2, an+3}
mn = min{an, an+1, an+2, an+3}
Ta chứng minh Mn là dãy số giảm và mn là dãy số tăng. Thật vậy, ta sẽ chứng
minh an+4 ≤ max{an+1, an+3}. Từ đây suy ra Mn+1 = an+1 hoặc an+2 hoặc
an+3 và rõ ràng khi đó Mn = max{an, an+1, an+2, an+3} ≥ Mn+1. Thật vật
nếu an+4 ≥ an+3 thì 2/(an+3 + an+2) ≥ an+3 suy ra 2 ≥ (an+3 + an+2)an+3.
Khi đó an+1 = 2/an+3 − an+2 = 2/an+3 − 2/(an+2 + an+3) − an+2 + an+4 =
2an+2/(an+3 + an+2)an+3 − an+2 + an+4 ≥ an+4 suy ra đpcm. Vậy ta đã chứng
minh được Mn giảm. Tương tự mn tăng. Hai dãy số này đều bị chặn nên hội tụ.
Cuối cùng, ta chỉ còn cần chứng minh hai giới hạn bằng nhau.
Ví dụ 1.27. Dãy số {an} được xác định bởi a1 > 0, a2 > 0 và an+1 =
√
an +
√
an−1. Chứng minh rằng dãy số {an} hội tụ và tìm giới hạn của dãy số đó.
Giải. Xét dãy số Mn = max{an, an+1, 4}.
Nếu Mn = 4 thì an, an+1 ≤ 4, suy ra an+2 ≤ 4, từ đó Mn+1 = 4.
Nếu Mn = an+1 thì an+1 ≥ an, 4. Khi đó
√
an−1 = an+1 −
√
an+1 ≥
√
an+1,
suy ra an+2 =
√
an+
√
an+1 ≤
√
an+
√
an−1 = an+1 suy ra Mn+1 = max{an+1, an+2, 4} =
an+1.
Nếu Mn = an thì an ≥ an+1, 4. Khi đó an+2 =
√
an +
√
an+1 ≤ 2
√
an. Suy ra
Mn+1 ≤ an = Mn.
Vậy trong mọi trường hợp thì Mn+1 ≤ Mn, tức là dãy {Mn} là dãy số giảm.
Do Mn bị chặn dưới bởi 4 nên dãy này có giới hạn. Ta chứng minh giới hạn này
bằng 4. Thực vậy, giả sử giới hạn là M > 4. Khi đó với mọi > 0, tồn tại N sao
cho với mọi n ≥ N thì M − < Mn < M +. Chọn n ∈ N sao cho Mn+2 = an+2 (theo các lập luận ở trên và do M > 4 thì tồn tại chỉ số n như vậy). Ta có
M − < Mn+2 = an+2 = √ an + √ an−1 < 2 √ M + hay M(M − 4) − (2M + 4 − ) < 0 Mâu thuẫn vì M > 4 và có thể chọn nhỏ tuỳ ý.

37
1. Tổng 20 số hạng liên tiếp của dãy số là không âm.
2. |aiai+1| ≤ 1 với mọi i = 1, 2,. . ., 2009.
Hãy tìm min 2001
i=1 ai.
Bài 1.37 (Ba Lan 2001). Cho dãy số {an} xác định bởi a0 = 1, an = a[7n/9] +
a[n/9], n = 1, 2,. .. Chứng minh rằng tồn tại k sao cho ak < k/2001!. Bài 1.38 (Trung Quốc 1997). Cho a1, a2,. .. là dãy số thực thoả mãn điều kiện an+m ≤ an + am với mọi m, n. Chứng minh rằng an ≤ ma1 + (n/m − 1)am với mọi n ≥ m. Bài 1.39 (Singapore 1997). Cho dãy số {an} xác định bởi a0 = 1/2, ak+1 = ak + a2 k/n, k = 1, 2,. . ., n − 1. Chứng minh rằng 1 − 1/n < an < 1. Hướng dẫn: Chứng minh bằng quy nạp rằng (n + 1)/(2n − k + 2) < ak < n/(2n − k). Bài 1.40 (Baltic Way). Giả sử a1, a2,. . ., a9 là các số không âm sao cho a1 = a9 = 0 và ít nhất có một số khác 0. Chứng minh rằng tồn tại chỉ số i, 2 ≤ i ≤ 8 sao cho ai−1 + ai+1 < 2ai. Khẳng định có còn đúng không nếu thay 2 ở bất đẳng thức cuối cùng bằng 1.9? Bài 1.41. Dãy số an được xác định bởi công thức truy hồi a0 = 1, an+1 = an 1 + nan , n = 0, 1, 2,. . . Hãy tìm công thức tổng quát cho an. Bài 1.42 (Việt Nam, 1984). Dãy số u1, u2,. .. được xác định bởi: u1 = 1, u2 = 2, un+1 = 3un − un−1 với n = 2, 3,. .. Đặt vn = 1≤k≤n arcotguk. Hãy tìm giới hạn vn khi n dần đến vô cùng. Hướng dẫn: Dùng sai phân. Bài 1.43 (PTNK, 1999). Cho a > 1 và dãy số {xn} được xác định như sau
x1 = a, xn+1 = nax
với mọi n ≥ 1.
Hãy xác định tất cả các giá trị của a để dãy {xn} hội tụ.