Toán 11 Bài 1: Giới Hạn Của Dãy Số – Lý Thuyết Và Bài Tập Có Lời Giải

Trong chương trình toán học lớp 11, giới hạn của dãy số là một phần kỹ năng và kiến thức khó và dễ sai, vì thế bài viết mang đến kiến thức và kỹ năng gồm có kim chỉ nan về giới hạn dãy số và những dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao như : Tính giới hạn của dãy số hữu tỉ ; tính giới hạn dãy số cho bởi công thức, bởi hệ thức truy hồi ; tính giới hạn của dãy số chứa căn thức, lũy thừa – mũ .

1.  Lý thuyết giới hạn của dãy số

1.1. Dãy số có giới hạn 0

Định nghĩa : Nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý mọi số hạng của dãy số, kể từ một số ít hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó thì dãy số ( un ) đó có giới hạn 0 .
Tính chất :

$lim \frac{1}{n}=0; lim\frac{1}{n^{\alpha}}=0(\alpha>0); limq^{n}=0(\left | q \right |<1)$

Định lý :
USD u_ { n }, v { n } : \ left \ { \ begin { matrix } \ left | u_ { n } \ right | \ leq v_ { n } \ \ lim ( v_ { n } ) = 0 \ end { matrix } \ right. \ Rightarrow lim \, u_ { n } = 0 USD

1.2. Dãy số có giới hạn hữu hạn

Định nghĩa : Dãy số có giới hạn hữu hạn là dãy số lim ( un – L ) = 0 ( L là số thực )
Tính chất :

• USD u_ { n } = c USD, có giới hạn là c ;
• USD lim \, u_ { n } = L \ Leftrightarrow \ left | u_ { n } – L \ right | $ trên trục số thực từ điểm USD u_ { n } $ đến L trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là n đủ lớn

Nói một cách hình ảnh khi N tăng thì những điểm USD u_ { n } $ “ chụm lại ”

• Không phải dãy số nào cũng có giới hạn hữu hạn

Định lý :

• Với $ lim ( u_ { n } ) = L $ thì ta có định lý :

USD lim \ left | u_ { n } \ right | = \ left | L \ right | $ và USD lim \ sqrt [ 3 ] { u_ { n } } = \ sqrt [ 3 ] { L } $ .
Nếu USD u_ { n } \ geq 0 $ với $ \ forall n USD thì $ L \ geq 0 $ và USD lim \ sqrt { u_ { n } } = \ sqrt { L } $

• Nếu USD lim \, u_ { n } = L, lim \, v_ { n } = M $ và c là một hằng số thì ta hoàn toàn có thể suy ra

USD lim ( u_ { n } + v_ { n } ) = L + M USD
USD lim ( u_ { n } – v_ { n } ) = L-M $
USD lim ( u_ { n }, v_ { n } ) = LM $
USD lim ( cu_ { n } ) = cL USD
USD lim \ frac { u_ { n } } { v_ { n } } = \ frac { L } { M } $ ( nếu USD M \ neq 0 $ )

1.3. Dãy số có giới hạn vô cực

1.3.1. Dãy số có giới hạn $ + \ infty USD

Định nghĩa : Nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số ít hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó thì ta gọi đó là dãy số USD ( u_ { n } ) USD có giới hạn $ + \ infty USD
Hay ta hoàn toàn có thể hiểu, USD lim \, u_ { n } = + \ infty USD trong trường hợp USD u_ { n } $ hoàn toàn có thể lớn hơn một số ít dương lớn tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi
Tính chất :
USD lim \ sqrt { u_ { n } } = + \ infty USD
USD lim \ sqrt [ 3 ] { u_ { n } } = + \ infty USD
USD lim \, n ^ { k } = + \ infty USD với 1 số ít nguyên dương k cho trước
Trường hợp đặc biệt quan trọng : USD lim \, q ^ { n } = + \ infty USD
USD lim \, q ^ { n } = + \ infty USD nếu q > 1

1.3.2. Dãy số có giới hạn USD – \ infty USD

Định nghĩa : Nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ 1 số ít hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó thì ta nói đó là dãy số có giới hạn USD – \ infty USD
Ký hiệu : USD lim \, u_ { n } = – \ infty USD
Hay t hoàn toàn có thể hiểu, USD lim \, u_ { n } = – \ infty USD nếu un hoàn toàn có thể nhỏ hơn một số ít âm nhỏ tùy ý .
Tính chất :
USD lim \, u_ { n } = – \ infty \ Leftrightarrow lim ( – u_ { n } ) = + \ infty USD
Nếu USD lim \ left | u_ { n } \ right | = + \ infty USD thì un trở nên lớn bao nhiêu cũng được miễn n đủ lớn. Do đó $ \ left | \ frac { 1 } { u_ { n } } \ right | = \ frac { 1 } { \ left [ u_ { n } \ right ] } $ trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được, miễn n đủ lớn. Nói cách khác, nếu limun = + thì lim 1 un = 0

• Định lý : Nếu USD lim \ left | u_ { n } \ right | = + \ infty USD thì USD lim \ frac { 1 } { u_ { n } } = 0 USD

2. Các dạng toán về giới hạn của dãy số và ví dụ

2.1. Dạng 1 : Tính giới hạn dãy số được cho bởi công thức .

Ví dụ 1 : Tìm $ lim ( n ^ { 3 } – 2 n + 1 ) USD ?
Lời giải :
Ta có : USD n ^ { 3 } – 2 n + 1 = n ^ { 3 } ( 1 – \ frac { 2 } { n ^ { 2 } } + \ frac { 1 } { n ^ { 3 } } $
Vì USD lim \, n ^ { 3 } = + \ infty USD và $ lim ( 1 – \ frac { 2 } { n ^ { 2 } } + \ frac { 1 } { n ^ { 3 } } = 1 > 0 USD nên theo quy tắc 2, $ lim ( n ^ { 3 } – 2 n + 1 ) = + \ infty USD
Ví dụ 2 : Tìm USD lim \ sqrt [ 3 ] { \ frac { 8 n ^ { 2 } – 3 n } { n ^ { 2 } } } $
Lời giải :
USD lim \ sqrt [ 3 ] { \ frac { 8 n ^ { 2 } – 3 n } { n ^ { 2 } } } = lim \ sqrt [ 3 ] { 8 – \ frac { 3 } { n } } = \ sqrt [ 3 ] { 8 } = 2 USD
Ví dụ 3 :
a. Tìm $ A = lim \ frac { 2 n ^ { 2 } + 3 n + 1 } { 3 n ^ { 2 } – n + 2 } $
b. Tìm $ B = \ frac { n ^ { 3 } – 3 n ^ { 2 } + 2 } { n ^ { 4 } + 4 n ^ { 3 } + 1 } $
Lời giải :

2.2. Dạng 2 : Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Ví dụ 1 : Cho dãy số USD ( u_ { n } ) USD được xác lập bởi USD u_ { 1 } = 1, u_ { n + 1 } = \ frac { 2 ( 2 u_ { n } + 1 ) } { u_ { n } + 3 } $ với mọi n ≥ 1. Biết dãy số USD ( u_ { n } ) USD có giới hạn hữu hạn, tính $ lim \, u_ { n } $
Lời giải :
Đặt USD lim \, u_ { n } = L \ Rightarrow L = lim \ frac { 2 ( 2 u_ { n } + 1 ) } { u_ { n } + 3 } $
USD \ Rightarrow L ^ { 2 } – L-2 = 0 \ Rightarrow L = 2 USD hoặc L = – 1 ( loại )
Vậy USD lim \, u_ { n } = 2 USD
Ví dụ 2 : Cho USD ( u_ { n } ) USD có USD u_ { 1 } = 1, u_ { n + 1 } = \ frac { 1 } { 2 } ( u_ { n } + \ frac { 2 } { u_ { n } } ) USD với $ \ forall n \ geq 1 USD. Tìm USD lim \, u_ { n } $ ?
Lời giải :
Sử dụng phương pháp quy nạp ta chứng tỏ được USD u_ { n } > 0 \ forall n USD
Tuy đề bài không phân phối tài liệu là dãy số USD ( u_ { n } ) USD có giới hạn hữu hạn hay không nhưng nhìn đáp án đề bài cho đều là những giới hạn hữu hạn. Nhớ đó, ta thể chứng minh và khẳng định được dãy số USD ( u_ { n } ) USD có giới hạn hữu hạn .
Đặt USD lim \, u_ { n } = L \ geq 0 USD
USD lim \, u_ { n + 1 } = lim \ frac { 1 } { 2 } ( u_ { n } + \ frac { 2 } { u_ { n } } ) USD
Hay $ L = \ frac { 1 } { 2 } ( L + \ frac { 2 } { L } ) \ Rightarrow L = \ frac { 2 } { L } \ Rightarrow L ^ { 2 } = 2 \ Rightarrow L = \ sqrt { 2 } $
Vậy USD lim \, u_ { n } = \ sqrt { 2 } $
Ví dụ 3 : Cho dãy số USD ( u_ { n } ) USD xác lập bởi USD u_ { 1 } = 1 $ và USD u_ { n + 1 } = 2 u_ { n } + \ frac { 1 } { 2 } $ với $ \ forall n \ geq 1 USD. Tìm USD lim \, u_ { n } $ ?
Lời giải :
USD v_ { n } = u_ { n } + \ frac { 1 } { 2 } USD. Ta có : USD v_ { n + 1 } = u_ { n + 1 } + \ frac { 1 } { 2 } + \ frac { 1 } { 2 } = 2 u_ { n } + \ frac { 1 } { 2 } + \ frac { 1 } { 2 } = 2 ( u_ { n } + \ frac { 1 } { 2 } ) = 2 v_ { n } $
USD \ Rightarrow ( v_ { n } ) USD là cấp số nhân có USD v_ { 1 } = \ frac { 3 } { 2 } $ và q = 2. Vậy $ v_ { n } = \ frac { 3 } { 2 }. 3 ^ { n-1 } = 3.2 ^ { n-2 } $
Do đó USD lim \, v_ { n } = lim ( 3.2 ^ { n-2 } ) = + \ infty USD

2.3. Dạng 3 : Tính giới hạn của dãy số chứa căn thức

Ví dụ 1 : Tính USD lim \ sqrt { n ^ { 2 } + 2 n } – n USD
Lời giải :
USD lim ( \ sqrt { n ^ { 2 } + 2 n – n } = lim \ frac { ( \ sqrt { n ^ { 2 } + 2 } n ) + ( \ sqrt { n ^ { 2 } + 2 n } – n ) } { ( \ sqrt { n ^ { 2 } + 2 n } + n ) } = lim \ frac { n ^ { 2 } + 2 n – n ^ { 2 } } { \ sqrt { n ^ { 2 } + 2 n } + n } $

$=lim\frac{2n}{\sqrt{n^{2}+2n}+n}=lim{2}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1}=\frac{2}{1+1}=1$

Ví dụ 2 : Tính giới hạn của USD I = lim ( \ sqrt { n ^ { 2 } – 2 n + 3 } – n ) USD
Lời giải :

$I=lim(\sqrt{n^{2}-2n+3}-n)$
$=lim\frac{(\sqrt{n^{2}-2n+3}-n)(\sqrt{n^{2}-2n+3}-n)}{\sqrt{n^{2}-2n+3}-n}$
$=lim\frac{(n^{2}-2n+3)-n^{2}}{\sqrt{n^{2}-2n+3}+n}$
$=lim\frac{-2n+3}{\sqrt{n^{2}-2n+3}+n}$
$=lim\frac{-2+\frac{3}{n}}{\sqrt{1-\frac{2}{n}+\frac{3}{n^{2}}}+1}$
$=\frac{-2}{\sqrt{1}+1}=-1$

Ví dụ 3 : Tìm $ lim ( n – \ sqrt [ 3 ] { n ^ { 3 } + 3 n ^ { 2 } + 1 } $
Lời giải :

2.4 Dạng 4 : Tính giới hạn của dãy số hữu tỉ

Ví dụ 1 : Cho a = 2.151515 …, số a còn được trình diễn dưới dạng $ a = \ frac { m } { n } $, ( m, n là những số nguyên dương ). m + n = ?
Lời giải :
Ta có : USD a = 2,151515 … = 2 + \ frac { 15 } { 100 } + \ frac { 15 } { 100 ^ { 2 } } + \ frac { 15 } { 100 ^ { 3 } } + … USD
Vì $ \ frac { 15 } { 100 } + \ frac { 15 } { 100 ^ { 2 } } + \ frac { 15 } { 100 ^ { 3 } } + … USD là tổng của csn lùi vô hạn với USD u_ { 1 } = \ frac { 15 } { 100 }, q = \ frac { 1 } { 100 } USD
USD \ Rightarrow a = 2 + \ frac { \ frac { 15 } { 100 } } { 1 – \ frac { 1 } { 100 } } = \ frac { 71 } { 33 } $
Vậy USD m = 71, n = 33 \ Rightarrow m + n = 104 USD
Ví dụ 2 : Bài cho số thập phân vô hạn tuần hoàn có dạng 0,32111 … Cũng được viết dưới dạng phân số tối giản là $ \ frac { a } { b } $ ( a, b là những số nguyên dương ). a – b = ?
Lời giải :
Ta có :

$0,3211…=\frac{32}{100}+\frac{1}{10^{3}}+\frac{1}{10^{4}}+\frac{1}{10^{5}}+…=\frac{32}{100}+\frac{\frac{1}{10^{3}}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{289}{900}$
Vậy a = 289, b = 900 Do đó, a – b = -611

Ví dụ 3 : Tính USD lim \ left [ \ frac { 1 } { 1.3 } + \ frac { 1 } { 3.5 } + … + \ frac { 1 } { ( 2 n – 1 ) ( 2 n + 1 ) } \ right ] $
USD \ frac { 1 } { 1.3 } + \ frac { 1 } { 3.5 } + … + \ frac { 1 } { ( 2 n – 1 ) ( 2 n + 1 ) } = \ frac { 1 } { 2 } ( 1 – \ frac { 1 } { 3 } + \ frac { 1 } { 3 } – \ frac { 1 } { 5 } + …. + \ frac { 1 } { 2 n – 1 } – \ frac { 1 } { 2 n + 1 } ) = \ frac { 1 } { 2 } ( 1 – \ frac { 1 } { 2 n + 1 } ) USD
Vậy USD lim \ left [ \ frac { 1 } { 1.3 } + \ frac { 1 } { 3.5 } + … + \ frac { 1 } { ( 2 n – 1 ) ( 2 n + 1 ) } \ right ] = lim \ frac { 1 } { 2 } ( 1 – \ frac { 1 } { 2 n + 1 } ) = \ frac { 1 } { 2 } $

2.5 Dạng 5 : Tính giới hạn của dãy số chứa lũy thừa – mũ

Ví dụ 1 : USD lim \ frac { 4 ^ { n + 1 } + 6 ^ { n + 2 } } { 5 ^ { n } + 8 ^ { n } } = ? USD
Lời giải :
USD lim \ frac { 4 ^ { n + 1 } + 6 ^ { n + 2 } } { 5 ^ { n } + 8 ^ { n } } = lim \ frac { 4 ( \ frac { 4 } { 8 } ) ^ { n } + 36 ( \ frac { 6 } { 8 } ) ^ { n } } { ( \ frac { 5 } { 8 } ) ^ { n } + 1 } = 0 USD
Ví dụ 2 : USD lim \ frac { 2 ^ { n } – 3 ^ { n } } { 2 ^ { n } + 1 } = ? USD
Lời giải :

Ví dụ 3 : USD lim ( 3.2 ^ { n } – 5.3 ^ { n } + 7 n ) = ? USD

Lời giải:
$lim(3.2^{n}-5.3{n}+7n)=3^{n}(-5+6(\frac{2}{3})^{n}+7)=-\infty$

3. Một số bài tập về giới hạn của dãy số từ cơ bản đến nâng cao (Có lời giải)

Ví dụ 1 : Xác định những giới hạn cho lưới đây :
a. $ lim \ frac { 6 n – 1 } { 3 n + 2 } $
b. $ lim \ frac { 3 n ^ { 2 } + n-5 } { 2 n ^ { 2 } + 1 } $
Lời giải :
a. $ lim \ frac { 6 n – 1 } { 3 n + 2 } = lim \ frac { n ( 6 – \ frac { 1 } { n } ) } { n ( 3 + \ frac { 2 } { n } ) } = lim \ frac { 6 – \ frac { 1 } { n } } { 3 + \ frac { 2 } { n } } = \ frac { 6-9 } { 3-0 } = 2 USD
b. $ lim \ frac { 3 n ^ { 2 } + n-5 } { 2 n ^ { 2 } + 1 } = limn23 + 1 n – 5 n2n23 + 2 n = lim { 3 + \ frac { 1 } { n } – \ frac { 5 } { n ^ { 2 } } } { 2 + \ frac { 1 } { n ^ { 2 } } } = \ frac { 3 } { 2 } $
Ví dụ 2 : lim ( 5 n – 2 n )
Lời giải :
Ta có : USD 5 ^ { n } – 2 ^ { n } = 5 ^ { n } ( 1 – ( \ frac { 2 } { 5 } ^ { n } ) USD
Vì USD lim5 ^ { n } = + \ infty USD và $ lim ( 1 – ( \ frac { 2 } { 5 } ^ { n } ) = 1 > 0 USD nên theo quy tắc 2, $ lim ( 5 ^ { n } – 2 ^ { n } ) = + \ infty USD
Ví dụ 3 : Tìm lim ( 3.2 n + 1 – 5.3 n + 7 n ) = ?
Lời giải :

$lim(3.2^{n+1}-5.3^{n}+7n)=3^{n}(-5+6(\frac{2}{3})^{n}+7\frac{n}{3^{n}}=-\infty$
Ví dụ 4: Cho dãy số (un) xác định u1=0, u2=1, un+1=2un-un-1+2 với mọi $n\geq 2$. Tìm lim un?

Lời giải :
Giả sử dãy số trên có giới hạn hữu hạn gọi là L
USD \ Rightarrow lim \, u_ { n } = 2 lim \, u_ { n } – lim \, u_ { n-1 } + 2 \ Leftrightarrow L = 2L – L + 2 \ Leftrightarrow 0 = 2 USD ( Vô lý )
Vậy hoàn toàn có thể Dự kiến dãy số có giới hạn vô cực. Nhìn vào đáp án ta thấy có hai đáp án vô cực ( USD – \ infty USD và $ + \ infty USD ), vậy chưa thể đoán là đáp án nào. Ta xem hai cách giải sau .
Ta có : u1 = 0, u2 = 1, u3 = 4, u4 = 9. Vậy ta hoàn toàn có thể Dự kiến un = ( n – 1 ) 2 với $ \ forall n \ geq 1 USD. Khi đó ,
un + 1 = 2 un – un-1 + 2 = 2 ( n – 1 ) 2 – ( n – 22 + 2 ) = n2
= [ ( n – 1 ) – 1 ] 2
Vậy USD u_ { n } = ( n-1 ) ^ { 2 } $ với $ \ forall n \ geq 1 USD. Do đó, USD lim \, u_ { n } = lim ( n-1 ) ^ { 2 } = + \ infty USD
Ví dụ 5 : Cho dãy số ( un ) với USD u_ { n } = \ frac { 1 } { 2 } – \ frac { 1 } { 4 } + \ frac { 1 } { 8 } + … + \ frac { ( – 1 ) ^ { n + 1 } } { 2 } USD. Tìm lim un
Lời giải :
un là tổng n số hạng tiên phong của một cấp số nhân có USD u_ { 1 } = \ frac { 1 } { 2 } $ và USD q = \ frac { – 1 } { 2 } $
Do đó USD u_ { n } = \ frac { 1 } { 2 }. \ frac { 1 – ( \ frac { 1 } { 2 } ) ^ { n } } { 1 – ( \ frac { 1 } { 2 } ) } = \ frac { 1 } { 3 } ( 1 – ( \ frac { 1 } { 2 } ) ^ { n } \ Rightarrow lim \, u_ { n } = lim \ frac { 1 } { 3 } ( 1 – ( \ frac { 1 } { 2 } ) ^ { n } ) = \ frac { 1 } { 3 } $
Ví dụ 6 : Tìm USD lim \, u_ { n } $, với USD u_ { n } = \ frac { 1 + 2 + … + n } { n ^ { 2 } + 1 } $ .
Lời giải :
Ta có : USD 1 + 2 + .. + n = \ frac { n ( n + 1 ) } { 2 } \ Rightarrow \ frac { 1 + 2 + … + n } { n ^ { 2 } + 1 } = \ frac { n ( n + 1 ) } { 2 ( n ^ { 2 } + 1 ) } $
USD \ Rightarrow lim \, u_ { n } = lim \ frac { n ( n + 1 ) } { 2 ( n ^ { 2 } + 1 ) } = \ frac { 1 } { 2 } $
Ví dụ 7 : Tìm USD lim \ frac { 1 + 5 + 9 + … + 4 n – 3 } { 2 + 7 + 12 + … + 5 n – 3 } $
Lời giải :

Ví dụ 8 : Tìm USD D = lim \ sqrt { n ^ { 2 } + 2 n } – \ sqrt [ 3 ] { n ^ { 3 } + 2 n ^ { 2 } } $
Lời giải :

Ví dụ 9 : Thực hiện trang trí lại ngôi nhà của mình, chú mèo Tom quyết định hành động tô màu một miếng vải hình vuông vắn cạnh bằng 1, mèo Tom tô màu xám những hình vuông vắn nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3 ,., n, .., Biết cạnh của hình vuông vắn trước gấp đôi cạnh hình vuông vắn sau nó ( Giả sử quy trình tiến độ tô màu của mèo Tom hoàn toàn có thể diễn ra vô hạn ) .
a. Xác định u1, u2, u3 và un
b. Tính lim $ S_ { n } $ với Sn = u1 + u2 + u3 + … + un
Lời giải :
a. $ u_ { 1 } = \ frac { 1 } { 4 }, u_ { 2 } = \ frac { 1 } { 4 }. ( \ frac { 1 } { 4 } ) = \ frac { 1 } { 4 ^ { 2 } }, …, u_ { n } = \ frac { 1 } { 4 ^ { n } } $
b. $ lim S_ { n } = lim14 + 142 + … + 14 n = 141 – 14 = 13 USD

Ví dụ 10: Tìm $lim(\frac{1}{n^{2}+1}+\frac{2}{n^{2}+2}+…+\frac{n}{n^{2}+n})$

Lời giải :

Bài viết trên đã trình làng cho những em phần triết lý cơ bản và những dạng bài 1 giới hạn của dãy số. Đây là một phần kỹ năng và kiến thức khó và quan trọng trong chương trình toán 11 nên để đạt được tác dụng tốt nhất những em học cần phải nắm rõ kim chỉ nan và rèn luyện thêm những dạng bài tập. Các em học viên hoàn toàn có thể truy vấn nền tảng Vuihoc. vn và ĐK thông tin tài khoản để luyện đề ngay thời điểm ngày hôm nay nhé !

Source: https://vh2.com.vn
Category : Doanh Nghiệp