Tổng và tổng trực tiếp các không gian con – https://vh2.com.vn

Định nghĩa 3.3.2 Cho A, B / V là hai không gian con của không gian vectơ V.
Đặt

A+B ={z=x+y | x∈A,y∈B}

Khi đó, A+B đ-ợc gọi là tổng của hai không gian con A vàB.

Định lí 3.3.5 NếuA, B / V thì A+B / V, A∩B / V, nói cách khác tổng và giao
của hai không gian con cũng là không gian con.

Chứng minh. Thật vậy, với t∈A+B, z∈A+B là 2 véctơ bất kì. Khi đó, tồn
tại các vectơ x1,x2 ∈A, y1,y2∈B sao cho

t=x1+y1, z=x2+y2.

∀α, β ∈K, ta có

u=αt+βz=α(x1+y1) +β(x2+y2) = (αx1+βx2) + (αy1+βy2)
DoA / V và B / V nên αx1+βx2 ∈A, αy1+βy2 ∈ B. Suy ra u ∈ A+B, vậy

A+B / V.

Nhận xét rằng định lí có thể mở rộng cho tổng và giao của hữu hạn các không
gian con Vi/ V, i= 1, k:
V1+V2 +ã ã ã+Vk ={x1+x2+ã ã ã+xk | xi∈ Vi ∀i= 1, k}và
k
\
i=1
Vi

là các không gian con của V.

Chú ý rằng hợp của hai không gian con nói chung không là không gian con. Ta hoàn toàn có thể thấy điều chứng minh và khẳng định đó trong ví dụ saụ

Ví dụ 3.3.5

Xét 2 không gian con trong R2

A={(x,0) | x∈R} và B ={(0, y)| y∈R}
Hiển nhiênA /R2, B /R2 và

A+B ={(x, y)| x, y∈R}=R2.

Tuy nhiên A∪B không là không gian con của R2 do phép cộng 2 véctơ
không đóng trongA∪B. Chẳng hạn 2 véc tơ a= (1,0), b = (0,1) ∈A∪B

tuy nhiên a+b = (1,1)∈/ A∪B.

Định nghĩa 3.3.3 ChoAvàB là hai không gian con của không gian vectơV. Nếu
A∩B ={0} thìA+B đ-ợc gọi là tổng trực tiếp của A và B, kí hiệuA⊕B.

Trong ví dụ 3.3.5 ở trên, với 2 không gian con củaR2

A={(x,0) | x∈R} và B ={(0, y)| y∈R}
do A∩B ={(0,0)}, ta có

A⊕B =R2.

Định lí 3.3.6 Mọi véctơ trong tổng trực tiếp u∈A⊕B đ-ợc phân tích duy nhất

Chứng minh. Giả sử véctơ u∈A⊕B có hai cách phân tích

u=a1+b1 =a2+b2, a1,a2 ∈A, b1,b2 ∈B

Khi đóa1−a2 =b2−b1. Mặt khác a1−a2 ∈A và b1−b2 ∈B, suy ra

a1−a2 =b2−b1 ∈A∩B ={0}.

Vậya1−a2 =0 và b2−b1 =0 hay a1 =a2 và b1 =b2, đ.p.c.m.

Định lí 3.3.7 Nếu A, B / V là hai không gian con hữu hạn chiều của không gian
véctơV thì

dim(A+B) = dimA+ dimB−dim(A∩B)

Đặc biệt,dim(A⊕B) = dimA+ dimB.

Chứng minh. Giả sử dim(A∩B) = k, dimA = n,dimB = m. Chọn một cơ sở
bất kì củaA∩B

M ={c1,c2,. .. ,ck}

Theo định lí 3.2.4 ta sẽ bổ sung véctơ để mở rộngM thành các cơ sở củaA, cũng
nh- cơ sở củaB. Bổ sung (n−k) vec tơ a1,a2,. .. ,an−k để hệ

A={a1,a2,. .. ,an−k,c1,c2,. .. ,ck} là cơ sở của Ạ

Bổ sung(m−k) vec tơ b1,b2,. .. ,bm−k để hệ

B={b1,b2,. .. ,bm−k,c1,c2,. .. ,ck} là cơ sở của B.

Ta sẽ chứng minh m+n−k vec tơ

C={a1,a2,. .. ,an−k,b1,b2,. .. ,bm−k,c1,c2,. .. ,ck}
là một cơ sở của A+B.

Thật vậy, xét tổ hợp tuyến tính của các véctơ trong hệ C

α1a1+α2a2+.. .+αn−kan−k +β1c1+β2c2+.. .+βkck+
+γ1b1+γ2b2+.. .+γm−kbm−k =0 hay a+b+c=0

trong đó a= α1a1+α2a2+.. .+αn−kan−k, b=γ1b1+γ2b2+.. .+γm−kbm−k

vàc=β1c1+β2c2+.. .+βkck.
Doa =−b−c∈ B và a=X

khi a=0. Vậy b+c=−a=0.

T-ơng tự từ đẳng thức b+c=0 suy ra b=c=0.

Các véctơ a = b = c = 0 kéo theo các hệ số αi, βi, γi bằng 0. Điều đó chứng
minh

C={a1,a2,. .. ,an−k,b1,b2,. .. ,bm−k,c1,c2,. .. ,ck}
là cơ sở của A+B. Từ đây suy ra dim(A+B) =n+m−k hay

dim(A+B) = dimA+ dimB−dim(A∩B).

Ví dụ 3.3.6

1. Trong R3, xét hai không gian con

A={(x, y,0) | x, y∈R} và B ={(0,0, z) | z ∈R}

Rõ ràng A /R3, B /R3. Hơn nữa M = {e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0)} là
cơ sở của A và N = {e3 = (0,0,1)} là cơ sở của B. Do A∩B = 0 nên

R3 =A⊕B.

2. Xét trong R3 hai không gian vectơ con (về mặt hình học là 2 mặt phẳng đi
qua (0,0,0))

A={(x1, x2, x3) | x1+x2−x3 = 0}

B ={(y1, y2, y3) | y1−y2+y3 = 0}

Chọn các cơ sở của A và B lần l-ợt là M = {a1 = (1,0,1),a2 = (0,1,1)}
và N = {b1 = (1,1,0),b2 = (0,1,1)}. Không gian A∩B (giao của 2 mặt
phẳng) gồm các véctơ (x1, x2, x3)∈R3 thỏa mãn hệ ph-ơng trình

(
x1+x2−x3 = 0
x1−x2+x3 = 0 hay


x1
x2
x3

=C


0
1
1



trong đó C ∈R tùy ý, là không gian con một chiều vớib2 = (0,1,1) là cơ
sở của A∩B. (Về mặt hình họcA∩B là đ-ờng thẳng đi qua(0,0,0) nhận

b2 = (0,1,1) làm véctơ chỉ ph-ơng).

3. Các nghiệm của hệ ph-ơng trình





x−3y+z = 0
−x−2y+z = 0
4x+ 3y−2z = 0
có thể coi là giao
của ba mặt phẳng đi qua (0,0,0) (ba không gian con) hoặc giao của hai
không gian con d-ới đây củaR3

(d) :

(

x−3y+z = 0

−x−2y+z = 0 và (P) : 4x+ 3y−2z = 0.

Về mặt hình học(d)là đ-ờng thẳng nằm trong mặt phẳng(P), do đó giao
của chúng bằng(d). Đó chính là không gian con sinh bởi véctơ (1,2,5).
4. Kí hiệu A và B là các không gian con củaR3

A={(x, y, z) |x−3y+z = 0}, B ={(x, y, z)| 4x+ 3y−2z = 0}.

Hiển nhiênA+B =R3, tuy nhiên đó không là tổng trực tiếp, doA và B

là các mặt phẳng đi qua gốc tọa độ trong R3, A∩B là đ-ờng thẳng giao
của 2 mặt phẳng nênA∩B 6={0}.

Nhận xét rằng doB là không gian véc tơ trongR3 nên tập hợp {a−b |a∈

A,b∈B}, kí hiệuA−B cũng là tập hợp các véc tơ {a+b| a∈A,b∈B}.
Do đó A−B =A+B =R3.

5. Nếu kí hiệu C là không gian con

(

x−3y+z = 0

−x−2y+z = 0 vàD là không gian
con sinh bởi véctơ b = (3,−4,0), khi đó tổng trực tiếp C ⊕D chính là
không gian conB ={(x, y, z) |4x+ 3y−2z = 0}

B =C⊕D.

Thật vậy về mặt hình họcC là đ-ờng thẳng đi qua gốc tọa độ nhận véc tơ

a= (1,2,5) làm véc tơ chỉ ph-ơng. Suy ra C =

L

(a) và D =

L

(b). Hai
đ-ờng thẳng (không gian con)C và D có tổng trực tiếp là mặt phẳng đi
qua gốc tọa độ chứa 2 véc tơ avà b. Dễ dàng kiểm tra thấy a,b∈B, suy
ra B =C⊕D.

Nhận xét rằng theo định lí 3.3.6, mọi véc tơ trongB phân tích duy nhất theo
2 véc tơa và b

Source: https://vh2.com.vn
Category : Trái Đất