Công thức tính Tích vô hướng của hai vecto trong không gian cực hay

Công thức tính Tích vô hướng của hai vecto trong không gian cực hay

Bài giảng: Các dạng bài tập hệ trục tọa độ trong không gian – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Quảng cáo

+ Tích vô hướng của hai vecto :

    a→.b→=a1.b1+ a2.b2+ a3.b3

+ a→⊥b→⇔a1.b1+ a2.b2+ a3.b3=0

+ a→2=a12+a22+a32

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các vecto a→=(1;2;1),

b→=(3;-1;2), c→=(4; -1; -3),d→=(3; -3; -5),u→=(1;m;2),m∈R.

a) Tính a→.b→; b→(a→-2c→)

b) So sánh a→.(b→.c→) và (a→.b→ ) c→

c) Tính các góc (a→,b→ ), ( a→+b→,3a→– 2c→ )

d) Tìm m để u→⊥(b→+d→)

e) Tìm m để (u→,a→ )=600

Quảng cáo

Hướng dẫn:

a) a→
=(1;2;1),b→
=(3;-1;2)

⇒a→
.b→
=1.3+2.(-1)+1.2=3.

c→
=(4; -1; -3)⇒2c→
=(8; -2; -6)⇒ a→
-2c→
=(-7;4;7)

⇒b→
(a→
-2c→
)=3.(-7)-1.4+2.7=-11

b) b→
.c→
=3.4+(-1).(-1)+2.(-3)=7⇒a→
.(b→
.c→
)=(7;14;7)

a→
.b→
=3⇒(a→
.b→
) c→
=(12; -3; -9)

Vậy a→
.(b→
.c→
)≠(a→
.b→
) c→

c ) Ta có :

⇒(a→.b→ )≈710

+ a→+ b→=(4;1;3),3a→– 2c→=(-5;8;9)

⇒cos( a→+b→,3a→– 2c→ )

⇒( a→
+b→
,3a→
– 2c→
)≈770

d) b→
+d→
=(6; -4; -3); u→
=(1;m;2)

u ⃗⊥(b→
+d ⃗ )⇔u→
.(b→
+d→
)=0⇔6-4m-6=0⇔m=0

e )

(u→
,a→
)=600⇔cos⁡(u→
,a→
)=1/2

Bài 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho hai vecto a→,b→ sao cho (a→,b→ )=1200,

|a→ |=2; |b→ |=3. Tính |a→+ b→ | và |a→-2b→ |

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức: a→
.b→
=|a→
|.|b→
|.cos⁡(a→
,b→
)

Ta có: |a→
+ b→
|2=(a→
+ b→
)2=a→
2+2a→
.b→
+b→
2

=|a→
|2+|b→
|2+2|a→
|.|b→
|.cos⁡(a→
,b→
)=4+9+2.2.3.((-1)/2)=7

⇒|a→
+ b→
|=√7

Tương tự :

|a→
-2b→
|2 =|a→
|2+4|b→
|2-4|a→
|.|b→
|.cos⁡(a→
,b→
)=4+36-4.2.3.((-1)/2)=52

⇒|a→
-2b→
|=2√(13)

Quảng cáo

Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2; -1; 1), B(3; 5; 2), C(8; 4; 3), D(-2; 2m+1; -3)

a ) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông
b ) Tìm m sao cho tam giác ABD vuông tại A
c ) Tính số đo góc A của tam giác ABC

Hướng dẫn:

a) Ta có: AB→=(1;6;1); BC→=(5;-1;1)

⇒AB→.BC→=1.5+6.(-1)+1.1=0

⇒AB→⊥BC→⇒ΔABC vuông tại B.

b) AB→=(1;6;1); AD→=(-4;2m+2; -4)

Tam giác ABD vuông tại A ⇔AB→.AD→=0

⇔ 1. ( – 4 ) + 6. ( 2 m + 2 ) + 1. ( – 4 ) = 0
⇔ 12 m + 4 = 0 ⇔ m = ( – 1 ) / 3

c) AB→=(1;6;1); AC→=(6;5;2)

cos⁡A=cos⁡(AB→;AC→ )

⇒ Â ≈ 400

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho các vectơ u→(u1;u2;u3) và v→(v1;v2;v3), u→. v→=0 khi và chỉ khi:

   A. u1v1+u2v2+u3v3=0

   B. u1+v1+u2+v2+u3+v3=0

   C. u1v1+u2v2+u3v3=1

   D. u1v2+u2v3+u3v1=-1

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Bài 2: Cho hai vectơ a→ và b→ tạo với nhau góc 600 và |a→| =2; |b→| =4. Khi đó |a→ + b→ | bằng:

   A. 2√7    B. 2√3

   C. 2√5   D. 2

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

|a→
+ b→
|2=(a→
+ b→
)2=|a→
|2+|b→
|2+2|a→
|.|b→
|.cos⁡(a→
+ b→
)

= 4 + 16 + 2.2.4. 1/2 = 28

⇒|a→
+ b→
|=2√7

Quảng cáo

Bài 3: Cho a→(-2;1;3), b→(1;2;m). Với giá trị nào của m để a→ vuông góc với b→ ?

   A. m=-1   B. m=1

   C. m=2   D. m=0

Hiển thị đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

a→ vuông góc với b→ khi và chỉ khi a→. b→=0

⇔ – 2.1 + 1.2 + 3. m = 0 ⇔ m = 0

Bài 4: Tính cosin của góc giữa hai vectơ a→ và b→ biết a→(8;4;1), b→(2;-2;1)

   A. 1/2   B. √(2)/2

   C. √(3)/2   D. 1/3

Hiển thị đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

cos⁡(a→, b→)

Bài 5: Cho tam giác ABC với A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1). Khi đó số đo của góc BACˆ bằng:

   A. 300    B. 900

   C. 600   D. 450

Hiển thị đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

AB→=(-3;0; -4); AC→=(4;0;-3)

cos⁡BACˆ=cos⁡( AB→ ; AC→)

⇒BACˆ=900

Bài 6: Cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;-1). Khi đó số đo của góc giữa hai đường thẳng AB và CD là :

   A. 300    B. 450

   C. 600   D. 900

Hiển thị đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

AB→
=(-1;1;0); CD→
=(-2;1; -2)

Gọi góc giữa 2 đường thẳng AB và CD là α

⇒ α = 450

Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai vecto a→; b→. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng:

   A. a→
.|b→
|=|a→
|.b→
với mọi a→
; b→

   B. ( a→
b→
)2=a→
2. b→
2 với mọi a→
; b→

   C. |a→
. b→
| ≤|a→
|.|b→
| với mọi a→
; b→

   D. a→
. b→
=0 khi và chỉ khi a→
= 0→
hoặc b→
= 0→

Hiển thị đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

VD: a→
=(2; -3;1), b→
=(1;1;1)

⇒|a→
|=√14; |b→
|=√3

a) a→
. |b→
|=(2√3; -3√3;√3)

|a→
|. b→
=(√14; √14; √14)

⇒ a→
. |b→
|≠| a→
|. b→

b) a→
b→
=2.1-3.1+1.1=0

a→
2. b→
2=14.3=52

⇒( a→
b→
)2≠ a→
2. b→
2

d) a→
b→
=0 nhưng a→
≠ 0→
hoặc b→
≠ 0→

Vậy a, b, d sai, c đúng .

Bài 8: Trong không gian Oxyz, cho a→(-1;2;-3), b→(3;3;4), c→(5;0-1). Giá trị của a→ (b→ + c→ ) là:

   A. 8   B. 11

   C. -8   D. -11

Hiển thị đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

b→
+ c→
=(8;3;3)

⇒ a→
(b→
+ c→
)=-1.8+2.3-3.3=-11

Bài 9: Cho 3 điểm A(2; 1; -3), B(–2; 2; –6), C(5; 0; –1). Tích AB→. AC→ bằng:

   A. -6   B. 65

   C. -19    D. 33

Hiển thị đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

AB→ =(-4;1; -3); AC→=(3; -1;2)

⇒ AB→. AC→ =-4.3+1.(-1)-3.2=-19

Bài 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điều kiện để a→ vuông góc với b→ là gì ?

   A. a→. b→ =0   B. [ a→, b→] = 0→

   C. a→ + b→ = 0→   D. a→ – b→ = 0→

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Bài 11: Cho hai vecto a→; b→thay đổi nhưng luôn thỏa mãn |a→|=5; |b→ |=3. Giá trị lớn nhất của |a→ -2 b→ | là:

   A. 11   B. -1

   C. 1    D. √61

Hiển thị đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Ta có: |a→
– 2 b→
|2 = ( a→
– 2 b→
)2 = | a→
|2 + 4| b→
|2 – 4| a→
|.| b→
|.cos⁡( a→
; b→
)

| a→
-2 b→
| lớn nhất ⇔ | a→
– 2 b→
|2 lớn nhất ⇔cos⁡( a→
; b→
)=0

Khi đó: | a→
– 2 b→
|2=| a→
|2+4| b→
|2=25+4.9=61

⇒|a→
– 2 b→
|=√61

Bài 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba vectơ a→(-1;1;0), b→(1;1;0), c→(1;1;1,). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?

   A. | a→|= √2    B. c→ ⊥ b→

   C. a→ ⊥ b→   D. | c→ |=√3

Hiển thị đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Ta có: c→. b→=1.1+1.1+0.1=2≠0

⇒ Hai vecto c→ ; b→ không vuông góc với nhau

Bài 13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có AB→=(-3;0;4), AC→=(5;-2;4). Độ dài trung tuyến AM là:

   A. 3√2   B. 4√2

   C. 2√3   D. 5√3

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Ta có: AB=|AB→
|=5; AC=|AC→
|=√45

cos⁡BACˆ
=cos⁡(AB→
; AC→
)

Ta có: BC2=AB2+AC2 – 2AB.AC.cos⁡BACˆ =68

AM là trung tuyến

⇒ AM = 3 √ 2

Bài 14: Cho | a→ |=2; | b→ |=5, góc giữa hai vectơ a→ và b→ bằng (2π)/3, u→ = k a→ – b→; v→ = a→ + 2 b→. Để u→ vuông góc với v→ thì k bằng?

   A. -45/6   B. 45/6

   C. 6/45   D. -6/45

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

u→ = k a→ – b→; v→ = a→ + 2 b→

⇒ u→
. v→
=(k a→
– b→
)(a→
+2 b→
)=k a→
2-2 b→
2+(2k-1) a→
. b→

Ta có: a→
. b→
=| a→
|.| b→
|.cos⁡( a→
; b→
)=2.5.cos⁡(2π/3)=-5

⇒ u→
. v→
=4k-2.25+(2k-1).(-5)=-6k-45

Giả thiết: u→
và v→
vuông góc với nhau ⇒ u→
. v→
=0

⇒ – 6 k – 45 = 0 ⇔ k = ( – 45 ) / 6

Bài 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho a→=(x;2;1), b→ =(2;1;2), Tìm x biết cos( a→, b→ )=2/3.

   A. x=1/2   B. x=1/3

   C. x=3/2   D. x=1/4

Hiển thị đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Bài 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A→ (-2;2;-1), B→ (-2;3;0), C→ (x;3;-1). Giá trị của x để tam giác ABC đều là:

   A. x=-1   B. x=-3

   C.   D. x=1

Hiển thị đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

AB→ =(0;1;1); AC→ =(x+2;1;0); BC→ =(x+2;0;-1)

Tam giác ABC đều ⇔ BACˆ= ABCˆ=600

Khi đó :

⇔ ( x + 2 ) 2 + 1 = 2 ⇔ ( x + 2 ) 2 = 1

Bài 17: Cho hai vecto a→; b→ tạo với nhau một góc 600. Biết độ dài của hai vecto đó lần lượt là 5 và 10. Độ dài của vecto hiệu a→ – b→ là:

   A. 15   B. 5

   C. 75   D. √(75)

Hiển thị đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Ta có: | a→
– b→
|2=( a→
– b→
)2=| a→
|2+| b→
|2-2| a→
|.| b→
|.cos⁡( a→
; b→
)

= 25 + 100-2.5.10.cos ⁡ 600 = 75

⇒|a→
– b→
|=√75

Bài 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho tam giác ABC với A(-4;3;5), B(-3;2;5) và C(5;-3;8). Tính cos⁡(AB→
; BC→
).

Hiển thị đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

AB→
=(1; -1;0); BC→
=(8; -5;3)

Bài 19: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, tam giác ABC có A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1). Số đo của góc B là:

   A. 450   B. 600

   C. 300   D. 1200

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

AB→=(-3; 0;-4); BC→=(7; 0;1)

⇒(AB→ ; BC→ )=1350

⇒ Bˆ=450

Bài 20: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(x; y; z), B(m, n, p) thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện x2+y2+z2=4; m2+n2+p2=9. Vecto AB→ có độ dài nhỏ nhất là:

   A. 5   B. 1

   C. 13   D. Không tồn tại

Hiển thị đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Ta có : OA = 2 ; OB = 3
AB ≤ | OA-OB | = 1
Dấu bằng xảy ra khi O nằm ngoài đoạn AB .

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp

Source: https://vh2.com.vn
Category : Trái Đất