Bài-tập-Đại-số-tuyến-tính-kèm-đáp-án-hay-lạ-dễ-thích-hợp-cho-người-chưa-vững-hoặc-tìm-gốc mà tui lụm – StuDocu

Chương 1

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Bài tập 1 Đưa những ma trận sau về dang bậc thang :

A=





1 −3 2

3 −4 1

2 −5 3



 B=





2 5 6

1 2 5

1 3 2



 C=





−4 1 − 6

1 2 − 5

6 3 − 4





D=





1 2 −3 0

2 4 −2 2

3 6 −4 3



 E=





2 −2 2 1

−3 6 0 − 1

1 −7 10 2





Bài tập 1 Đưa những ma trận sau về dang bậc thang rút gọn :

A=





2 2 −1 6 4

4 4 1 10 13

6 6 0 20 19



 B=





2 3 −2 5 1

3 −1 2 0 4

4 −5 6 −5 7



 C=





1 −2 3 1 2

1 1 4 −1 3

2 5 9 −2 8





D=









1 3 −1 2

0 11 −5 3

2 −5 3 1

4 1 1 5







 E=





1 2 −1 2 1

2 4 1 −2 3

3 6 2 −6 5



 F=









0 1 3 − 2

0 4 −1 3

0 0 1 1

0 5 −3 4









Bài tập 1 Xác định hạng của ma trận sau :

A=





3 5 7

1 2 3

1 3 5



 B=





1 1 3

2 1 4

1 2 5



 C=





1 1 − 3

−1 0 2

−3 5 0





D=





1 2 3 4

2 4 6 8

3 6 9 12



 E=





4 3 2 2

0 2 1 1

0 0 3 3



 F=





1 2 3 6

2 3 1 6

3 1 2 6





G=









1 −1 5 − 1

21 1 −2 3

3 −1 8 1

1 3 −9 7







 H=









1 3 − 2 − 1

2 5 −2 1

1 1 6 13

− 2 −6 8 10









Bài tập 1 Xác định sự tồn tại nghiệm của mỗi hệ sau:

1

2 Chương 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHa .







x 1 + 2 x 2 − 3 x 3 = − 5 2 x 1 + 4 x 2 − 6 x 3 + x 4 = − 8 6 x 1 + 13 x 2 − 17 x 3 + 4 x 4 = − 21b .











x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 − 3 x 5 = − 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 + 6 x 5 = 23 5 x 1 + 4 x 2 + 3 x 3 + 3 x 4 − x 5 = 12c .











x 1 − 6 x 2 = 5 x 2 − 4 x 3 + x 4 = 0 − x 1 + 6 x 2 + x 3 + 5 x 4 = 3 − x 2 + 5 x 3 + 4 x 4 = 0d .











2 x 2 − 2 x 3 + 2 x 5 = 2 x 1 + 2 x 2 − 3 x 3 + x 4 + 4 x 5 = 1 2 x 1 + 5 x 2 − 7 x 3 + 3 x 4 + 10 x 5 = 5 2 x 1 + 4 x 2 − 5 x 3 + 3 x 4 + 8 x 5 = 3Bài tập 1 Biện luận những hệ phương trình cho bởi ma trận khá đầy đủ sau đây theotham sốa, b, c, d .a .





2 4 − 3 6

0 b 7 2 0 0 a a



 b .









1 −1 4 − 2 5

0 1 2 3 4

0 0 d 5 7 0 0 0 cd c









Bài tập 1 Viết ra nghiệm của hệ có ma trận khá đầy đủ tương tự hàng với mỗi ma trận sau :a =









1 −2 0 0 7 − 3

0 1 0 0 − 3 1

0 0 0 1 5 − 4

0 0 0 0 0 0







 b =









1 0 −5 0 − 8 3

0 1 4 −1 0 6

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0









c =









1 0 −2 0 0 0

0 1 6 − 3 − 2 7

0 0 0 1 0 − 5

0 0 0 0 1 0







 d =









1 0 0 8 − 3

0 1 0 4 − 6

0 0 1 − 7 5

0 0 0 0 0









Bài tập 1 Giải những hệ phương trình sau bằng giải pháp Gauss :a .







2 x 1 + 7 x 2 + 3 x 3 + x 4 = 6 3 x 1 + 5 x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 = 4 9 x 1 + 4 x 2 + x 3 + 7 x 4 = 14e .







x 1 + x 2 − 2 x 3 + 3 x 4 = 4 2 x 1 + 3 x 2 + 3 x 3 − x 4 = 3 5 x 1 + 7 x 2 + 4 x 3 + x 4 = 5b .











2 x 1 + 5 x 2 + x 3 + 3 x 4 = 2 4 x 1 + 6 x 2 + 3 x 3 + 5 x 4 = 4 4 x 1 + 14 x 2 + x 3 + 7 x 4 = 4 2 x 1 − 3 x 2 + 3 x 3 + 3 x 4 = 7f .











x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 = 5 2 x 1 + x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 = 1 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + 2 x 4 = 1 4 x 1 ‘ + 3 x 2 + 2 x 3 + x 4 = − 54 Chương 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Chương 2

MA TRẬN

Bài tập 2 Thực hiện những phép tính :a. A + BvớiA =

[

1 2 3

4 5 6

]

vàB =

[

1 −1 2

0 3 − 5

]

b. 3 Avà − 5 AvớiA =

[

1 −2 3

4 5 − 6

]

c. 2 A − 3 BvớiA =

[

1 −2 3

4 5 − 6

]

vàB =

[

3 0 2

−7 1 8

]

d. 5 A − 2 B ; 2A + 3B ; A ( BC ) ; ( AB ) C ; AT ; BT ; ATBT ; A 2 ; ACbiết

A=

[

1 2

3 − 4

]

; B=

[

5 0

−6 7

]

; C=

[

1 −3 4

2 6 − 5

]

e. AAT vàATAbiếtA =

[

1 2 0

3 −1 4

]

Bài tập 2 Tìmx, y, z, wbiết : 3

[

x y z w

]

=

[

x 6 − 1 2 w

]

+

[

4 x + y z + w 3

]

Bài tập 2 ChoA =

[

1 2

3 6

]

tìm ma trậnB ∈ M 2 × 3 sao choAB = 0Bài tập 2 Cho những ma trận

A=





1 −3 0

4 5 1

3 8 0



, B=





1 1 − 2

3 0 4

−1 3 2



, C=





2 0 − 2

4 7 − 5

1 0 − 1





GọiD = [ dij ] = 2AB + C 2 không tính hàng loạt ma trậnDmà hãy tính đơn cử mỗi thành phần :a 11 b 21 c 32

5

7

Bài tập 2 Tìm điều kiện kèm theo của tham số để những ma trận sau khả nghịch, sau đó tìm ma trận nghịch đảo tương ứng của nó :a .





1 −3 2

3 − 7 m + 5 − m 2 m 1



 ; b =





1 0 p 1 1 0 2 1 1





Bài tập 2 Cho ma trậnB =





2 −1 1

0 1 1

1 − 1 − 1



. Hãy tìmB − 1, từ đó giải hệ phươngtrìnhBx = dvớii ) d =





2

3

− 1



, ii ) d = 3





2

3

− 1



, iii ) d =





4

− 2

3





Bài tập 2 Giải những hệ phương trình sau bằng chiêu thức ma trận nghịch đảo :a .







x 1 + x 2 − 3 x 3 = − 2 x 1 + 2 x 2 − 3 x 3 = 6 2 x 1 + 4 x 2 − 5 x 3 = − 6b .











x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 x 1 + x 2 − x 3 − x 4 = 1 x 1 − x 2 = − 1 x 3 − x 4 = − 1c .











x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = − 1 x 1 + x 2 − x 3 − x 4 = 1 x 1 − x 2 + x 3 − x 4 = − 1 x 1 − x 2 − x 3 + x 4 = 1Bài tập 2 Giải những phương trình ma trận sau đây :a .

[

1 2

3 4

]

.X=

[

3 5

5 9

]

b .

[

3 − 2

5 − 4

]

=

[

−1 2

−5 6

]

c .

[

3 − 1

5 − 2

]

.X.

[

5 6

7 8

]

=

[

14 16

9 10

]

d .





1 2 − 3

3 2 − 4

2 −1 0



.X=





1 −3 0

10 2 7

10 7 8





e .





13 − 8 − 12

12 − 7 − 12

6 − 4 − 5



=





1 2 3

4 5 6

7 8 9





8 Chương 2. MA TRẬN10 Chương 3. ĐỊNH THỨCBài tập 3 Tính định thức của mỗi ma trận sau :a =









1 2 3 4

2 3 4 1

3 4 1 2

4 1 2 3







 ; b =









1 −2 0 2

2 −5 3 2

4 1 1 0

−5 0 − 4 − 4







 c =









2 −3 1 0

−5 8 2 1

1 − 4 −2 0

2 −1 4 0









d =





a b a + b b a + b a a + b a b



 e =





a b c a + x b + x c + x a + y b + y c + y



 ; f =





a + b ab a 2 + b 2 b + c bc b 2 + c 2 c + a ca c 2 + a 2





Bài tập 3 Tính những định thức sau đây :a .

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

1 − λ 3 2 2 1 − λ 3 3 2 1 − λ

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

b .

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

2 − λ 5 − 1 2 − 1 − λ 5 2 2 2 − λ

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

; c .

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

2 − λ 0 0 − 2 3 − λ − 1 3 − 2 2 − λ

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

Bài tập 3 Tìmtđể ma trận sau khả nghịch bằng cách tính định thứca .





t − 2 4 3 1 t + 1 − 2 0 0 t − 4



 ; b .





t − 1 3 − 3 − 3 t + 5 − 3 − 6 6 t − 4



 ; c .





t + 3 − 1 1 7 t − 5 1 6 − 6 t + 2





Bài tập 3 Chứng minh rằng :a .

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

a 1 b 1 a 1 x + b 1 y + c 1 a 2 b 2 a 2 x + b 2 y + c 2 a 3 b 3 a 3 x + b 3 y + c 3

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

=

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

c .

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

1 a bc 1 b ca 1 c ab

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

= ( b − a ) ( c − a ) ( c − b )b .

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

a 1 + b 1 x a 1 − b 1 x c 1 a 2 + b 2 x a 2 − b 2 x c 2 a 3 + b 3 x a 3 − b 3 x c 3

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

= − 2 x

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

Bài tập 3 Tìm những ma trận nghịch đảo bằng 2 cách ( giải pháp lập ma trận khối( A | In ) và chiêu thức ma trận phụ hợpA − 1 =

1

detA( Cof ( A ) ) T ) :

A=





2 2 3

1 −1 0

2 −1 0



; B=





1 2 3

2 3 4

1 5 7



; C=









1 1 1 1

1 1 − 1 − 1

1 −1 0 0

0 0 1 − 1







; D=









1 1 1 1

1 1 − 1 − 1

1 −1 1 − 1

1 − 1 −1 1









Bài tập 3 Không giải hệ phương trình, tìm nhanhx 2 bằng hai cácha .











2 x 1 + x 2 + x 3 = 2 x 1 + 3 x 2 + x 3 = 5 x 1 + x 2 + 5 x 3 = − 7 2 x 1 + 3 x 2 − 3 x 3 = 14b .











5 x 1 − x 2 + x 3 − 2 x 4 = 2 3 x 1 − 2 x 2 + 2 x 3 − 3 x 4 = 2 3 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 + 5 x 4 = − 6 2 x 1 − x 2 + x 3 − 3 x 4 = 4c .











2 x 1 − x 2 + x 3 − 3 x 4 = 4 5 x 1 − x 2 + x 3 − 2 x 4 = 2 3 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 − 3 x 4 = 2 2 x 1 − 3 x 2 + 3 x 3 − 7 x 4 = 8d .











− x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 4 2 x 1 + 2 x 2 + x 3 + 3 x 4 = 1 3 x 1 + x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 = 1 4 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + x 4 = − 5

11

Bài tập 3 Giải những hệ phương trình sau bằng giải pháp Cramer :a .







2 x 1 − x 2 − 3 x 3 = 5 3 x 1 − 2 x 2 + 2 x 3 = 5 4 x 1 − 3 x 2 − x 3 = 16b .







2 x 1 + 3 x 2 − 2 x 3 = 5 x 1 − 2 x 2 + 3 x 3 = 2 4 x 1 − x 2 + x 3 = 1c .







x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 3 2 x 1 + 3 x 2 + 8 x 3 = 4 3 x 1 + 2 x 2 + 10 x 3 = 1d .







x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 = 2 3 x 1 − 2 x 2 − x 3 = 5 3 x 1 − x 2 + 9 x 3 = − 4Bài tập 3 Giải và biện luận theoamỗi hệ phương trình tuyến tính sau :a .







x 1 + 2 x 2 + ax 3 = 1 2 x 1 + ax 2 + 3 x 3 = − 1 x 1 + 2 x 2 − 2 x 3 = 1c .







x 1 + x 2 + ( a + 1 ) x 3 = a 2 + 3 a x 1 + ( a + 1 ) x 2 + x 3 = a 3 + 3 a 2 ( a + 1 ) x 1 + x 2 + x 3 = a 4 + 3 a 3b .







x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 = 0 − 2 x 1 + ( a − 2 ) x 2 + ( a − 5 ) x 3 = 2 ax 1 + x 2 + ( a + 1 ) x 3 = − 2d .







x 1 + x 2 + ( 1 − a ) x 3 = a + 2 ( 1 + a ) x 1 − x 2 + 2 x 3 = 0 2 x 1 − ax 2 + 3 x 3 = a + 2Bài tập 3 Cho hệ phương trình :     2 x 1 + 3 x 2 − x 3 = 5 x 1 − x 2 + x 3 = 2 x 1 + 2 x 2 + λx 3 = 8 4 x 1 + x 2 + x 3 = 9a. Giải hệ phương trình trên khiλ = 1 .b. Tìmλđể hệ trên có nghiệm .Bài tập 3 Cho hệ phương trình tuyến tính theo tham số a      ax 1 + 3 x 2 + 11 x 3 + 5 x 4 = 2 x 1 + x 2 + 5 x 3 + 2 x 4 = 1 ax 1 + x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 = − 3 x 1 + x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 = − 3

1. Giải hệ phương trình khi a = 2 .
2. Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất .

Bài tập 3 Cho hệ phương trình : x 1 + x 2 − 2 x 3 = 1 2 x 1 + 3 x 2 + mx 3 = 2 4 x 1 + 5 x 2 − x 3 = m + 1

a. Tìmmđể hệ có nghiệm duy nhất.

b. Tìmmđể hệ có vô nghiệm .

Chương 4

KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Bài tập 4 Xác định những tập cùng với phép toán đã chỉ ra sau đây có phải là không gian vectơ không ?a. R 2 với phép toán cộng và phép toán nhân như sau : { ( x 1, x 2 ) + ( y 1, y 2 ) = ( x 1 + y 1 + 1, x 2 + y 2 ) α ( x 1, x 2 ) = ( αx 1, αx 2 )b. R 2 với phép toán cộng và phép toán nhân như sau : { ( x 1, x 2 ) + ( y 1, y 2 ) = ( 3 x 1 + 3 y 1, x 2 + y 2 ) α ( x 1, x 2 ) ( 3 αx 1, αx 2 )c. R 2 với phép toán cộng và phép toán nhân như sau : { ( x 1, x 2 ) + ( y 1, y 2 ) = ( x 1 + y 1, 0 ) α ( x 1, x 2 ) = ( αx 1, 0 )d. R 2 với phép cộng thường thì và phép nhân với vô hướng định nghĩanhư sau : α ( x 1, x 2 ) = ( αx 2 ; αx 1 ) ∀ α ∈ Rvà ∀ ( x 1 ; x 2 ) ∈ R 2e. Flà tập hợp những hàm số thực liên tục trên đoạn [ a, b ] với phép cộng hai hàm số và phép nhân 1 số ít thực với một hàm số .Bài tập 4 Xác định mỗi tập sau có phải là không gian con củaM ( n, n ) không ? Tại sao ? ( Ký hiệuM ( n, n ) là không gian vectơ những ma trận cỡn × n ) .a. Tập hợpAtất cả những ma trận tam giác trên cỡn × nb. Tập hợpBtất cả những ma trận chéo cấpnc. Tập hợpCtất cả những ma trận bậc thang cỡn × nd. Tập hợpDtất cả những ma trận đối xứng cỡn × ne. Tập hợpEtất cả những ma trận chéo đối xứng cỡn × n .

13

14 Chương 4. KHÔNG GIAN VÉC TƠBài tập 4 Xác định xemWcó phải là không gian con của những không gian vectơ tương ứng hay không ?a. W = { ( a, b, c ) ∈ R 3 : a = 2 b } ⊂ R 3b = { ( a, b, c ) ∈ R 3 : a ≤ b ≤ c } ⊂ R 3c. W = { ( a, b, c ) ∈ R 3 : ab = 0 } ⊂ R 3d = { ( a, b, c ) ∈ R 3 : a = b 2 } ⊂ R 3e. W = { ( a, b, c ) ∈ R 3 : − a − 5 b + 2 c = 0 } ⊂ R 3f = { ( a, b, c, d ) ∈ R 4 : 3 a − b + 7 d = 5 } ⊂ R 4g. W = { ( a, b, c, d ) ∈ R 4 : 2 a − 3 b + 4 d = 0, a − b + c = 0 } ⊂ R 4Bài tập 4 ChoVlà không gian vec tơ – toàn bộ những hàm số thực trênR. Chỉ ra rằng Wtrong mỗi trường hợp sau có là không gian con củaVhay không ? a = { f ∈ V : | f ( x ) | ≤ M, ∀ x ∈ R } b = { f ∈ V : f ( − x ) = f ( x ), ∀ x ∈ R }Bài tập 4 Chứng minh mỗi tập gồm có những vectơ cột sau đây là không gian vectơ, bằng cách chỉ ra nó là không gian con sinh bởi tập những vectơ nào đó .a. A =











s 3 s 2 s



 : s ∈ R







⊂[R] 3 ;

b =

{[

a b c d

]

:

{

a + b − c = 0 a − c − d = 0

}

⊂M(2,2)

c. B = { ( t ; 2 t + s, t − s ) : t, s ∈ R } ⊂ R 3 ;d =

{

p ∈ P 3 [ x ] :

{

p ( 1 ) = p ( − 1 ) p ( 2 ) = p ( − 2 )

}

⊂ P 3 [ x ]Bài tập 4 Cho W là tập tổng thể những vectơ cột có dạng như đã chỉ ra, trong đóa, b, c ∈ R. Trong mỗi trường hợp, hãy chỉ ra tập S sao choW = Sp ( S ), hoặc chứng tỏ W không phải là không gian con của không gian vectơ tương ứng .a. W =











3 a + b 4 a − 5 b



 : a, b ∈ R







⊂ [ R ] 3 ; b =











1 − a a − 6 b a + 2 b



, a, b ∈ R







⊂ [R] 3

c. W =



















a − b b − c c − a b







 : a, b, c ∈ R











⊂ [ R ] 4 ; d =



















4 a + 3 b 0 a + b + c − 2 a + c







 : a, b, c ∈ R











⊂ [R] 4

16 Chương 4. KHÔNG GIAN VÉC TƠa =











a b c



 : a + b + c = 2







b =



















a b c d







:

{

a − 2 b = 0 2 a = c + 3 d











c =



















b − 2 d 5 + d b + 3 d d







 : b, d ∈ R











d =











c − 6 d d c



, c, d ∈ R







e =











a b c



 : 5 a = b + 2 c







Bài tập 4 Tìm ma trậnAsao choWgồm những vectơ cột cho sau đây làColA :a =



















2 s + 3 t r + s − 2 t 4 r + s 3 r − s − t







 : r, s, t ∈ R











b =



















b − c 2 b + c + d 5 c − 4 d d







 : b, c, d ∈ R











Bài tập 4 Giả sửHvàKlà hai không gian con của không gian vectơV. Ta gọi tổng giao của những không gian conHvàKtương ứng là : H ∩ K = { v ∈ V : v ∈ Hvàv ∈ K } H + K = { v + w : v ∈ Hvàw ∈ K } a. Chứng minh rằngH + KvàH ∩ Klà những không gian vectơ con củaV. b. Cho ví dụ, ví dụ điển hình khiV = R 2, để chứng tỏ hợp của hai không gian con nói chung không phải là không gian con. ( Hợp của hai không gian conđược hiểu theo nghĩa hợp của hai tập hợp thường thì ) .Bài tập 4 Xác định những tập sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc vào tuyến tính :a. u 1 = ( 1 ; 3 ; − 1 ; 4 ), u 2 = ( 3 ; 8 ; − 5 ; 7 ), u 3 = ( 2 ; 9 ; 4 ; 23 )b 1 = ( 1 ; − 2 ; 4 ; 1 ), u 2 = ( 2 ; 1 ; 0 ; − 3 ), u 3 = ( 3 ; − 6 ; 1 ; 4 )c. u 1 = 1 − 2 x 2, u 2 = 3 − x − x 2, u 3 = − 1 + 2 x + 5 x 2d 1 = x 3 − 4 x 2 + 2 x + 3, u 2 = x 3 + 2 x 2 + 4 x − 1, u 3 = 2 x 3 − x 2 − 3 x + 5e. u 1 = x 3 − 5 x 2 − 2 x + 3, u 2 = x 3 − 4 x 2 − 3 x + 4, u 3 = 2 x 3 − 7 x 2 − 7 x + 9f 1 = x 3 − 2 x + 3, u 2 = x 2 + 1, u 3 = 2 x 3 + x 2 − 4 x + 10g. u 1 = x 3 − 2 x + 3, u 2 = x 2 + x + 1, u 3 = x 3 + 2 x 2 + 5h =

{[

1 2

3 1

]

;

[

1 1

1 1

]

;

[

2 1

4 2

]}

i. S =

{[

1 2

−1 0

]

;

[

1 2

1 1

]

;

[

1 2

5 3

]}

17

Bài tập 4 Từ tập hợp những vectơ sau hãy tìm một cơ sở cho không gian vectơ tương ứnga. { v 1 = ( 1 ; 0 ; 0 ), v 2 = ( 0 ; 1 ; − 1 ), v 3 = ( 0 ; 4 ; − 3 ) ; v 4 = ( 0 ; 2 ; 0 ) } ⊂ R 3b. { p 0 = 2, p 1 = − 4 x, p 2 = x 2 + x + 1, p 3 = 2 x + 7, p 4 = 5 x 2 − 1 } ⊂ P 2 [ x ]Bài tập 4 Hãy lan rộng ra những tập sau thành một cơ sở của không gian vectơ tương ứnga. { v 1 = ( 1 ; 0 ; 0 ; 0 ), v 2 = ( 1 ; 1 ; 0 ; 0 ), v 3 = ( 1 ; 1 ; 1 ; 0 ) } ⊂ R 4b .

{

v 1 =

[

1 0

0 0

]

, v 2 =

[

2 0

−1 0

]}

⊂M(2,2)

Bài tập 4 Tìm cơ sở và số chiều củaNulA, ColA, RowAbiếtA :a =





−2 4 − 2 − 4

2 − 6 −3 1

−3 8 2 − 3



 b =









1 2 −5 11 − 3

2 4 −5 15 2

1 2 0 4 5

3 6 −5 19 − 2









Bài tập 4 Tìm cơ sở và số chiều củaSp ( S ), biết :a. S = { ( 1 ; 1 ; 1 ; 2 ; 3 ), ( 1 : 2 ; − 1 ; − 2 ; 1 ), ( 3 ; 5 ; − 1 ; − 2 ; 5 ), ( 1 ; 2 ; 1 ; − 1 ; 4 ) }b. S = { ( 1 ; 0 ; 1 ; 1 ; 1 ), ( 2 ; 1 ; 2 ; 0 ; 1 ), ( 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ), ( 4 ; 1 ; 5 ; 4 ; 6 ) }c. S =

{[

1 2

−1 3

]

,

[

2 5

1 − 1

]

,

[

5 12

1 1

]

,

[

3 4

−2 5

]}

d. S =

{[

1 2

0 1

]

,

[

3 4

1 1

]

,

[

1 2

1 1

]

,

[

0 2

1 2

]}

e. S = { 1 − 2 x 2, 3 − x − x 2, − 1 + 2 x + 5 x 2 }Bài tập 4 ChoS = { ( 1 ; − 1 ; − 1 ), ( 3 ; − 1 ; 5 ), ( − 1 ; 2 ; 1 ), ( 1 ; − 3 ; − 6 ) } .a. u = ( − 3 ; 6 ; 2 ) có thuộcSp ( S ) hay không ?b. Scó phải là tập sinh củaR 3 hay không ?Bài tập 4 ChoS = { 1 + 2 x − x 2, − 2 + 3 x + x 2, 1 + 9 x − 2 x 2, 5 − 4 x − 3 x 2 } .a. p ( x ) = 4 + x − 3 x 2 có thuộcSp ( S ) hay không ?b. Scó phải là tập sinh củaP 2 [ x ] hay không ?Bài tập 4 .a. Tìm cơ sở của không gian conP = { ( x 1 ; x 2 ; x 3 ) ∈ R 3 | 3 x 1 + x 2 + 5 x 3 = 0 }

19

b. Tập hợp những điểm ( x 1, x 2, x 3, x 4 ) ∈ R 4 thỏa mãn nhu cầu phương trình :c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 + c 5 = 0 ; ( ci ∈ R )được gọi là siêu phẳng trongR 4. Hãy tìm một cơ sở cho siêu phẳng : x 1 + x 2 + 2 x 3 + x 4 = 0, rồi lan rộng ra cơ sở đó thành cơ sở choR 4 .Bài tập 4 ChoE = { ( x 2 − 4 ) ( ax 2 + bx + a ), a, b ∈ R } ⊂ P 4 [ x ]a. Chứng minhElà không gian con củaP 4 [ x ] .b. TìmdimEBài tập 4 ChoE = { ( x 1, x 2, x 3 ) ∈ R 3 : x 2 = mhằng số } ⊂ R 3a. TìmmđểElà không gian con củaR 3 .b. TìmdimEkhim = 0Bài tập 4 Trong không gian véc tơR 3 cho tập

E=







( x 1, x 2, x 3 ) R 3 :

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

x 1 x 2 x 3 1 2 1 2 1 2

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

= 0







Chứng minh rằngElà không gian con củaR 3. Tìm số chiều và một cơ sở củaEBài tập 4 Tìm tọa độ của những vectơ so với cơ sở tuơng ứng được cho dưới đâya. u = ( 9, 1, 5 ) với cơ sở củaR 3 làB = { ( − 1 ; 2 ; 1 ), ( 2 ; − 5 ; − 3 ), ( 5 ; − 7 ; − 3 ) }b. u = 7 e 1 + 5 e 2 − e 3, với cơ sở củaR 3 làB = { e 1, e 1 + e 2, e 1 + e 2 + e 3 }c. p ( x ) = 5 x 2 − 2 x + 3, với cơ sở củaP 2 [ x ] làB = { 1, 1 + x, 1 + x 2 }d. u = av 1 + bv 2 + cv 3, với cơ sởC = { v 1 + v 2, v 1 − v 2, v 3 }, trong đóB = { v 1, v 2, v 3 } là một cơ sở củaR 3e. A =

[

1 − 2

3 4

]

∈ M ( 2,2 ) so với cơ sở

B=

{[

0 1

1 0

]

,

[

0 − 1

0 0

]

,

[

1 − 1

0 3

]

,

[

0 1

0 1

]}

.

Bài tập 4 Hãy tìm vectơ, biết cơ sởBvàB-tọa độ của vectơ đó trong mỗi trường hợp sau :a. B = { ( 1 ; − 4 ; 3 ), ( 5 ; 2 ; − 2 ), ( 4 ; − 7 ; 0 ) } và ( x ) B = ( 3 ; 0 ; − 1 )20 Chương 4. KHÔNG GIAN VÉC TƠb = { ( − 1 ; 2 ; 0 ), ( 3 ; − 5 ; 2 ), ( 4 ; − 7 ; 3 ) } và ( x ) B = ( − 4 ; 8 ; − 7 )c. B = { x + x 2, x − x 2, 1 + x } và ( p ( x ) ) B = ( 3 ; 1 ; 2 )Bài tập 4 TrongP 2 [ x ], chop 1 ( x ) = x 2 − 1, p 2 ( x ) = x 2 + x + 1, p 3 ( x ) = x 2 − mx − 3 .a. Với giá trị nào củamthìp 1, p 2, p 3 trở thành cơ sở củaP 2 [ x ] ?b. Vớim = 2, hãy biểu diễnp ( x ) = 3 x 2 + x + 1 theop 1, p 2, p 3 .Bài tập 4 ChoE =











2 a + b − c a − 2 b − 3 a − 4 b + 2 c



 ∈ R 3 : a, b, c ∈ R







⊂R 3.

1. Chứng minhElà một không gian con củaR 3.
2. Tìm một cơ sở và số chiều củaE.

Bài tập 4 Cho không gian vectơP 3 [ x ] – không gian những đa thức bậc không quá 3 .a. Chứng minh rằngB = { 1, 1 − x, ( 1 − x ) 2, ( 1 − x ) 3 } là cơ sở củaP 3 [ x ] .b. Tìm tọa độ của vectơu = 2 − 3 x − x 2 − 2 x 3 so với cơ sởB .Bài tập 4 .

1. Chứng minhE=

{[

a b c d

]

∈ M ( 2,2 ) : a − 2 c + d = 0

}

là một không gian con của M ( 2,2 ) .

2. Trong không gian véc tơP 2 [x]cho tậpB={ 1 ,1 +x,(1 +x) 2 }.

a. Chứng minhBlà cơ sở củaP 2 [ x ]. b. Tìm tọa độ củap ( x ) = − x 2 + 4 so với cơ sởB .Bài tập 4 ChoB = { b 1, b 2, b 3 } vàC = { c 1, c 1, c 3 } là hai cơ sở của không gian vectơ V. Giả sửb 1 = 4 c 1 − c 2 ; b 2 = − c 1 + c 2 + c 3 ; b 3 = c 2 − 2 c 3 .a. Tìm ma trận chuyển tọa độ từ cơ sởBsang cơ sởC .b. Tìm [ x ] C biếtx = 3 b 1 + 4 b 2 + b 3 .Bài tập 4 ChoB = { ( 1 ; 2 ; 0 ), ( 1 ; 3 ; 2 ), ( 0 ; 1 ; 3 ) } là một cơ sở củaR 3 .a. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở chính tắcE sang cơ sởB .

b. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sởBsang cơ sở chính tắcE.

Bài tập 4 Tìm ma trận chuyển cơ sở từBsangC với :a. B = { b 1 = ( 1 ; 1 ), b 2 = ( 1 ; 0 ) } vàC = { c 1 = ( 0 ; 1 ), c 2 = ( 1 ; 1 ) }b = { b 1 = ( 1 ; 0 ; 1 ), b 2 = ( 1 ; 1 ; 0 ), b 3 = ( 0 ; 1 ; 1 ) } và C = { c 1 = ( 0 ; 1 ; 1 ), c 2 = ( 1 ; 1 ; 0 ), c 3 = ( 1 ; 0 ; 1 ) }

Source: https://vh2.com.vn
Category : Trái Đất