Đại số tuyến tính là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn. – Cổng Thông Tin Đại Học, Cao Đẳng Lớn Nhất Việt Nam

Đại số tuyến tính là một trong những nhánh quan trọng của toán học. Đại số tuyến tính về cơ bản là nghiên cứu về vectơ và các hàm tuyến tính. Nó là một khái niệm then chốt cho hầu hết các lĩnh vực toán học. Đại số tuyến tính được coi là một khái niệm cơ bản trong cách trình bày hiện đại của hình học. Nó chủ yếu được sử dụng trong Vật lý và Kỹ thuật vì nó giúp xác định các đối tượng cơ bản như mặt phẳng, đường thẳng và chuyển động quay của đối tượng. Nó cho phép chúng ta mô hình hóa nhiều hiện tượng tự nhiên, và nó cũng có hiệu quả tính toán.  Trong bài này, bạn sẽ tìm hiểu về phần giới thiệu cơ bản, các thành phần, các bài toán, phương trình tuyến tính và các ứng dụng của nó .

Giới thiệu về Đại số tuyến tính

Đại số tuyến tính là điều tra và nghiên cứu của những tổng hợp tuyến tính. Nó là điều tra và nghiên cứu về không gian vectơ, đường thẳng và mặt phẳng, và 1 số ít ánh xạ được nhu yếu để thực thi những phép đổi khác tuyến tính. Nó gồm có vectơ, ma trận và những hàm tuyến tính. Nó là điều tra và nghiên cứu của những tập hợp tuyến tính của phương trình và những đặc thù biến hóa của nó .

Phương trình đại số tuyến tính

Phương trình tuyến tính tổng quát được biểu diễn dưới dạng

a 1 x 1 + a 2 x 2 … … …. + a n x n = b
Đây ,
a’s – đại diện thay mặt cho những thông số
x’s – đại diện thay mặt cho những ẩn số
b – đại diện thay mặt cho hằng số
Tồn tại một hệ phương trình đại số tuyến tính, đó là tập hợp những phương trình. Hệ phương trình hoàn toàn có thể được giải bằng cách sử dụng những ma trận .
Nó tuân theo hàm tuyến tính ví dụ điển hình như
( x 1, … … .. x n ) → a 1 x 1 + … … …. + a n x n

Chủ đề Đại số tuyến tính

Các chủ đề quan trọng nhất được đề cập trong đại số tuyến tính gồm có :

• Không gian vectơ Euclid
• Vectơ riêng
• Ma trận trực giao
• Các phép biến đổi tuyến tính
• Các phép chiếu
• Giải hệ phương trình với ma trận
• Các phép toán với ma trận (tức là cộng, nhân)
• Các nghịch đảo của ma trận và các yếu tố quyết định
• Ma trận xác định dương
• Phân rã giá trị đơn lẻ
• Sự phụ thuộc tuyến tính và tính độc lập

Ở đây, ba khái niệm chính là tiền đề của đại số tuyến tính được lý giải chi tiết cụ thể. Họ đang :

• Không gian vectơ
• Hàm tuyến tính
• Ma trận

Tất cả ba khái niệm này có mối quan hệ với nhau sao cho một hệ phương trình tuyến tính hoàn toàn có thể được màn biểu diễn bằng cách sử dụng những khái niệm này một cách toán học. Nói chung, vectơ là những thành phần mà tất cả chúng ta hoàn toàn có thể thêm vào, và những hàm tuyến tính là những hàm của vectơ gồm có việc cộng những vectơ

Không gian vector

Như tất cả chúng ta biết rằng đại số tuyến tính đề cập đến việc nghiên cứu và điều tra những không gian vectơ và những phép biến hóa tuyến tính giữa chúng. Theo định nghĩa của vectơ, nó là một đại lượng vật lý có cả độ lớn và hướng. Không gian vectơ được định nghĩa là tập hợp những đối tượng người tiêu dùng được gọi là vectơ, hoàn toàn có thể được cộng lại với nhau và nhân ( tức là được chia tỷ suất ) với những số, được gọi là vô hướng. Nói chung, những số thực được coi là số vô hướng, nhưng sống sót không gian vectơ với phép nhân vô hướng với những số không thực, tức là số phức, hoặc tự nhiên bất kể trường nào .
Các phép toán như cộng vectơ và nhân vô hướng phải thỏa mãn nhu cầu những nhu yếu đơn cử, được gọi là tiên đề vectơ. Nói chung, những thuật ngữ không gian vectơ thực và không gian vectơ phức được sử dụng để định nghĩa rằng những vô hướng lần lượt là số thực hoặc số phức .
Giả sử V là không gian vectơ bất kể có những thành phần a, b, c và vô hướng m, n trên một trường F, khi đó tiên đề vectơ được cho bởi :

• Giao hoán của phép cộng: a + b = b + a
• Tính liên kết của phép cộng: a + (b + c) = (a + b) + c
• Nhận dạng cộng: a + 0 = 0 + a = a, trong đó 0 là một phần tử trong V được gọi là vectơ không.
• Phép cộng nghịch đảo: a + (-a) + (-a) + a = 0, a, -a thuộc V.

Bốn tiên đề này xác lập rằng không gian vectơ V là một nhóm abel trong phép cộng .
Các tiên đề khác gồm có phân phối của phép nhân vô hướng so với phép cộng vectơ và phép cộng trường, yếu tố nhận dạng của phép nhân vô hướng, v.v.
Ví dụ, m ( a ) = ma ; n ( a + b ) = na + nb
Một thành phần của không gian vectơ đơn cử hoàn toàn có thể có những đặc thù khác nhau. Ví dụ, những thành phần hoàn toàn có thể là một dãy, một hàm, một đa thức hoặc một ma trận. Đại số tuyến tính bị ảnh hưởng tác động bởi những đặc thù của những thứ đó phổ cập hoặc quen thuộc với tổng thể những không gian vectơ .
Một ánh xạ tuyến tính hoàn toàn có thể được viết cho hai không gian vectơ nhất định là V và W trên một trường F. Điều này nhiều lúc được gọi là phép biến hóa tuyến tính hoặc ánh xạ của không gian vectơ. Do đó, nó được đưa ra bởi :
T : V → W
Điều này được cho phép tất cả chúng ta viết phép cộng vô hướng của những thành phần như :
T ( a + b ) = T ( a ) + T ( b )
T ( ma ) = mT ( a )

Hàm tuyến tính

Hàm tuyến tính là một phương trình đại số trong đó mỗi số hạng là một hằng số hoặc tích của một hằng số và một biến độc lập duy nhất của lũy thừa 1. Trong đại số tuyến tính, vectơ được lấy trong khi tạo thành những hàm tuyến tính. Một số ví dụ về những loại vectơ hoàn toàn có thể được diễn đạt lại về hàm của vectơ .
Về mặt toán học, hàm tuyến tính được định nghĩa là :
Một hàm L : R n → R m là tuyến tính nếu
( i ) L ( x + y ) = L ( x ) + L ( y )
( ii ) L ( αx ) = αL ( x )
với mọi x, y ∈ R n, α ∈ R

Ví dụ: Chứng tỏ rằng hàm L: R 2 → R 3 cho bởiL ( x ) =⎡⎣⎢x1+ 4x23x1–x2x2⎤⎦⎥ là tuyến tính.

Giải pháp:

Với x, y ∈ R 2 bất kể, ta có

Với x ∈ R 2 và α ∈ R bất kể, ta có

Do đó, L là một hàm tuyến tính .

Ma trận đại số tuyến tính

Ma trận là những hàm tuyến tính của một loại nhất định. Ma trận là hiệu quả của việc tổ chức triển khai thông tin tương quan đến những hàm tuyến tính nhất định. Ma trận phần nhiều Open trong đại số tuyến tính vì nó là thông tin TT của đại số tuyến tính .
Về mặt toán học, mối quan hệ này hoàn toàn có thể được định nghĩa như sau .
A là một ma trận m × n, sau đó tất cả chúng ta nhận được một hàm tuyến tính L : R n → R m bằng cách xác lập
L ( x ) = Ax
hoặc là
Ax = B
Xem qua ví dụ được đưa ra bên dưới để hiểu cụ thể về ánh xạ này .

Câu hỏi:

Một căn phòng chứa x túi và y hộp quả, mỗi túi chứa 2 quả táo và 4 quả chuối và mỗi hộp có 6 quả táo và 8 quả chuối. Có tổng số 20 quả táo và 28 quả chuối trong phòng. Tìm giá trị của x và y .

Giải pháp :

Viết phương trình đồng thời để thông tin đã cho mà điều kiện kèm theo trên trở thành đúng .

2x + 6y = 20

4 x + 8 y = 28
Ở đây, ví dụ đưa ra ở trên cho thấy mạng lưới hệ thống phương trình tuyến tính .
Bây giờ, viết phương trình trên dưới dạng đẳng thức giữa 2 vectơ và sử dụng những quy tắc, tất cả chúng ta nhận được
( 2 x + 6 y4 x + 8 y ) = ( 2028 ) x ( 24 ) + và ( 6 số 8 ) = ( 2028 ) Chúng ta bộc lộ những hàm dưới dạng một mảng số được gọi là ma trận .
Do đó, hàm ( 246 số 8 ) được định nghĩa bởi
( 246 số 8 ) ( xY ) = x ( 24 ) + và ( 6 số 8 )

Đại số tuyến tính số

Đại số tuyến tính số còn được gọi là đại số tuyến tính ứng dụng. Đại số tuyến tính ứng dụng đề cập đến việc nghiên cứu và điều tra cách những phép toán ma trận hoàn toàn có thể được sử dụng để tạo ra những thuật toán máy tính, giúp xử lý những yếu tố trong toán học liên tục với hiệu suất cao và độ đúng mực. Trong đại số tuyến tính số, nhiều giải pháp phân rã ma trận được sử dụng để tìm giải thuật cho những bài toán đại số tuyến tính phổ cập như tối ưu hóa bình phương nhỏ nhất, xác định giá trị Eigen và giải hệ phương trình tuyến tính. Một số chiêu thức phân rã ma trận trong đại số tuyến tính số gồm có phân rã Eigen, phân rã giá trị đơn, nghiên cứu và phân tích nhân tử QR, v.v.

Ứng dụng Đại số tuyến tính

Ở đây, một số ít ứng dụng của đại số tuyến tính được đưa ra như :

• Xếp hạng trong Công cụ Tìm kiếm – Một trong những ứng dụng quan trọng nhất của đại số tuyến tính là trong việc tạo ra Google. Thuật toán xếp hạng phức tạp nhất được tạo ra với sự trợ giúp của đại số tuyến tính.
• Phân tích tín hiệu – Nó được sử dụng rộng rãi trong việc mã hóa, phân tích và thao tác các tín hiệu có thể là âm thanh, video hoặc hình ảnh, v.v.
• Lập trình tuyến tính – Tối ưu hóa là một ứng dụng quan trọng của đại số tuyến tính được sử dụng rộng rãi trong lĩnh vực lập trình tuyến tính.
• Mã sửa lỗi – Nó được sử dụng trong lý thuyết mã hóa. Nếu dữ liệu được mã hóa bị can thiệp một chút và với sự trợ giúp của đại số tuyến tính, nó sẽ được khôi phục. Một mã sửa lỗi quan trọng như vậy được gọi là mã hamming
• Dự đoán – Dự đoán của một số đối tượng nên được tìm thấy bằng cách sử dụng các mô hình tuyến tính được phát triển bằng cách sử dụng đại số tuyến tính.
• Nhận dạng khuôn mặt- Một công nghệ nhận dạng khuôn mặt tự động sử dụng biểu thức đại số tuyến tính được gọi là phân tích thành phần chính.
• Đồ họa- Một phần quan trọng của đồ họa là chiếu cảnh 3 chiều trên màn hình 2 chiều chỉ được xử lý bởi các bản đồ tuyến tính được giải thích bằng đại số tuyến tính.

Bài toán đại số tuyến tính

Các bài toán đại số tuyến tính gồm có ma trận, không gian, vectơ, định thức và mạng lưới hệ thống những khái niệm phương trình tuyến tính. Bây giờ, tất cả chúng ta hãy đàm đạo về cách giải những bài toán đại số tuyến tính .

Ví dụ 1:

Tìm giá trị của x, y và z để hệ phương trình tuyến tính đã cho .
2 x + y – z = 8
– 3 x – y + 2 z = – 11
– 2 x + y + 2 z = – 3

Giải pháp:

Được ,
2 x + y – z = 8
– 3 x – y + 2 z = – 11
– 2 x + y + 2 z = – 3
Ma trận có dạng ,
AX = B ,
Đây, A = ⎡ ⎣ ⎢ 2 – 3 – 21 – 11 – 122 ⎤ ⎦ ⎥ x = ⎡ ⎣ ⎢ xYvới ⎤ ⎦ ⎥ B = ⎡ ⎣ ⎢ số 8 – 11 – 3 ⎤ ⎦ ⎥
Sau khi thực thi thao tác hàng cơ bản và ma trận tăng cường, nó được giảm xuống dạng
A ⎡ ⎣ ⎢ 2 – 3 – 21 – 11 – 122 số 8 – 11 – 3 ⎤ ⎦ ⎥
Bây giờ, dạng cấp bậc rút gọn của ma trận trên là ,
A ⎡ ⎣ ⎢ 10001000123 – 1 ⎤ ⎦ ⎥
Do đó, giải pháp duy nhất cho việc này là ,
x = 2
y = 3
z = – 1

Ví dụ 2: 

Tìm giá trị của x, cho rằng ∣ ∣ ∣ 3 xx1 ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ 3421 ∣ ∣ ∣

Giải pháp:

Cho rằng : ∣ ∣ ∣ 3 xx1 ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ 3421 ∣ ∣ ∣
Do đó, định thức trên hoàn toàn có thể được coi là :
3 – x 2 = 3 – 8
3 – x 2 = – 5
– x 2 = – 5-3
– x 2 = – 8 ,
Bây giờ, nhân cả hai vế với – 1, tất cả chúng ta nhận được
x 2 = 8
x = ± 2 √ 2
Do đó, giá trị của x là ± 2 √ 2 .

Các yếu tố thực hành thực tế về Đại số tuyến tính

1. Giải cặp phương trình tuyến tính sau bằng phương pháp thay thế: 7x-15y = 2, x + 2y = 3.
2. Giải phương trình 2x + 3y = 11 và 2x-4y = -24. Ngoài ra, hãy xác định giá trị của “m” mà y = mx + 3.
3. Giải các phương trình sau bằng phương pháp thay thế và phương pháp khử: 3x + 4y = 10 và 2x – 2y = 2.

Các câu hỏi thường gặp về Đại số tuyến tính

Đại số tuyến tính có nghĩa là gì ?

Đại số tuyến tính là điều tra và nghiên cứu về đường thẳng, mặt phẳng, không gian vectơ, ánh xạ, được nhu yếu được cho phép đổi khác tuyến tính .

Đề cập đến những ứng dụng của đại số tuyến tính ?

Một số ứng dụng trong thực tiễn của đại số tuyến tính gồm có nhận dạng khuôn mặt, kiểm tra mã hóa trong kỹ thuật ứng dụng, xếp hạng trong công cụ tìm kiếm, đồ họa, v.v.

Thế nào được gọi là một hàm tuyến tính ?

Một hàm tuyến tính là một loại phương trình đại số, trong đó mỗi số hạng là một hằng số hoặc một tích của hằng số và một biến độc lập duy nhất của lũy thừa 1.

Ý nghĩa của một vectơ là gì ?

Vectơ là đại lượng có hai đặc thù độc lập gọi là độ lớn và hướng .

Không gian vectơ có nghĩa là gì ?

Không gian vectơ gồm có một tập hợp những đối tượng người tiêu dùng được gọi là vectơ, chúng hoàn toàn có thể được cộng lại với nhau và nhân với những số được gọi là vô hướng .

Xem thêm: 

• Sự khác biệt giữa Công cụ Tìm kiếm và Trình duyệt Web
• Dạng đầy đủ của RAM là gì?
• Giá trị của Electron là gì?

Source: https://vh2.com.vn
Category : Trái Đất