https://vh2.com.vn – Công thức tổng quát tính thể tích của một khối tứ diện bất kì và các trường hợp đặc biệt | Học toán online chất lượng cao 2022 | Vted

Bài viết này Vted tổng hợp và giới thiệu lại một số công thức tính nhanh thể tích của khối tứ diện cho một số trường hợp đặc biệt hay gặp

https://www.vted.vn/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2021-mon-toan-danh-cho-teen-2k3-12
Đồng thời trình diễn công thức tổng quát tính thể tích cho khối tứ diện bất kể khi biết độ dài tổng thể 6 cạnh của tứ diện. Việc ghi nhớ những công thức này giúp những em xử lý nhanh 1 số ít dạng bài khó về thể tích khối tứ diện trong đề thi trung học phổ thông Quốc Gia 2019 – Môn Toán .

Bài viết này trích lược một số công thức nhanh hay dùng cho khối tứ diện. Các công thức nhanh khác liên quan đến thể tích khối tứ diện và thể tích khối lăng trụ bạn đọc tham khảo khoá COMBO X do Vted phát hành tại đây: https://www.vted.vn/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2020-mon-toan-danh-cho-teen-2k2-9

>> Xem đề thi Thể tích tứ diện và những trường hợp đặc biệt quan trọng

Công thức tổng quát: Khối tứ diện $ABCD$ có $BC=a,CA=b,AB=c,AD=d,BD=e,CD=f$ ta có công thức tính thể tích của tứ diện theo sáu cạnh như sau: \[V=\dfrac{1}{12}\sqrt{M+N+P-Q},\] trong đó \[\begin{align} & M={{a}^{2}}{{d}^{2}}({{b}^{2}}+{{e}^{2}}+{{c}^{2}}+{{f}^{2}}-{{a}^{2}}-{{d}^{2}}) \\ & N={{b}^{2}}{{e}^{2}}({{a}^{2}}+{{d}^{2}}+{{c}^{2}}+{{f}^{2}}-{{b}^{2}}-{{e}^{2}}) \\ & P={{c}^{2}}{{f}^{2}}({{a}^{2}}+{{d}^{2}}+{{b}^{2}}+{{e}^{2}}-{{c}^{2}}-{{f}^{2}}) \\ & Q={{(abc)}^{2}}+{{(aef)}^{2}}+{{(bdf)}^{2}}+{{(cde)}^{2}} \\ \end{align}\]

Công thức 1: Khối tứ diện đều

Khối tứ diện đều cạnh $ a, $ ta có $ V = \ dfrac { { { a } ^ { 3 } } \ sqrt { 2 } } { 12 }. $

Ví dụ 1: Cho tứ diện đều có chiều cao bằng \[h\]. Thể tích của khối tứ diện đã cho là

A. \[V=\frac{\sqrt{3}{{h}^{3}}}{4}\].

B. \[V=\frac{\sqrt{3}{{h}^{3}}}{8}\].

C. \[V=\frac{\sqrt{3}{{h}^{3}}}{3}\].

D. \[V=\frac{2\sqrt{3}{{h}^{3}}}{3}\].

Giải. Thể tích tứ diện đều cạnh $a$ là $V=\frac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{12}.$

Chiều cao tứ diện đều là USD h = \ frac { 3V } { S } = \ frac { 3 \ left ( \ frac { \ sqrt { 2 } { { a } ^ { 3 } } } { 12 } \ right ) } { \ frac { \ sqrt { 3 } { { a } ^ { 2 } } } { 4 } } = \ sqrt { \ frac { 2 } { 3 } } a \ Rightarrow a = \ sqrt { \ frac { 3 } { 2 } } h. $
Vì vậy $ V = \ frac { \ sqrt { 2 } } { 12 } { { \ left ( \ sqrt { \ frac { 3 } { 2 } } h \ right ) } ^ { 3 } } = \ frac { \ sqrt { 3 } { { h } ^ { 3 } } } { 8 }. $ Chọn đáp án B .

Công thức 2: Khối tứ diện vuông (các góc tại một đỉnh của tứ diện là góc vuông)

Với tứ diện $ ABCD $ có $ AB, AC, AD $ đôi một vuông góc và $ AB = a, AC = b, AD = c, $ ta có $ V = \ dfrac { 1 } { 6 } abc. $

Công thức 3: Khối tứ diện gần đều (các cặp cạnh đối tương ứng bằng nhau)

Với tứ diện $ ABCD $ có $ AB = CD = a, BC = AD = b, AC = BD = c $ ta có \ [ V = \ dfrac { \ sqrt { 2 } } { 12 }. \ sqrt { ( { { a } ^ { 2 } } + { { b } ^ { 2 } } – { { c } ^ { 2 } } ) ( { { b } ^ { 2 } } + { { c } ^ { 2 } } – { { a } ^ { 2 } } ) ( { { a } ^ { 2 } } + { { c } ^ { 2 } } – { { b } ^ { 2 } } ) }. \ ]

Ví dụ 1: Chokhối tứ diện $ABCD$có $AB=CD=8,AD=BC=5$ và $AC=BD=7.$ Thể tích khối tứ diện đã cho bằng

Giải. Ta có ${{V}_{ABCD}}=\frac{\sqrt{2}}{12}\sqrt{({{8}^{2}}+{{5}^{2}}-{{7}^{2}})({{5}^{2}}+{{7}^{2}}-{{8}^{2}})({{7}^{2}}+{{8}^{2}}-{{5}^{2}})}=\frac{20\sqrt{11}}{3}.$ Chọn đáp án B.

Ví dụ 2: Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=CD=8,AD=BC=5$ và $AC=BD=7.$ Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB.$Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(CMD)$bằng  

Giải. Ta có ${{V}_{AMCD}}=\frac{AM}{AB}{{V}_{ABCD}}=\frac{1}{2}{{V}_{ABCD}}=\frac{\sqrt{2}}{24}\sqrt{({{8}^{2}}+{{5}^{2}}-{{7}^{2}})({{5}^{2}}+{{7}^{2}}-{{8}^{2}})({{7}^{2}}+{{8}^{2}}-{{5}^{2}})}=\frac{10\sqrt{11}}{3}.$

Tam giác $ MCD $ có USD CD = 8 $ và theo công thức đường trung tuyến ta có :
USD MC = \ sqrt { \ frac { 2 ( C { { A } ^ { 2 } } + C { { B } ^ { 2 } } ) – A { { B } ^ { 2 } } } { 4 } } = \ sqrt { \ frac { 2 ( { { 7 } ^ { 2 } } + { { 5 } ^ { 2 } } ) – { { 8 } ^ { 2 } } } { 4 } } = \ sqrt { 21 }. $
và $ MD = \ sqrt { \ frac { 2 ( D { { A } ^ { 2 } } + D { { B } ^ { 2 } } ) – A { { B } ^ { 2 } } } { 4 } } = \ sqrt { \ frac { 2 ( { { 5 } ^ { 2 } } + { { 7 } ^ { 2 } } ) – { { 8 } ^ { 2 } } } { 4 } } = \ sqrt { 21 }. $
Vậy USD { { S } _ { MCD } } = 4 \ sqrt { 5 }. $ Do đó USD d ( A, ( MCD ) ) = \ frac { 3 { { V } _ { AMCD } } } { { { S } _ { MCD } } } = \ frac { 10 \ sqrt { 11 } } { 4 \ sqrt { 5 } } = \ frac { \ sqrt { 55 } } { 2 }. $ Chọn đáp án B .

Ví dụ 3: Khối tứ diện $ABCD$ có $AB=CD=5a,AC=BD=6a,AD=BC=7a$ có thể tích bằng

A. $ \ sqrt { 95 } { { a } ^ { 3 } }. $
B. USD 8 \ sqrt { 95 } { { a } ^ { 3 } }. $
C. USD 2 \ sqrt { 95 } { { a } ^ { 3 } }. $
D. USD 4 \ sqrt { 95 } { { a } ^ { 3 } }. $

Giải. Áp dụng công thức tính thể tích khối tứ diện gần đều có

USD { { V } _ { ABCD } } = \ dfrac { \ sqrt { 2 } } { 12 } \ sqrt { \ left ( { { 5 } ^ { 2 } } + { { 6 } ^ { 2 } } – { { 7 } ^ { 2 } } \ right ) \ left ( { { 6 } ^ { 2 } } + { { 7 } ^ { 2 } } – { { 5 } ^ { 2 } } \ right ) \ left ( { { 7 } ^ { 2 } } + { { 5 } ^ { 2 } } – { { 6 } ^ { 2 } } \ right ) } { { a } ^ { 3 } } = 2 \ sqrt { 95 } { { a } ^ { 3 } }. $
Chọn đáp án C .
Xem thêm tại đây : https://www.vted.vn/tin-tuc/cong-thuc-tong-quat-tinh-the-tich-cua-mot-khoi-tu-dien-bat-ki-va-cac-truong-hop-dac-biet-4345.html

Công thức 4: Khối tứ diện có khoảng cách và góc giữa cặp cạnh đối diện của tứ diện

Tứ diện $ ABCD $ có $ AD = a, BC = b, d ( AD, BC ) = d, ( AD, BC ) = \ alpha, $ ta có $ V = \ dfrac { 1 } { 6 } abd \ sin \ alpha. $

Ví dụ 1.Cho khối tứ diện $ABCD$ có $AB=AC=BD=CD=1.$ Khi thể tích khối tứ diện $ABCD$ đạt giá trị lớn nhất thì khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD$ và $BC$ bằng

>>Lời giải chi tiết:

Ví dụ 2: Cho hai mặt cầu $({{S}_{1}}),({{S}_{2}})$ có cùng tâm $I$ và bán kính lần lượt ${{R}_{1}}=2,{{R}_{2}}=\sqrt{10}.$ Xét tứ diện $ABCD$ có hai đỉnh $A,B$ nằm trên $({{S}_{1}});$ hai đỉnh $C,D$ nằm trên $({{S}_{2}}).$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có giá trị lớn nhất bằng

A. $3\sqrt{2}.$

B. $2\sqrt{3}.$

C. $6\sqrt{3}.$

D. $6\sqrt{2}.$

Giải. Gọi $a,b$ lần lượt là khoảng cách từ tâm $I$ đến hai đường thẳng $AB,CD.$

Ta có $ AB = 2 \ sqrt { R_ { 1 } ^ { 2 } – { { a } ^ { 2 } } } = 2 \ sqrt { 4 – { { a } ^ { 2 } } } ; CD = 2 \ sqrt { R_ { 2 } ^ { 2 } – { { b } ^ { 2 } } } = 2 \ sqrt { 10 – { { b } ^ { 2 } } } $ và USD d ( AB, CD ) \ le d ( I, AB ) + d ( I, CD ) = a + b USD và $ \ sin ( AB, CD ) \ le 1. $
Do đó vận dụng công thức tính thể tích tứ diện theo khoảng cách chéo nhau của cặp cạnh đối lập có :
USD \ begin { gathered } { V_ { ABCD } } = \ frac { 1 } { 6 } AB.CD.d ( AB, CD ). \ sin ( AB, CD ) \ leqslant \ frac { 2 } { 3 } ( a + b ) \ sqrt { 4 – { a ^ 2 } } \ sqrt { 10 – { b ^ 2 } } \ \ = \ frac { 2 } { 3 } \ left ( { a \ sqrt { 4 – { a ^ 2 } } \ sqrt { 10 – { b ^ 2 } } + b \ sqrt { 10 – { b ^ 2 } } \ sqrt { 4 – { a ^ 2 } } } \ right ) = \ frac { 2 } { 3 } \ left ( { \ sqrt { 4 { a ^ 2 } – { a ^ 4 } } \ sqrt { 10 – { b ^ 2 } } + \ sqrt { \ frac { { 10 { b ^ 2 } – { b ^ 4 } } } { 2 } } \ sqrt { 8 – 2 { a ^ 2 } } } \ right ) \ \ \ leqslant \ frac { 2 } { 3 } \ sqrt { \ left ( { 4 { a ^ 2 } – { a ^ 4 } + 8 – 2 { a ^ 2 } } \ right ) \ left ( { 10 – { b ^ 2 } + \ frac { { 10 { b ^ 2 } – { b ^ 4 } } } { 2 } } \ right ) } = \ frac { 2 } { 3 } \ sqrt { \ left ( { – { { ( { a ^ 2 } – 1 ) } ^ 2 } + 9 } \ right ) \ left ( { – \ frac { 1 } { 2 } { { ( { b ^ 2 } – 4 ) } ^ 2 } + 18 } \ right ) } \ leqslant \ frac { 2 } { 3 } \ sqrt { 9.18 } = 6 \ sqrt 2. \ \ \ end { gathered } $
Dấu bằng đạt tại USD ( a ; b ) = ( 1 ; 2 ). $ Chọn đáp án D .

Ví dụ 3: Cho một hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh bằng $a.$ Biết rằng $AB$ và $CD$ là hai đường kính tương ứng của hai đáy và góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ bằng $30{}^\circ .$ Tính thể tích khối tứ diện $ABCD.$

Có USD h = 2 r = a ; { { V } _ { ABCD } } = \ frac { 1 } { 6 } AB.CD.d ( AB, CD ). \ sin ( AB, CD ) = \ frac { 1 } { 3 }. 2 r. 2 r. h. \ sin { { 30 } ^ { 0 } } = \ frac { { { a } ^ { 3 } } } { 6 }. $ Chọn đáp án C .

Công thức 5: Khối tứ diện biết diện tích hai mặt kề nhau

Ví dụ 1: Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A,AB=a,\widehat{SBA}=\widehat{SCA}=90{}^\circ ,$ góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ bằng $60{}^\circ .$ Thể tích của khối chóp đã cho bằng

A. ${{a}^{3}}.$

B. $\frac{{{a}^{3}}}{3}.$

C. $\frac{{{a}^{3}}}{2}.$

D. $\frac{{{a}^{3}}}{6}.$

Lời giải chi tiết. Gọi $H=\mathbf{h/c(S,(ABC))}$ ta có $\left\{ \begin{gathered} AB \bot SB \hfill \\ AB \bot SH \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow AB \bot (SBH) \Rightarrow AB \bot BH;\left\{ \begin{gathered} AC \bot SC \hfill \\ AC \bot SH \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow AC \bot (SCH) \Rightarrow AC \bot CH.$ Kết hợp với $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A,AB=a$ suy ra $ABHC$ là hình vuông.

Đặt $h=SH\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}{{S}_{ABC}}.SH=\frac{{{a}^{2}}h}{6}(1).$

Mặt khác USD { { V } _ { S.ABC } } = \ frac { 2 { { S } _ { SAB } }. { { S } _ { SAC } }. \ sin \ left ( ( SAB ), ( SAC ) \ right ) } { 3SA } = \ frac { 2 \ left ( \ frac { a \ sqrt { { { a } ^ { 2 } } + { { h } ^ { 2 } } } } { 2 } \ right ) \ left ( \ frac { a \ sqrt { { { a } ^ { 2 } } + { { h } ^ { 2 } } } } { 2 } \ right ) \ frac { \ sqrt { 3 } } { 2 } } { 3 \ sqrt { 2 { { a } ^ { 2 } } + { { h } ^ { 2 } } } } ( 2 ). $

Từ (1) và (2) suy ra $h=a\Rightarrow V=\frac{{{a}^{3}}}{6}.$ Chọn đáp án D.

Ví dụ 2: Cho tứ diện $ABCD$ có $\widehat{ABC}=\widehat{BCD}=\widehat{CDA}={{90}^{0}},BC=a,CD=2a,\cos \left( (ABC),(ACD) \right)=\dfrac{\sqrt{130}}{65}.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ bằng

A. $\frac{{{a}^{3}}}{3}.$

B. ${{a}^{3}}.$

C. $\frac{2{{a}^{3}}}{3}.$

D. $3{{a}^{3}}.$

Lời giải chi tiết. Gọi $H=\mathbf{h/c(A,(BCD))}.$ Đặt $AH=h\Rightarrow {{V}_{ABCD}}=\frac{1}{3}{{S}_{BCD}}.AH=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}CB.CD.AH=\frac{{{a}^{2}}h}{3}(1).$

Ta có $ \ left \ { \ begin { gathered } CB \ bot BA \ hfill \ \ CB \ bot AH \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right. \ Rightarrow CB \ bot ( ABH ) \ Rightarrow CB \ bot HB. $ Tương tự $ \ left \ { \ begin { gathered } CD \ bot DA \ hfill \ \ CD \ bot AH \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right. \ Rightarrow CD \ bot ( ADH ) \ Rightarrow CD \ bot HD. $
Kết hợp với $ \ widehat { BCD } = { { 90 } ^ { 0 } } \ Rightarrow HBCD $ là hình chữ nhật .
Suy ra $ AB = \ sqrt { A { { H } ^ { 2 } } + H { { B } ^ { 2 } } } = \ sqrt { { { h } ^ { 2 } } + 4 { { a } ^ { 2 } } }, AD = \ sqrt { A { { H } ^ { 2 } } + H { { D } ^ { 2 } } } = \ sqrt { { { h } ^ { 2 } } + { { a } ^ { 2 } } } ; AC = \ sqrt { A { { B } ^ { 2 } } + B { { C } ^ { 2 } } } = \ sqrt { { { h } ^ { 2 } } + 5 { { a } ^ { 2 } } }. $
Suy ra USD { { S } _ { ABC } } = \ frac { 1 } { 2 } AB.BC = \ frac { a \ sqrt { { { h } ^ { 2 } } + 4 { { a } ^ { 2 } } } } { 2 } ; { { S } _ { ACD } } = \ frac { 1 } { 2 } AD.DC = a \ sqrt { { { h } ^ { 2 } } + { { a } ^ { 2 } } }. $
Suy ra USD { { V } _ { ABCD } } = \ frac { 2 { { S } _ { ABC } }. { { S } _ { ACD } }. \ sin \ left ( ( ABC ), ( ACD ) \ right ) } { 3AC } = \ frac { { { a } ^ { 2 } } \ sqrt { { { h } ^ { 2 } } + 4 { { a } ^ { 2 } } } \ sqrt { { { h } ^ { 2 } } + { { a } ^ { 2 } } } } { 3 \ sqrt { { { h } ^ { 2 } } + 5 { { a } ^ { 2 } } } } \ sqrt { 1 – { { \ left ( \ frac { \ sqrt { 130 } } { 65 } \ right ) } ^ { 2 } } } ( 2 ). $
Kết hợp ( 1 ), ( 2 ) suy ra : USD h = 3 a \ Rightarrow { { V } _ { ABCD } } = { { a } ^ { 3 } }. $ Chọn đáp án B .

Ví dụ 3: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $a,\widehat{ABC}={{120}^{0}}.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và góc giữa hai mặt phẳng $(SBC),(SCD)$ bằng ${{60}^{0}},$ khi đó $SA$ bằng

Có $ SA = x > 0 \ Rightarrow { { V } _ { S.BCD } } = \ dfrac { 1 } { 3 } { { S } _ { BCD } }. SA = \ dfrac { \ sqrt { 3 } x } { 12 } ( 1 ), \ left ( a = 1 \ right ). $

Mặt khác USD { { V } _ { S.BCD } } = \ dfrac { 2 { { S } _ { SBC } }. { { S } _ { SCD } }. \ sin \ left ( ( SBC ), ( SCD ) \ right ) } { 3SC } = \ dfrac { 2 { { \ left ( \ dfrac { \ sqrt { 4 { { x } ^ { 2 } } + 3 } } { 4 } \ right ) } ^ { 2 } } \ dfrac { \ sqrt { 3 } } { 2 } } { 3 \ sqrt { { { x } ^ { 2 } } + 3 } } ( 2 ). $
Trong đó USD BC = 1, SB = \ sqrt { { { x } ^ { 2 } } + 1 }, SC = \ sqrt { { { x } ^ { 2 } } + 3 } \ Rightarrow { { S } _ { SBC } } = \ dfrac { \ sqrt { 4 { { x } ^ { 2 } } + 3 } } { 4 } ; \ Delta SBC = \ Delta SDC ( c-c-c ) \ Rightarrow { { S } _ { SCD } } = \ dfrac { \ sqrt { 4 { { x } ^ { 2 } } + 3 } } { 4 }. $
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \ [ x = \ dfrac { \ sqrt { 6 } } { 4 }. \ ] Chọn đáp án A .

Ví dụ 4: Cho tứ diện $ABCD$ có $ABC$ và $ABD$ là tam giác đều cạnh bằng $a.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có giá trị lớn nhất bằng

Có USD { { V } _ { ABCD } } = \ dfrac { 2 { { S } _ { ABC } } { { S } _ { ABD } } \ sin \ left ( ( ABC ), ( ABD ) \ right ) } { 3AB } = \ dfrac { 2 \ left ( \ dfrac { \ sqrt { 3 } { { a } ^ { 2 } } } { 4 } \ right ) \ left ( \ dfrac { \ sqrt { 3 } { { a } ^ { 2 } } } { 4 } \ right ) } { 3 a } \ sin \ left ( ( ABC ), ( ABD ) \ right ) \ le \ dfrac { 2 \ left ( \ dfrac { \ sqrt { 3 } { { a } ^ { 2 } } } { 4 } \ right ) \ left ( \ frac { \ sqrt { 3 } { { a } ^ { 2 } } } { 4 } \ right ) } { 3 a } = \ dfrac { { { a } ^ { 3 } } } { 8 }. $
Dấu bằng đạt tại USD ( ABC ) \ bot ( ABD ). $ Chọn đáp án A .

Ví dụ 5: Cho lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’$ có diện tích tam giác ${A}’BC$ bằng $4,$ khoảng cách từ $A$ đến $BC$ bằng $3,$ góc giữa hai mặt phẳng $\left( {A}’BC \right)$ và $\left( {A}'{B}'{C}’ \right)$ bằng $30{}^\circ .$ Thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’$ bằng

A. $3\sqrt{3}.$ B. $6.$                         C. $2.$         D. $12.$

Giải. Áp dụng công thức tính thể tích tứ diện cho trường hợp biết góc và diện tích của hai mặt

USD { { V } _ { ABC. { A } ‘ { B } ‘ { C } ‘ } } = 3 { { V } _ { { A } ‘. ABC } } = 3 \ left ( \ dfrac { 2 { { S } _ { { A } ‘ BC } }. { { S } _ { ABC } }. \ sin \ left ( \ left ( { A } ‘ BC \ right ), \ left ( ABC \ right ) \ right ) } { 3BC } \ right ) USD
USD = \ dfrac { { { S } _ { { A } ‘ BC } }. d \ left ( A, BC \ right ). BC. \ sin \ left ( \ left ( { A } ‘ BC \ right ), \ left ( ABC \ right ) \ right ) } { BC } = { { S } _ { { A } ‘ BC } }. d \ left ( A, BC \ right ). \ sin \ left ( \ left ( { A } ‘ BC \ right ), \ left ( ABC \ right ) \ right ) = 4.3. \ dfrac { 1 } { 2 } = 6. $ Chọn đáp án B .

Công thức 6:Mở rộng cho khối chóp có diện tích mặt bên và mặt đáy

Khối chóp $ S. { { A } _ { 1 } } { { A } _ { 2 } } … { { A } _ { n } } $ có $ V = \ dfrac { 2 { { S } _ { S { { A } _ { 1 } } { { A } _ { 2 } } } }. { { S } _ { { { A } _ { 1 } } { { A } _ { 2 } } … { { A } _ { n } } } }. \ sin \ left ( ( S { { A } _ { 1 } } { { A } _ { 2 } } ), ( { { A } _ { 1 } } { { A } _ { 2 } } … { { A } _ { n } } ) \ right ) } { 3 { { A } _ { 1 } } { { A } _ { 2 } } }. $

Công thức 7: Khối tứ diện khi biết các góc tại cùng một đỉnh

Khối chóp $ S.ABC $ có $ SA = a, SB = b, SC = c, \ widehat { BSC } = \ alpha, \ widehat { CSA } = \ beta, \ widehat { ASA } = \ gamma. $
Khi đó USD V = \ dfrac { abc } { 6 } \ sqrt { 1 + 2 \ cos \ alpha \ cos \ beta \ cos \ gamma – { { \ cos } ^ { 2 } } \ alpha – { { \ cos } ^ { 2 } } \ beta – { { \ cos } ^ { 2 } } \ gamma }. $

Ví dụ 1: Khối tứ diện $ABCD$ có $AB=5,CD=\sqrt{10},AC=2\sqrt{2},BD=3\sqrt{3},AD=\sqrt{22},BC=\sqrt{13}$ có thể tích bằng

A. USD 20. $
B. USD 5. $
C. USD 15. $
D. USD 10. $

Giải. Tứ diện này có độ dài tất cả các cạnh ta tính các góc tại một đỉnh rồi áp dụng công thức thể tích khối tứ diện dựa trên 3 góc xuất phát từ cùng 1 đỉnh:

Có $ \ left \ { \ begin { gathered } \ hfill \ cos \ widehat { BAD } = \ dfrac { A { { B } ^ { 2 } } + A { { D } ^ { 2 } } – B { { D } ^ { 2 } } } { 2AB. AD } = \ sqrt { \ dfrac { 2 } { 11 } } \ \ \ hfill \ cos \ widehat { DAC } = \ dfrac { A { { D } ^ { 2 } } + A { { C } ^ { 2 } } – C { { D } ^ { 2 } } } { 2AD. AC } = \ dfrac { 5 } { 2 \ sqrt { 11 } } \ \ \ hfill \ cos \ widehat { CAB } = \ dfrac { A { { C } ^ { 2 } } + A { { B } ^ { 2 } } – B { { C } ^ { 2 } } } { 2AC. AB } = \ dfrac { 1 } { \ sqrt { 2 } } \ \ \ end { gathered } \ right .. $
Vì vậy USD { { V } _ { ABCD } } = \ dfrac { 1 } { 6 }. 5.2 \ sqrt { 2 }. \ sqrt { 22 } \ sqrt { 1 + 2 \ sqrt { \ dfrac { 2 } { 11 } } \ dfrac { 5 } { 2 \ sqrt { 11 } } \ dfrac { 1 } { \ sqrt { 2 } } – { { \ left ( \ sqrt { \ dfrac { 2 } { 11 } } \ right ) } ^ { 2 } } – { { \ left ( \ dfrac { 5 } { 2 \ sqrt { 11 } } \ right ) } ^ { 2 } } – { { \ left ( \ dfrac { 1 } { \ sqrt { 2 } } \ right ) } ^ { 2 } } } = 5. $
Chọn đáp án B .

>>Xem bài giảng và đề thi tương ứng tại đây: https://www.vted.vn/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2021-mon-toan-danh-cho-teen-2k3-12

Source: https://vh2.com.vn
Category : Trái Đất