BAI TAP Chuong 4 – Không GIAN VECTƠ – HƯỚNG DẪN TỰ HỌC VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 4 KHÔNG GIAN VECTƠ A. Các – StuDocu

HƯỚNG DẪN TỰ HỌC VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 4

KHÔNG GIAN VECTƠ

A. Các kiến thức trọng tâm:
1. Không gian vectơ, không gian vectơ con, tổng các không gian véc tơ con của
một không gian véc tơ, không gian véc tơ thương.
2. Các tính chất của không gian véc tơ.
3. Các ví dụ về không gian véc tơ.

# # # # # # # 4. Hệ véc tơ phụ thuộc vào tuyến tính của một không gian véc tơ ( Vec tơ  cónhiều hơn một cách trình diễn tuyến tính qua hệ vec tơ đó ) .

####### 5. Hệ véc tơ độc lập tuyến tính của một không gian véc tơ (Véc tơ  chỉ có một

cách màn biểu diễn tuyến tính qua hệ véc tơ đó với tổng thể những thông số trình diễn đều bằng 0 ). 6. Hệ sinh, cơ sở và số chiều của không gian vectơ. 7. Tọa độ của một vec tơ theo một cơ sở trong một không gian vec tơ. 8. Ma trận chuyển cơ sở trong không gian vectơ .

9. Giả sử đối với các cơ sở (I) và (II) trong không gian vec tơ Vn vec tơ

xV  lần lượt có các tọa độ là ( xx 1 ,…, n ) và ( yy 1 ,…, n ). Khi đó,        y = A x, trong đó

A là ma trận chuyển từ cơ sở ( I ) tới cơ sở ( II ) và         xy, là ma trận cột những tọa độcủa xV  lần lượt so với những cơ sở ( I ) và ( II ). Chú ý rằng, A là ma trận không suybiến và do đó ta có     x = A − 1     y .10 * *. * * Công thức xác lập số chiều của không gian tổng

dim( A B + =) dim A +dim B −dim( A  B ).

11. Công thức xác định số chiều của không gian thương

# # # # # # # dim V A / = − dim V dim A .

12. Không gian vec tơ n là không gian vec tơ n – chiều với cơ sở chính tắc.

e 12 =(1, 0,…, 0 ,) e =(0,1,…, 0 ,…,) en =(0, 0,…,1 .)

13. Tập con A   của không gian vec tơ V là không gian vec tơ con của V khi và chỉ khi A đóng kín với phép cộng và phép nhân vô hướng được cảm sinh từ V .
14. Cho A là một không gian vec tơ con của không gian vec tơ n – chiều Vn .

Thế thì, dim An . Hơn nữa, AV = n khi và chỉ khi dim An = .

B. Các kỹ năng cơ bản:
Kỹ năng 1. Nhận biết một không gian vectơ. Có 3 phương pháp chính sau:
a) Sử dụng định nghĩa (kiểm tra 8 tiên đề);
b) Chứng minh V là không gian con của không gian vectơ nào đó đã biết;
c) Chứng minh V tập nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.
Kỹ năng 2. Kiểm tra một hệ vectơ là hệ phụ thuộc tuyến tính hay độc lập tuyến tính:
– Sử dụng định nghĩa;
– Đưa về việc giải một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Nếu hệ phương
trình đó có nghiệm không tầm thường thì hệ vectơ là phụ thuộc tuyến tính, trái lại thì
hệ vectơ là độc lập tuyến tính;
– Chọn một cơ sở và lập ma trận tọa độ của hệ vectơ đó theo cơ sở đã chọn. Nếu
hạng của ma trận bằng số vectơ của hệ thì hệ độc lập tuyến tính, trái lại hệ vectơ đã là
phụ thuộc tuyến tính;

• Sử dụng các tính chất sau đây trong không gian vectơ cũng có thể cho lời giải
  ngắn gọn:
  1) Trong không gian vectơ n-chiều mọi hệ gồm n + 1 vectơ trở lên đều là hệ
  phụ thuộc tuyến tính.
  2) Mọi hệ con của hệ vectơ độc lập tuyến tính là hệ độc lập tuyến tính.
  3) Hệ vectơ chứa một hệ con phụ thuộc tuyến tính là hệ phụ thuộc tuyến tính.
  4) Hệ vectơ chứa vec tơ không là hệ phụ thuộc tuyến tính
  5 ) Một ma trận vuông cấp n không suy biến khi và chỉ khi hệ vectơ hàng (hoặc
  cột) của nó là hệ vectơ độc lập tuyến tính trong không gian vectơ n-chiều.
  Kỹ năng 3. Tìm được cơ sở và số chiều của không gian vectơ V
  Có các phương pháp chính sau:
  • Chỉ ra một hệ vectơ độc lập tuyến tính và chứng minh mọi vectơ của V đều
    biểu diễn được qua hệ đó (đưa về giải hệ phương trình tuyến tính).
  • Chỉ ra một hệ vectơ và chứng minh mỗi vectơ của V đều biểu diễn duy nhất
    qua hệ vectơ đó (chứng minh rằng hệ phương trình tuyến tính có duy nhất nghiệm).
  • Sử dụng kết quả: “ Trong không gian vectơ n-chiều mọi hệ gồm n vectơ độc
    lập tuyến tính đều là cơ sở ”.
  • Chỉ ra một hệ vectơ độc lập tuyến tính cực đại trong không gian V.
  • Xuất phát từ một hệ sinh nào đó của V ta có thể chỉ ra được một cơ sở của V

a ) Tập hợp những ma trận cấp nm . b ) Tập hợp những ma trận đối xứng cấp n. c ) Tập hợp những ma trận vuông cấp n giao hoán được với một ma trận vuông A cấp n cố định và thắt chặt cho trước. d ) Tập hợp những ma trận vuông cấp n có đường chéo chính bằng 0. e ) Tập hợp những ma trận đường chéo cấp n. g ) Tập hợp những ma trận vuông cấp n với định thức bằng 0 .# # # # # # # 5. Cho V =  với những phép toán xác lập như sau :

(a,b) + (c,d) = (a + c, b + d) và k(a,b) = (ka, 0).
Chứng tỏ rằng V là không gian vectơ thực.
6. Cho U là một không gian vectơ con của không gian vectơ V. Chứng tỏ rằng, hiệu
tập hợp V \ U không bao giờ là không gian vectơ con của V.
7. Trong không gian các hàm số thực từ vào, hãy chứng tỏ các hệ vectơ sau đây
độc lập tuyến tính:

= = + = = = = =), 2 1, , ) sin, cos, sin2, 2a f e g tt h t b f t g t h t l cos t# # # # # # # 8. Gọi n [ ] x là tập hợp những đa thức có bậc  n với hệ số thực .# # # # # # # a ) Chứng minh n [ ] x là một không gian vectơ với phép cộng hai đa thức vềphép nhân 1 số ít thực với một đa thức .# # # # # # # b ) Tìm số chiều và một cơ sở của n [ ] x .# # # # # # # 9. Gọi 3 [ ] x là tập hợp những đa thức có bậc  3 với thông số thực. Chứng minh hệ

1, x a x a − −,( ) ( ) 23, x a − 

# # # # # # # là một cơ sở 3 [ ] x, với   a .# # # # # # # 10. Gọi n [ ] x là tập hợp những đa thức có bậc  n với thông số thực. Chứng minh hệ

 ( ) ( ) 

# # # # # # # 1, x a x a − −, 2, …, x a − n# # # # # # # là một cơ sở n [ ] x, với   a .# # # # # # # 11. Trong không gian vectơ n [ ] x những đa thức có bậc  n với thông số thực. Tìm ma

trận chuyển từ cơ sở 1,, x x 2 ,…, xn  tới cơ sở

1, x a x a − −,( ) ( ) 2 ,…, x a − n , a .

12. Trong không gian vectơ n cho:

A =( x x 1, ,…, 2 xnn ) n x 1 + + + = x 2 x 0 

a ) Chứng minh A là một không gian con của n. b ) Tìm một cơ sở của A. c ) Xác định số chiều của A .

13. Trong không gian vectơ 3 cho:

A =( x x x 1, , 2 3 ) 3 ax 1 + + = bx 2 cxn 0, , , a b c .

1. Chứng minh A là một không gian con của n.
2. Tìm một cơ sở của A.
3. Xác định số chiều của A.

# # # # # # # 14. Trong không gian M 2 ( ) những ma trận vuông cấp hai thành phần thực, xét# # # # # # # 0# # # # # # #, ;# # # # # # # 0# # # # # # # a b a# # # # # # # X a b Y a# # # # # # # b a a# # # # # # #        # # # # # # # =      =     # # # # # # #   −      .# # # # # # # a ) Chứng minh rằng : X và Y là những không gian vectơ con của M 2 ( ) .b ) Tìm số chiều và cơ sở của mỗi không gian vectơ X và Y .

15. Chứng minh rằng tập

# # # # # # # xx# # # # # # # Xx# # # # # # # xx# # # # # # #    # # # # # # # =     # # # # # # #    với phép cộng ma trận và phép nhân

một số thực với một ma trận, lập thành không gian vectơ. Tìm cơ sở, số chiều của X.
16. Cho tập hợp

,, 0ab A a b c c


=


.

a ) Chứng minh rằng A là không gian vectơ con của không gian vectơ M 2 ( ) những ma trận thực vuông cấp 2 b ) Tìm cơ sở và số chiều của A .

17. Cho tập hợp: A =(, , ) x x x 1 2 3  3 ; x 1 + + = 2 x 2 3 x 3 0 .

a ) Chứng minh rằng A là không gian vectơ con của không gian vectơ 3. b ) Tìm cơ sở và số chiều của A .

Source: https://vh2.com.vn
Category : Trái Đất