Lý thuyết Vectơ trong không gian (mới 2022 + Bài Tập) – Toán 11

Lý thuyết Vectơ trong không gian lớp 11 gồm kim chỉ nan cụ thể, ngắn gọn và bài tập tự luyện có giải thuật chi tiết cụ thể sẽ giúp học viên nắm vững kiến thức và kỹ năng trọng tâm Toán 11 Bài 1 : Vectơ trong không gian .

Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Vectơ trong không gian

Bài giảng Toán 11 Bài 1: Vectơ trong không gian

A. Lý thuyết.

I. Định nghĩa và các phép toán về vecto trong không gian.

Cho đoạn thẳng AB trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là A, điểm cuối là B ta có một vecto, được kí hiệu là AB → .

1. Định nghĩa.

– Vecto trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu AB → chỉ vecto có điểm đầu là A, điểm cuối là B. Vecto còn được kí hiệu là a → ; b → ; x → ; y → ….
– Các khái niệm tương quan đến vecto như giá của vecto, độ dài của vecto, sự cùng phương, cùng hướng của vecto, vecto – không, sự bằng nhau của hai vecto … được định nghĩa tựa như như trong mặt phẳng .

2. Phép cộng và phép trừ vecto trong không gian

– Phép cộng và phép trừ của hai vecto trong không gian được định nghĩa tương tự như như phép cộng và phép trừ hai vecto trong mặt phẳng .
– Phép cộng vecto trong không gian cũng có những đặc thù như phép cộng vecto trong mặt phẳng. Khi thực thi phép cộng vecto trong không gian ta vẫn hoàn toàn có thể vận dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành như so với vecto trong hình học phẳng .

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh DA→ +​  BC→ =  BA→  +​  DC→

Lời giải:

Áp dụng quy tắc ba điểm ta có : DA → = DC → + CA →
Ta có :
DA → + ​ BC → = DC → + CA → + ​ BC → = DC → + ​ BC → + ​ CA → = DC → + ​ BA →
( điều phải chứng tỏ ) .

II. Điều kiện đồng phẳng của ba vecto.

1. Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vecto trong không gian.

Trong không gian cho ba vecto a → ; b → ; c → ≠ 0 →. Nếu từ một điểm O bất kỳ ta vẽ : OA → = a → ; OB → = b → ; OC → = c → thì hoàn toàn có thể xảy ra hai trường hợp :
+ Trường hợp những đường thẳng OA ; OB ; OC không cùng nằm trong một mặt phẳng, khi đó ta nói rằng ba vecto a → ; b → ; c → không đồng phẳng .
+ Trường hợp những đường thẳng OA ; OB ; OC cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói rằng ba vecto a → ; b → ; c → đồng phẳng .
Trong trường hợp này, giá của những vecto a → ; b → ; c → luôn luôn song song với một mặt phẳng .

– Chú ý. Việc xác định sự đồng phẳng hoặc không đồng phẳng của ba vecto nói trên không phụ thuộc vào việc chọn điểm O.

2. Định nghĩa:

Trong không gian ba vecto được gọi là đồng phẳng nếu những giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng .

Ví dụ 2. Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I là tâm hình bình hành  ABEF  và K  là tâm hình bình hành BCGF. Chứng minh BD→,IK→,GF→ đồng phẳng.

Lời giải:

Xét tam giác FAC có I ; K lần lượt là trung điểm của AF và FC nên IK là đường trung bình của tam giác .
⇒ IK / / AC nên IK / / mp ( ABCD ) .
Vì BC / / GF nên GF / / mp ( ABCD )
Ta có : IK / / ( ABCD ) GF / / ( ABCD ) BD ⊂ ( ABCD )
⇒ BD →, IK →, GF → đồng phẳng .

3. Điều kiện để ba vecto đồng phẳng.

– Định lí 1.

Trong không gian cho hai vecto a → ; b → không cùng phương và vecto c →. Khi đó, ba vecto a → ; b → ; c → đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m ; n sao cho c → = ma → + n b →. Ngoài ra, cặp số m ; n là suy nhất .

– Định lí 2.

Trong không gian cho ba vecto không đồng phẳng a → ; b → ; c →. Khi đó, với mọi vecto ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho x → = ma → + n b → + p c →. Ngoài ra, bộ ba số m ; n ; p là duy nhất .

Ví dụ 3. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ gọi M  là trung điểm của  BB’. Đặt CA→  = a→;  CB→ = b→; A​A’→=  c→. Phân tích vecto AM→ theo a→;  b→;  c→.

Lời giải:

Áp dụng quy tắc 3 điểm và quy tắc hiệu hai vecto ta có :
AM → = AB → + BM → = CB → − CA → + 12BB ‘ → ( vì M là trung điểm của BB ’ ) .
= b → − a → + 12AA ‘ → = b → − a → + 12 c →

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD  là hình bình hành. Đặt SA→=  a→; SB→=  b→; SC→=  c→; SD→=  d→. Chứng minh: a→+c→=d→+b→

Lời giải:

Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Ta có :
SA → + SC → = 2SO → SB → + SD → = 2SO → ( do đặc thù của đường trung tuyến )
⇒ SA → + SC → = SB → + SD → ⇔ a → + c → = d → + b →

Bài 2. Cho tứ diện ABCD có G  là trọng tâm tam giác  BCD. Đặt AB→=  x→; AC→=  y→; AD→ = z→. Phân tích vecto theo các vecto x→;  y→;  z→

Lời giải:

Gọi M là trung điểm CD .
Ta có :
AG → = AB → + BG → = AB → + 23BM → = AB → + 23AM → − AB → = AB → + 2312AC → + AD → − AB → = 13AB → + AC → + AD → = 13 x → + y → + z → AM → = 12AC → + AD →
( do M là trung điểm của CD ) )

Bài 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi I  và  K lần lượt là tâm của hình bình hành  ABB’A’ và BCC’B’. Chứng minh:

a ) IK → = 12AC → = 12A ‘ C ‘ → .
b ) Bốn điểm I ; K ; C ; A đồng phẳng .
c ) BD → + 2IK → = 2BC → .
d ) Ba vectơ BD → ; IK → ; B’C ‘ → đồng phẳng .

Lời giải:

a ) Do đặc thù đường trung bình trong tam giác A’BC ’ và đặc thù của hình bình hành ACC’A ’ nên ta có : IK → = 12AC → = 12A ‘ C ‘ →
b ) Do IK là đường trung bình của tam giác AB’C nên IK / / AC
Suy ra, bốn điểm I ; K ; C ; A đồng phẳng .
c ) Ta có :
BD → + 2IK → = BC → + CD → + AC → = BC → + CD → + AD → + DC → = BC → + AD → = BC → + BC → = 2BC →
d ) Vì giá của ba vectơ BD → ; IK → ; B’C ‘ → đều song song hoặc trùng với mặt phẳng ( ABCD ). Do đó, theo định nghĩa sự đồng phẳng của những vectơ, ba vectơ trên đồng phẳng .

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1: Vectơ trong không gian

Câu 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Một đường thẳng ∆ cắt các đường thẳng AA’,BC,C’D’ lần lượt tại M,N,P sao cho NM→=2NP→. Tính MAMA’.

A. MAMA’=1

B. MAMA’=2

C. MAMA’=2

D. MAMA’=3

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích :

Đặt AD → = a →, AB → = b →, AA ‘ → = c → .
Vì M ∈ AA ‘ nên AM → = kAA ‘ → = kc →
N ∈ BC ⇒ BN → = lBC → = la → ,
P ∈ C’D ‘ ⇒ C’P → = mb →
Ta có NM → = NB → + BA → + AM →
= − la → − b → + kc →
NP → = BN → + BB ‘ → + B’C ‘ → + C’P →
= ( 1 − l ) a → + mb → + c →
Do NM → = 2NP →
⇒ − la → − b → + kc →
= 2 [ 1 − la → + mb → + c → ]
⇔ − l = 21 − l − 1 = 2 mk = 2
⇔ k = 2, m = − 12, l = 2 .
Vậy MAMA ‘ = 2 .

Câu 2: Giả sử M, N, P là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh SA, SB, SC cỏ tứ diện SABC. Gọi I là giao điểm của ba mặt phẳng BCM, CAN, ABP và J là giao điểm của ba mặt phẳng ANP, BPM, CMN.

Ta được S, I, J thẳng hàng tính đẳng thức nào sau đây đúng ?

A. MSMA+NSNB+PSPC+12=JSJI

B. MSMA+NSNB+PSPC+14=JSJI

C. MSMA+NSNB+PSPC+13=JSJI

D. MSMA+NSNB+PSPC+1=JSJI

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích :

Goi E = BP ∩ CN, F = CM ∩ AP, T = AN ∩ BM .
Trong BCM có I = BF ∩ CT trong ANP có NF ∩ PT = J .
Đặt SA → = a →, SB → = b →, SC → = c →
và SM → = xMA →, SN → = yNB →, Sp → = zPC →
Ta có
SM → = xx + 1 a →, SN → = yy + 1 b → ,
SP → = zz + 1 c →
x > 0, y > 0, z > 0
Do T = AN ∩ BM nên
T ∈ ANT ∈ BM
⇒ ST → = αSM → + 1 − αSB → ST → = βSN → + 1 − βSA →
⇒ αSM → + 1 − αSB →
= βSN → + 1 − βSA →
⇔ αxx + 1 a → + 1 − αb →
= βyy + 1 b → + 1 − βa →
Vì a →, b → không cùng phương nên ta có
αxx + 1 = 1 − ββyy + 1 = 1 − α
⇔ α = xx + y + 1 β = yx + y + 1
⇒ ST → = xx + y + 1 a → + yx + y + 1 b →
Hoàn toàn tựa như ta có :
SE → = yy + z + 1 b → + zy + z + 1 c → ,
SF → = zz + x + 1 c → + xz + x + 1 a →
Làm tựa như như trên so với hai giao điểm I = BF ∩ CT và NF ∩ PT = J ta được :
SI → = 1 x + y + z + 1 xa → + yb → + zc → ,

  SJ→=1x+y+z+2xa→+yb→+zc→

Suy ra SJ → = x + y + z + 1 x + y + z + 2SI →
⇒ SJ → = x + y + z + 1IJ →
Vậy S, I, J thẳng hàng và
SIIJ = x + y + z + 1
= SMMA + SNNB + SPPC + 1

Câu 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Xác định vị trí các điểm M,N lần lượt trên AC và DC’ sao cho MN∥BD’. Tính tỉ số MNBD’ bằng?

A. 13

B. 12

C. 1

D. 23

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích :

BA → = a →, BC → = b →, BB ‘ → = c →
Giả sử AM → = xAC →, Doanh Nghiệp → = yDC ‘ →
Dễ dàng có những màn biểu diễn BM → = 1 − xa → + xb →
và BN → = 1 − ya → + b → + yc → .
Từ đó suy ra
MN → = x − ya → + 1 − xb → + yc → 1
Để MN ∥ BD ‘ thì
MN → = zBD ‘ → = za → + b → + c → 2
Từ 1 và 2 ta có :
x − ya → + 1 − xb → + yc →
= za → + b → + c →
⇔ x − y − za → + 1 − x − zb →
+ y − zc → = 0 →
⇔ x − y − z = 01 − x − z = 0 y − z = 0
⇔ x = 23 y = 13 z = 13
Vậy những điểm M, N được xác lập bởi AM → = 23AC →, Doanh Nghiệp → = 13DC ‘ →
Ta cũng có
MN → = zBD ‘ → = 13BD ‘ →
⇒ MNBD ‘ = 13

Câu 4. Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M, N, P, Q lần lượt thuộc AB, BC, CD, DA sao cho

AM → = 13AB →, BN → = 23BC → ,
AQ → = 12AD →, DP → = kDC → .
Hãy xác lập k để M, N, P, Q đồng phẳng .

A. k=12

B. k=13

C. k=14

D. k=15

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích :

Cách 1.

Ta có AM → = 13AB →
⇒ BM → − BA → = − 13BA →
⇒ BM → = 23BA →
Lại có BN → = 23BC → do đó MN ∥ AC
Vậy Nếu M, N, P, Q đồng phẳng thì
MNPQ ∩ ACD = PQ ∥ AC
⇒ PCPD = QAQD = 1 hay DP → = 12DC →
⇒ k = 12 .

Cách 2. Đặt DA→=a→,DB→=b→,DC→=c→ thì không khó khăn ta có các biểu diễn

MN → = − 23 a → + 23 b →, MP → = − 23 a → − 13 b → + kc → ,
MN → = − 16 a → − 13 b →
Các điểm M, N, P, Q đồng phẳng khi và chỉ khi những vec tơ MN →, MP →, MQ → đồng phẳng
⇔ ∃ x, y : MP → = xMN → + yMQ →
⇔ − 23 a → − 13 b → + kc →
= x − 23 a → + 23 c →
+ y − 16 a → − 13 b →
Do những vec tơ a →, b, → c → không đồng phẳng nên điều này tương tự với
− 23 x − 16 y = − 23 − 13 y = − 1323 x = k
⇔ x = 34, y = 1, k = 12 .

Câu 5: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

A. Vì I là trung điểm đoạn AB nên từ O bất kì ta có: OI→=12OA→+OB→.

B. Vì AB→+BC→+CD→+DA→=0→ nên bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.

C. Vì NM→+NP→=0→ nên N là trung điểm đoạn NP.

D. Từ hệ thức AB→=2AC→−8AD→ ta suy ra ba vectơ AB→, AC→, AD→ đồng phẳng.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích :
Do AB → + BC → + CD → + DA → = 0 → đúng với mọi điểm A, B, C, D nên câu B sai .

Câu 6: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

A. Ba véctơ a⇀,b⇀,c⇀ đồng phẳng khi và chỉ khi ba véctơ đó có giá thuộc một mặt phẳng

B. Ba tia Ox,Oy,Oz vuông góc với nhau từng đôi một thì ba tia đó không đồng phẳng.

C. Cho hai véctơ không cùng phương a⇀ và b⇀. Khi đó ba véctơ a⇀,b⇀,c⇀ đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m,n  sao cho c⇀=ma⇀+nb⇀, ngoài ra cặp số m,n là duy nhất.

D. Nếu có ma⇀+nb⇀+pc⇀=0⇀ và một trong ba số m,n,p khác 0 thì ba véctơ a⇀,b⇀,c⇀ đồng phẳng.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích :
Ba véctơ a ⇀, b ⇀, c ⇀ đồng phẳng khi và chỉ khi ba véctơ đó có giá song song hoặc thuộc một mặt phẳng. Câu A sai

Câu 7: Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm đoạn MN và P là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: IA→+(2k−1)IB→+kIC→+ID→=0→

A. k=2

B. k=4

C. k=1

D. k=0

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích :
Ta chứng tỏ được IA → + IB → + IC → + ID → = 0 → nên k = 1

Câu 8: Cho ba vectơ a→,  b→,  c→. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Nếu a→,  b→,  c→ không đồng phẳng thì từ ma→+nb→+pc→=0→ ta suy ra m=n=p=0

B. Nếu có ma→+nb→+pc→=0→, trong đó m2+n2+p2>0 thì a→,  b→,  c→ đồng phẳng.

C. Với ba số thực m, n, p thỏa mãn m+n+p≠0 ta có ma→+nb→+pc→=0→ thì a→,  b→,  c→ đồng phẳng.

D. Nếu giá của a→,  b→,  c→ đồng qui thì a→,  b→,  c→ đồng phẳng.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích :
Câu D sai. Ví dụ phản chứng 3 cạnh của hình chóp tam giác đồng qui tại 1 đỉnh nhưng chúng không đồng phẳng .

Câu 9: Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’, M là trung điểm của. Đặt CA→=a→, CB→=b→,AA’→=c→. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. AM→=a→+c→−12b→

B. AM→=b→+c→−12a→

C. AM→=b→−a→+12c→

D. AM→=a→−c→+12b→

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích :

Ta có AM → = AB → + BM →
= CB → − CA → + 12BB ‘ →
= b → − a → + 12 c →

Câu 10: Cho hình lăng trụ tam giác ABCA’B’C’. Đặt AA’→=a→,AB→=b→,AC→=c→, BC→=d→. Trong các biểu thức véctơ sau đây, biểu thức nào đúng.

A. a→=b→+c→

B. a→+b→+c→+d→=0→

C. b→−c→+d→=0

D. a→+b→+c→=d→

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích :
Ta có : b → − c → + d →
= AB → − AC → + BC →
= CB → + BC → = 0 →

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc

Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 

Lý thuyết Hai mặt phẳng vuông góc
Lý thuyết Khoảng cách
Lý thuyết Ôn tập chương 5

Source: https://vh2.com.vn
Category : Trái Đất