Trong không gian Oxyz, cho điểm G(1;2;3) là trọng tâm của tam giác ABC trong đó A thuộc trục…

LÝ THUYẾT

I. Tọa độ của điểm và của vecto

1. Hệ tọa độ

Trong không gian, xét ba trục tọa độ x’Ox; y’Oy; z’Oz  vuông góc với nhau từng

đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi i → ; j → ; k → lần lượt là những vectơ đơn vị chức năng, trên những
trục x’Ox ; y’Oy ; z’Oz .

Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề- các vuông góc Oxyz trong không gian,

hay đơn thuần gọi là hệ trục tọa độ Oxyz .
Điểm O được gọi là gốc tọa độ .
Các mặt phẳng ( Oxy ) ; ( Oyz ) ; ( Ozx ) đôi một vuông góc với nhau được gọi là những mặt
phẳng tọa độ .
Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn gọi là không gian Oxyz .
– Vì i → ; j → ; k → là những vecto đơn vị chức năng đôi một vuông góc với nhau nên :
i → 2 = j → 2 = k → 2 = 1 .

2. Tọa độ của một điểm

– Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Vì ba vecto i → ; j → ; k → không đồng
phẳng nên có một bộ ba số ( x ; y ; z ) duy nhất sao cho :
O ⁢ M → = x. i → ⁢ + y. j → + z. k →

– Ngược lại, với bộ ba số (x; y; z) ta có một điểm M duy nhất trong không gian thỏa mãn hệ thức O⁢M→=x.i→+y.j→+z.k→.

– Ta gọi bộ ba số ( x ; y ; z ) là tọa độ của điểm M so với hệ trục tọa độ Oxyz đã cho và viết : M = ( x ; y ; z ) hoặc M ( x ; y ; z ) .

3.Tọa độ của vecto

– Trong không gian Oxyz cho vecto a →, khi đó luôn sống sót duy nhất bộ ba số ( a1 ; a2 ; a3 ) sao cho a → = a1. i → + a2. j → + a3. k → .
Ta gọi bộ ba số ( a1 ; a2 ; a3 ) là tọa độ của vecto a → so với hệ tọa độ Oxyz cho trước và viết a → ⁢ = ⁢ ( a ⁢ 1 ; a ⁢ 2 ; a ⁢ 3 ) hoặc a → ⁢ ( a ⁢ 1 ; a ⁢ 2 ; a ⁢ 3 ) .

 – Nhận xét : Trong hệ tọa độ Oxyz, tọa độ của điểm M chính là tọa độ của vecto O⁢M→.

Ta có : M ( x ; y ; z ) ⇔ O ⁢ M → ⁢ ( x ; y ; z )

II. Biểu thức tọa độ của các phép toán của vecto          

– Định lí:  Trong không gian Oxyz, cho hai vecto

a → ⁢ ⁢ = ( a1 ; a2 ; a3 ), b → ⁢ ⁢ = ( b1 ; b2 ; b3 ), k ∈ ⁢ R, ta có :
a ) a → + b → = ( a1 + b1 ; a2 + b2 ; a3 + b3 )
b ) a → – b → = ( a1-b1 ; a2-b2 ; a3-b3 ) ;
c ) k ⁢ a → = ( k ⁢ a1 ; k ⁢ a2 ; k ⁢ a3 ) .

Ví dụ 1. Cho u→⁢(2;-3; 4);v→⁢(  4;-2;0)

a ) Tính u → + v → ;
b ) 2 ⁢ v → ;
c ) u → – 2 ⁢ v → .

Lời giải:

a ) u → + v → = ( 2 + 4 ; – 3-2 ; 4 + 0 ) = ( 6 ; – 5 ; 4 ) ;
b ) Ta có : 2 ⁢ v → = ( 2.4 ; 2. ( – 2 ) ; 2.0 ) = ( 8 ; – 4 ; 0 ) .
c ) Ta có : u → – 2 ⁢ v → = ( 2 – 8 ; – 3 + 4 ; 4 – 0 ) = ( – 6 ; 1 ; 4 )

– Hệ quả:

a ) Cho hai vecto a → ⁢ = ( a1 ; a2 ; a3 ), b → ⁢ = ( b1 ; b2 ; b3 ), ta có :
a → ⁢ ⁢ = b → ⇔ { a1 = b1a2 = b2a3 = b3 .
b ) Vecto 0 → có tọa độ ( 0 ; 0 ; 0 ) .
c ) Với b → ≠ 0 → thì hai vecto a → ; b → cùng phương khi và chỉ khi sống sót số k sao cho :
a → = kb → ( k ∈ R )
⇔ { a1 = kb1a2 = kb2a3 = kb3 ⇔ a1b1 = a2b2 = a3b3, ( b1, b2, b3 ≠ 0 )
d ) Cho A ⁢ ( xA ; yA ; zA ), B ⁢ ( xB ; yB ; zB )
+ A ⁢ B → ⁢ ⁢ = ( xB-xA ; yB-yA ; zB-zA )
+ Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB :

Ví dụ 2. Cho u→⁢(2⁢m; 3;-1);v→⁢(4;  3;n-2). Tìm m và n để u→=v→

Lời giải:

Để u → = v →
⇔ 2 m = 43 = 3-1 = n-2 ⇔ m = 2 n = 1
Vậy m = 2 và n = 1 .

Ví dụ 3. Các cặp vecto sau có cùng phương không?

a ) u → ⁢ ( 2 ; 3 ; 7 ) ; v → ⁢ ( – 4 ; – 6 ; 14 ) ;
b ) a → ⁢ ( 1 ; 0 ; 2 ) ; b → ⁢ ( – 3 ; 0 ; – 6 ) .

Lời giải:

a ) Ta thấy 2-4 = 3-6 ≠ 714

Do đó, hai vecto trên không cùng phương.

b ) Ta thấy : b → = – 3 ⁢ a → nên hai vecto trên cùng phương .

Ví dụ 4. Cho hai điểm A( – 3; 4; 0) và B( -1; 0; 8).

a ) Tính A ⁢ B → ;
b ) Tìm tọa độ trung điểm M của AB .

Lời giải:

a ) Ta có : A ⁢ B → = ( – 1 + 3 ; 0 – 4 ; 8 – 0 ) = ( 2 ; – 4 ; 8 ) .
b ) Tọa độ trung điểm M của AB là :
{ xM = – 3 + ( – 1 ) 2 = – 2 yM = 4 + 02 = 2 zM = 0 + 82 = 4 ⇒ M ⁢ ( – 2 ; 2 ; 4 )

III. Tích vô hướng.

1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng.

– Định lí:

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto a → ⁢ ⁢ = ( a1 ; a2 ; a3 ), b → ⁢ ⁢ = ( b1 ; b2 ; b3 )
được xác lập bởi công thức :
a →. b → = a1. b1 + a2. b2 + a3. b3

Ví dụ 5. Cho a→⁢(1;-3;4);b→⁢(1;2;1). Tính a→.b→?

Lời giải:

Ta có : a →. b → = 1.1 + ( – 3 ). 2 + 4.1 = – 1

2. Ứng dụng

a ) Độ dài của một vecto .
Cho vecto a → ⁢ = ( a1 ; a2 ; a3 ) .
Ta biết rằng : | a → | 2 = a → 2 hay | a → | = a → 2. Do đó, | a → | = a12 + a22 + a22
b ) Khoảng cách giữa hai điểm .
Trong khong gian Oxyz, cho hai điểm A ( xA ; yA ; zA )
và B ( xB ; yB ; zB ). Khi đó, khoảng cách giữa hai điểm A và B chính là độ dài của vecto A ⁢ B →. Do đó, ta có :

A ⁢ B = | A ⁢ B → | = ( xB-xA ) 2 + ( yB-yA ) 2 + ( zB-zA ) 2

.

c ) Góc giữa hai vecto .
Nếu φ là góc góc giữa hai vecto a → = ( a1 ; a2 ; a3 ) và b → = ( b1 ; b2 ; b3 ) với a → ; b → ≠ 0 → thì cos ⁡ ( a →, b → ) = a →. b → | a → |. | b → | = a1 ⁢ b1 + a2 ⁢ b2 + a3 ⁢ b3a12 + a22 + a32. b12 + b22 + b32
Từ đó, suy ra a → ⁢ ⁢ ⊥ b → ⇔ a1 ⁢ b1 + a2 ⁢ b2 + a3 ⁢ b3 = 0

Ví dụ 6. Cho tam giác ABC có A(2; 3; 1); B( 2; 1; 0); C( 0; -1; 2).

a ) Tính AB ; AC
b ) Tính cosin của góc A .

Lời giải:

a ) Ta có :
A ⁢ B = ( 2-2 ) 2 + ( 1-3 ) 2 + ( 0-1 ) 2 = 5 ⁢ AC = ( 0-2 ) 2 + ( – 1-3 ) 2 + ( 2-1 ) 2 = 21
b ) Ta có : A ⁢ B → ⁢ ( 0 ; – 2 ; – 1 ) ; A ⁢ C → ⁢ ( – 2 ; – 4 ; 1 )
Cosin của góc A là :
cos ⁡ A = cos ⁡ ( A ⁢ B → ; A ⁢ C → ) = 0. ( – 2 ) + ( – 2 ). ( – 4 ) + ( – 1 ) ⁢. 15.21 = 7105

IV. Phương trình mặt cầu

– Định lí.

Trong không gian Oxyz, mặt cầu ( S ) tâm I ( a ; b ; c ) nửa đường kính r có phương trình là :
( x – a ) 2 + ( y – b ) 2 + ( z – c ) 2 = r2

– Nhận xét. Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng:

x2 + y2 + z2 – 2 ax – 2 by – 2 cz + d = 0 với d = a2 + b2 + c2 – r2
Từ đó, ta chứng tỏ được rằng phương trình dạng :
x2 + y2 + z2 + 2A x + 2B y + 2C z + D = 0 với điều kiện kèm theo A2 + B2 + C2 – D > 0 là
phương trình mặt cầu có tâm I ( – A ; – B ; – C ) có nửa đường kính r = A2 + B2 + C2-D .

Ví dụ 7. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình sau đây:

a ) x2 + y2 + z2 – 4 x + 2 y – 1 = 0 ;
b ) x2 + y2 + z2 – 8 x – 2 y + 2 z + 2 = 0

Lời giải:

a) Ta có:  a = 2; b = -1; c = 0; d = -1

Tâm mặt cầu là I ( 2 ; – 1 ; 0 ) và nửa đường kính R = 22 + ( – 1 ) 2 + 02 – ( – 1 ) = 6
b ) Ta có : a = 4 ; b = 1 ; c = – 1 ; d = 2
Tâm mặt cầu là I ( 4 ; 1 ; – 1 ) và nửa đường kính

Source: https://vh2.com.vn
Category : Trái Đất