Toán Lớp 12: Trong Không Gian Với Hệ Tọa Độ Oxyz Cho 3 Điểm

Các bài toán trong không gian với hệ tọa độ oxyz là một phần vận dụng kỹ năng và kiến thức rất quan trọng trong chương trình toán lớp 12. Để nắm chắc nội dung phần này, những em cần nhớ công thức, cách giải và hơn hết là làm thật nhiều bài tập. Các em hãy cùng VUIHOC ôn tập lại kỹ năng và kiến thức này để tự tin bước vào kỳ thi sắp tới nhé !

Câu 1: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;0) trong không gian với hệ tọa độ oxyz. a, Hãy chứng minh A, B, C tạo thành một tam giác; b, Tính diện tích tam giác ABC.

Bài giải:

a, Ta có: $\overline{AB}= (-1; 0; 1) ;\overline{AC}= (1; 1; 0)$

Suy ra :

Vậy 2 vectơ $ \ overrightarrow { AB } $ và $ \ overrightarrow { AC } $ không cùng phương .
Vậy A, B, C không thẳng hàng => ABC tạo thành một tam giác .
b, Diện tích tam giác ABC là :
USD S_ { ABC } = \ frac { 1 } { 2 } \ left | \ left [ \ overline { AB } ; \ overline { AC } \ right ] \ right | = \ frac { 1 } { 2 }. \ sqrt { ( – 1 ) ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } + ( – 1 ) ^ { 2 } } = \ frac { \ sqrt { 3 } } { 2 } $
Vậy A, B, C tạo thành một tam giác có diện tích quy hoạnh là $ \ frac { \ sqrt { 3 } } { 2 } $ .

Câu 2: Cho 3 điểm A(2;-3;7), B(0;4;-3) và C(4;2;5) trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Tìm tọa độ của điểm M trên mặt phẳng (Oxy) sao cho |MA +MB + MC| có giá trị nhỏ nhất?

Bài giải:

Theo bài ra ta có :
USD \ left | \ overline { MA } + \ overline { MB } + \ overline { MC } \ right | = \ left | \ overline { MG } + \ overline { GA } + \ overline { MG } + \ overline { GB } + \ overline { MG } + \ overline { GC } \ right | = \ left | 3 \ overline { MG } + \ overline { GA } + \ overline { GB } + \ overline { GC } \ right | $
Đầu tiên ta xác lập tọa độ điểm G sao cho : $ \ overline { GA } + \ overline { GB } + \ overline { GC } = \ overline { 0 } $
hay nói cách khác G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có :
G = $ \ left ( \ frac { 0 + 2 + 4 } { 3 } ; \ frac { – 3 + 4 + 2 } { 3 } ; \ frac { 7-3 + 5 } { 3 } \ right ) $ => Tọa độ điểm G ( 2 ; 1 ; 3 )
Từ đó : $ \ left | \ overline { MA } + \ overline { MB } + \ overline { MC } \ right | = \ left | 3 \ overline { MG } \ right | = 3. MG USD
USD \ left | \ overline { MA } + \ overline { MB } + \ overline { MC } \ right | $ nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất. Mà M nằm trên mặt phẳng ( Oxy ) nên M là hình chiếu của G lên ( Oxy )
=> M ( 2 ; 1 ; 0 )
Vậy tọa độ điểm M ( 2 ; 1 ; 0 ) thì $ \ left | \ overline { MA } + \ overline { MB } + \ overline { MC } \ right | $ có giá trị nhỏ nhất .

Câu 3 : Cho ba điểm A ( 1 ; 0 ; 1 ), B ( 1 ; 2 ; 1 ), C ( 4 ; 1 ; – 2 ) trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, và mặt phẳng P. : x + y + z = 0. Trong những điểm ( 1 ; 1 ; – 1 ), ( 1 ; 1 ; 1 ), ( 1 ; 2 ; – 1 ), ( 1 ; 0 ; – 1 ), điểm nào là điểm M trên ( P. ) thỏa mãn nhu cầu $ MA ^ { 2 } + MB ^ { 2 } + MC ^ { 2 } $ đạt giá trị nhỏ nhất ?

Bài giải:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có :
G = $ \ left ( \ frac { 1 + 1 + 4 } { 3 } ; \ frac { 0 + 2 + 1 } { 3 } ; \ frac { 1 + 1-2 } { 3 } \ right ) USD => G ( 2 ; 1 ; 0 )
T = $ MA ^ { 2 } + MB ^ { 2 } + MC ^ { 2 } $
T = $ ( \ overline { MG } + \ overline { GA } ) ^ { 2 } + ( \ overline { MG } + \ overline { GB } ) ^ { 2 } + ( \ overline { MG } + \ overline { GC } ) ^ { 2 } $
T = $ 3MG ^ { 2 } + GA ^ { 2 } + GB ^ { 2 } + GC ^ { 2 } + 2 \ overline { MG } ( \ overline { MA } + \ overline { MB } + \ overline { MC } ) USD
T = $ 3MG ^ { 2 } + GA ^ { 2 } + GB ^ { 2 } + GC ^ { 2 } + 2 \ overline { MG }. \ overline { 0 } $
T = $ 3MG ^ { 2 } + GA ^ { 2 } + GB ^ { 2 } + GC ^ { 2 } $
Do USD GA ^ { 2 } + GB ^ { 2 } + GC ^ { 2 } USD cố định và thắt chặt nên $ T_ { min } $ khi $ MG_ { min } $ .
=> Mà M thuộc ( P. ) nên M là hình chiếu vuông góc của G lên ( P. )
Gọi ( d ) là đường thẳng qua G và vuông góc ( P. ) => Phương trình đường thẳng d là :

M là giao điểm của d và ( P. ) nên thỏa mãn nhu cầu : 2 + t + 1 + t + t = 0 ⇔ t = – 1

=> M (1; 0; -1)

4. Câu 4 : Cho ba điểm A ( – 2 ; 3 ; 1 ), B ( 2 ; 1 ; 0 ) và C ( – 3 ; – 1 ; 1 ) trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Tìm điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và $ S_ { ABCD } = 3S _ { \ Delta ABC } $ .

Bài giải:

Vì tứ giác ABCD là hình thang
=> AD / / BC => $ \ overline { u } _ { AD } = \ overline { u } _ { BC } = ( – 5 ; – 2 ; 1 ) USD
=> Phương trình đường thẳng AD là :
= $ \ frac { x + 2 } { – 5 } = \ frac { y-3 } { – 2 } = \ frac { z-1 } { 1 } $
=> D ( – 5 t – 2 ; – 2 t + 3 ; t + 1 )
Ta có :
USD S_ { ABCD } $ = 3S _ { ABCD } ⇔ S_ { ABC } + S_ { ACD } = 3S _ { ABC } $
⇔ $ S_ { ACD } = 2S _ { ABC } $
Mà diện tích quy hoạnh tam giác ABC là :
USD S_ { ABC } = = \ frac { 1 } { 2 } \ left | \ left [ \ overline { AB } ; \ overline { AC } \ right ] \ right | = \ frac { \ sqrt { 341 } } { 2 } => S_ { ACD } = \ sqrt { 341 } $
Hay nói cách khác :
USD S_ { ACD } = \ frac { 1 } { 2 } \ left | \ left [ \ overline { AD } ; \ overline { AC } \ right ] \ right | = \ sqrt { 341 } $
=> $ \ frac { 1 } { 2 } \ sqrt { 341 t ^ { 2 } } = \ sqrt { 341 } $

Do ABCD là hình thang => D ( – 12 ; – 1 ; 3 )

Câu 5 : Cho ba điểm A ( 1 ; 1 ; 1 ), B ( 0 ; 1 ; 2 ), C ( – 2 ; 1 ; 4 ) trong không gian với hệ tọa độ Oxyz và mặt phẳng ( P. ) : x-y+z+2 = 0. Biết điểm N ∊ ( P. ). Trong những điểm ( – 2 ; 0 ; 1 ), USD ( \ frac { 4 } { 3 } ; 3 ; \ frac { 3 } { 2 } ) USD, USD ( \ frac { 1 } { 2 } ; 2 ; 1 ) USD, ( – 1 ; 2 ; 1 ), điểm nào là tọa độ điểm N sao cho S = $ 2NA ^ { 2 } + NB ^ { 2 } + NC ^ { 2 } $ đạt giá trị nhỏ nhất .

Bài giải:

Gọi M ( a ; b ; c ) thỏa mãn nhu cầu đẳng thức vectơ USD 2 \ overline { MA } + \ overline { MB } + \ overline { MC } = 0 USD
⇔ 2 ( 1 – a ; 1 – b ; 1 – c ) + ( 0 – a ; 1 – b ; 2 – c ) + ( – 2 – a ; 1 – b ; 4 – c ) = 0
⇔ ( – 4 a ; 4-4 b ; 8-4 c ) = 0

Khi đó :
S = $ 2NA ^ { 2 } + NB ^ { 2 } + NC ^ { 2 } = 2 \ overline { NA } ^ { 2 } + \ overline { NB } ^ { 2 } + \ overline { NC } ^ { 2 } $
= USD 2 \ left ( \ overline { MN } + \ overline { MA } \ right ) ^ { 2 } + \ left ( \ overline { MN } + \ overline { MB } \ right ) ^ { 2 } + \ left ( \ overline { MN } + \ overline { MC } \ right ) ^ { 2 } = 4MN2 + 2NM. ( 2MA + MB + MC ) + 2MA2 + MB2 + MC2 USD
= $ 4MN ^ { 2 } + 2MA ^ { 2 } + MB ^ { 2 } + MC ^ { 2 } ( do 2 \ overline { MA } + \ overline { MB } + \ overline { MC } = \ overline { 0 } ) USD
Vì USD 2MA ^ { 2 } + MB ^ { 2 } + MC ^ { 2 } $ = const suy ra $ S_ { min } $ ⇔ $ MN_ { min } $
⇔ N là hình chiếu của M trên ( P. ) => MN ⊥ ( P. )
Phương trình đường thẳng MN là :
USD \ frac { x } { 1 } = \ frac { y-1 } { – 1 } = \ frac { z-2 } { 1 } $ => N ( t ; 1 – t ; t + 2 )
mà $ N \ in ( P. ) USD suy ra : t – ( 1 – t ) + t + 2 + 2 = 0

⇔ t = -1 => N (-1;2;1)

Thông qua những kiến thức và kỹ năng trong bài viết, hy vọng những em đã hoàn toàn có thể vận dụng làm bài tập Toán hình 12 trong không gian với hệ tọa độ oxyz thật đúng mực. Để hoàn toàn có thể học thêm nhiều phần bài giảng mê hoặc và ôn tập kiến thức và kỹ năng Toán 12, những em hoàn toàn có thể truy vấn ngay Vuihoc. vn để ĐK thông tin tài khoản hoặc liên hệ TT tương hỗ để khởi đầu quy trình học tập của mình nhé !

>> Xem thêm:

Source: https://vh2.com.vn
Category : Trái Đất