Phương trình mặt cầu | Phân dạng & bài tập [Có tài liệu]

Câu 1: Viết phương trình mặt cầu có tâm I(–1; 2; –3) và đi qua giao điểm của đường thẳng d: với mặt phẳng (Oxy).

A. ( x + 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z + 3 ) 2 = 27B. ( x – 1 ) 2 + ( y – 2 ) 2 + ( z – 3 ) 2 = 27C. ( x – 1 ) 2 + ( y – 2 ) 2 + ( z – 3 ) 2 = 9

D. (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = 9

Lời giải:

Chọn B

Mặt phẳng Oxyz là : z = 0Gọi A = d ∩ ( Oxyz ) ⇒ t = – 3 ⇒ A ( – 2 ; 5 ; 0 )

Vì điểm A nằm trên mặt cầu nên bán kính của mặt cầu là

Phương trình mặt cầu (S) tâm và bán kính I(–1; 2; –3) và bán kính là

( x – 1 ) 2 + ( y – 2 ) 2 + ( z – 3 ) 2 = 27

Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm là điểm I(–1; 2; –3) và tiếp xúc với trục Ox. Phương trình của (S) là:

A. ( x – 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z – 3 ) 2 = 13B. ( x – 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z – 3 ) 2 = 27C. ( x + 1 ) 2 + ( y – 2 ) 2 + ( z + 3 ) 2 = 13D. ( x + 1 ) 2 + ( y – 2 ) 2 + ( z + 3 ) 2 = 27

Lời giải

Chọn C

Gọi A là hình chiếu của I lên trục Ox ⇒ A ( – 1 ; 0 ; 0 ) .

Vì điểm A nằm trên mặt cầu nên bán kính của mặt cầu là

Phương trình mặt cầu (S) tâm I(–1; 2; –3) và bán kính là

( x + 1 ) 2 + ( y – 2 ) 2 + ( z + 3 ) 2 = 13

Câu 3: Mặt cầu (S) tâm I(–1; 2; –3) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 1 = 0 có phương trình:

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn B

Bán kính mặt cầu là:

Phương trình mặt cầu là :

Câu 4: Mặt cầu (S) tâm I(2; 1; 5) và tiếp xúc với mặt cầu (S1): (x – 1)2 + y2 + z2 = 3 có phương trình:

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn A

Từ (S1): (x – 1)2 + y2 + z3 = 3 ⇒ Tâm I1(1; 0; 0) và bán kính

Do vậy điểm I(2; 1; 5) nằm ngoài mặt cầu (S1): (x – 1)2 + y2 + z2 = 3

Ta có pt đường thẳng II1 là

Gọi A = II1 ∩ ( S1 ) ⇒ A ( 1 – t ; – t ; – 5 t ). Do A ∈ ( S1 ) nên

Bán kính mặt cầu là:

Phương trình mặt cầu là : ( x – 2 ) 2 + ( y – 1 ) 2 + ( z – 5 ) 2 = 12

Bán kính mặt cầu là:

Phương trình mặt cầu là : ( x – 2 ) 2 + ( y – 1 ) 2 + ( z – 5 ) 2 = 48

Câu 5: Mặt cầu (S) tâm I(1; 2; 4) và tiếp xúc với mặt phẳng (S1): (x + 1)2 + y2 + (z – 2)2 = 27 có phương trình:

A. ( x + 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z + 4 ) 2 = 3B. ( x + 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z + 4 ) 2 = 9C. ( x – 1 ) 2 + ( y – 2 ) 2 + ( z – 4 ) 2 = 3D. ( x – 1 ) 2 + ( y – 2 ) 2 + ( z – 4 ) 2 = 9

Lời giải

Chọn C

Từ (S1): (x + 1)2 + y2 + (z – 2)2 = 27, tâm I1(–1; 0; 2) và bán kính

Do vậy điểm I(1; 2; 4) nằm trong mặt cầu (S1)

(S) và (S1) tiếp xúc

Bán kính mặt cầu là:

Phương trình mặt cầu là : ( x – 1 ) 2 + ( y – 2 ) 2 + ( z – 4 ) 2 = 3Câu 6 : Mặt cầu ( S ) tâm I ( – 1 ; 2 ; 3 ) và tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ ( Oyz ) có phương trình :A. ( x – 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z + 3 ) 2 = 1B. ( x + 1 ) 2 + ( y – 2 ) 2 + ( z – 3 ) 2 = 14C. ( x + 1 ) 2 + ( y – 2 ) 2 + ( z – 3 ) 2 = 1D. ( x – 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z + 3 ) 2 = 14

Lời giải

Chọn C

Phương trình mặt phẳng ( Oyz ) : x = 0

Bán kính mặt cầu là:

Phương trình mặt cầu là : ( x + 1 ) 2 + ( y – 2 ) 2 + ( z – 3 ) 2 = 1

Câu 7: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 3; 2), B(3; 5; 0). Phương trình mặt cầu đường kính AB là:

A. ( x – 2 ) 2 + ( y – 4 ) 2 + ( z – 1 ) 2 = 3B. ( x – 2 ) 2 + ( y – 4 ) 2 + ( z – 1 ) 2 = 12C. ( x + 2 ) 2 + ( y + 4 ) 2 + ( z + 1 ) 2 = 12D. ( x + 2 ) 2 + ( y + 4 ) 2 + ( z + 1 ) 2 = 3

Lời giải

Chọn A

Trung điểm của đoạn thẳng AB là

Mặt cầu đường kính AB có tâm I(2; 4; 1), bán kính

Vậy phương trình của mặt cầu là : ( x – 2 ) 2 + ( y – 4 ) 2 + ( z – 1 ) 2 = 3

Câu 8: Trong không gian Oxyz. Viết phương trình mặt cầu (S) biết (S) có bán kính R = 3 và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) tại điểm M(1; 2; 0)

A. x2 + y2 + z2 – 4 x – 2 y – 6 z + 5 = 0B. x2 + y2 + z2 + 4 x + 2 y + 6 z + 5 = 0C. x2 + y2 + z2 – 4 x – 2 y – 6 z + 11 = 0D. x2 + y2 + z2 + 4 x + 2 y + 6 z + 11 = 0

Lời giải

Chọn A

Giả sử mặt cầu ( S ) có tâm I ( a ; b ; c )Do mặt cầu ( S ) tiếp xúc với mặt phẳng ( Oxy ) tại điểm M ( 1 ; 2 ; 0 ) nên M là hình chiếu của I ( a ; b ; c ) lên mp ( Oxy ) suy ra I ( 2 ; 1 ; c )Ta có mp ( Oxy ) có phương trình là z = 0

Ta có

Với c = 3Mặt cầu I ( 2 ; 1 ; 3 ), nửa đường kính R = 3 có phương trình là 🙁 x – 2 ) 2 + ( y – 1 ) 2 + ( z – 3 ) 2 = 9 ⇔ x2 + y2 + z2 – 4 x – 2 y – 6 z + 5 = 0Với c = – 3Mặt cầu I ( 2 ; 1 ; – 3 ), nửa đường kính R = 3 có phương trình là 🙁 x – 2 ) 2 + ( y – 1 ) 2 + ( z + 3 ) 2 = 9 ⇔ x2 + y2 + z2 – 4 x – 2 y + 6 z + 5 = 0

Câu 9: Phương trình mặt cầu (S) đi qua A(1; 2; 3), B(4; –6; 2) có tâm I thuộc trục Ox là

A. ( S ) : ( x – 7 ) 2 + y2 + z2 = 6B. ( S ) : ( x + 7 ) 2 + y2 + z2 = 36C. ( S ) : ( x + 7 ) 2 + y2 + z2 = 6D. ( S ) : ( x – 7 ) 2 + y2 + z2 = 49

Lời giải

Chọn D

Vì I ∈ Ox nên gọi I ( x ; 0 ; 0 ) .Do ( S ) đi qua A, B nên

Suy ra I ( 7 ; 0 ; 0 ) ⇒ R = IA = 7Do đó ( S ) : ( x – 7 ) 2 + y2 + z2 = 49

Câu 10: Phương trình mặt cầu (S) đi qua A(2; 0; –2), B(–1; 1; 2) và có tâm I thuộc trục Oy là

A. ( S ) : x2 + y2 + z2 + 2 y – 8 = 0B. ( S ) : x2 + y2 + z2 – 2 y – 8 = 0C. ( S ) : x2 + y2 + z2 + 2 y + 8 = 0D. ( S ) : x2 + y2 + z2 – 2 y + 8 = 0

Lời giải

Chọn A

Vì I ∈ Oy nên gọi I(0; y; 0).

Do ( S ) đi qua A, B nên

Suy ra I ( 70 ; – 1 ; 0 ) ⇒ R = IA = 3Do đó ( S ) : x2 + ( y + 1 ) 2 + z2 = 9 ⇔ x2 + y2 + z2 + 2 y – 8 = 0

Câu 11: Phương trình mặt cầu (S) đi qua A(1; 2; –4), B(1; –3; 1), C(2; 2; 3) và tâm I ∈ (Oxy) là

A. ( x + 2 ) 2 + ( y – 1 ) 2 + z2 = 26B. ( x + 2 ) 2 + ( y – 1 ) 2 + z2 = 9C. ( x – 2 ) 2 + ( y – 1 ) 2 + z2 = 26D. ( x – 2 ) 2 + ( y – 1 ) 2 + z2 = 9

Lời giải

Chọn A

Vì I ∈ (Oxy) nên gọi I(x; y; 0). Ta có:

Câu 12: Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với cả ba mặt phẳng tọa độ và đi qua điểm M(2; 1; 1)

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn B

Giả sử I ( a ; b ; c ) là tâm mặt cầu ( S ) tiếp xúc với cả ba mặt phẳng tọa độ và đi qua điểm M ( 2 ; 1 ; 1 ) .Vì mặt cầu ( S ) tiếp xúc với cả ba mặt phẳng tọa độ và đi qua điểm M ( 2 ; 1 ; 1 ) có những thành phần tọa độ đều dương nên a = b = c = rPhương trình mặt cầu ( S ) là ( x – a ) 2 + ( y – b ) 2 + ( z – a ) 2 = a2Vì mặt cầu ( S ) đi qua điểm M ( 2 ; 1 ; 1 ) nên

Câu 13: Cho mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; –4) và thể tích bằng 36π. Phương trình của (S) là

A. ( x – 1 ) 2 + ( y – 2 ) 2 + ( z + 4 ) 2 = 9B. ( x – 1 ) 2 + ( y – 2 ) 2 + ( z – 4 ) 2 = 9C. ( x + 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z – 4 ) 2 = 9D. ( x – 1 ) 2 + ( y – 2 ) 2 + ( z + 4 ) 2 = 3

Lời giải

Chọn A

Ta có:

Khi đó ( S ) có tâm I ( 1 ; 2 ; – 4 ) và nửa đường kính R = 3⇒ ( S ) : ( x – 1 ) 2 + ( y – 2 ) 2 + ( z + 4 ) 2 = 9

Câu 14: Cho mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) và diện tích bằng 32π. Phương trình của (S) là

A. ( x – 1 ) 2 + ( y – 2 ) 2 + ( z – 3 ) 2 = 16B. ( x + 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z + 3 ) 2 = 16C. ( x – 1 ) 2 + ( y – 2 ) 2 + ( z – 3 ) 2 = 8D. ( x + 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z + 3 ) 2 = 8

Lời giải

Chọn C

Ta có:

Khi đó (S) có tâm I(1; 2; 3) và bán kính

⇒ ( S ) : ( x – 1 ) 2 + ( y – 2 ) 2 + ( z – 3 ) 2 = 8

Câu 15: Cho mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 0). Một mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn (C). Biết diện tích lớn nhất của (C) bằng 3π. Phương trình của (S) là

A. x2 + ( y – 2 ) 2 + z2 = 3B. ( x – 1 ) 2 + ( y – 2 ) 2 + z2 = 3C. ( x – 1 ) 2 + ( y – 2 ) 2 + ( z + 1 ) 2 = 9D. ( x – 1 ) 2 + ( y – 2 ) 2 + z2 = 9

Lời giải

Chọn B

Nhận xét : Mặt phẳng ( P ) cắt ( S ) theo giao tuyến là một đường tròn ( C ) và diện tích quy hoạnh của ( C ) lớn nhất khi ( P ) qua tâm I của ( S ) .

Ta có:

Khi đó (S) có tâm I(1; 2; 0) và bán kính

⇒ ( S ) : ( x – 1 ) 2 + ( y – 2 ) 2 + z2 = 3

Câu 16: Cho mặt cầu (S) có tâm I(1; 1; 1). Một mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn (C). Biết chu vi lớn nhất của (C) bằng . Phương trình của (S) là

A. ( x – 1 ) 2 + ( y – 1 ) 2 + ( z – 1 ) 2 = 4B. ( x + 1 ) 2 + ( y + 1 ) 2 + ( z + 1 ) 2 = 2C. ( x + 1 ) 2 + ( y + 1 ) 2 + ( z + 1 ) 2 = 4D. ( x – 1 ) 2 + ( y – 1 ) 2 + ( z – 1 ) 2 = 2

Lời giải

Chọn D

Đường tròn ( C ) đạt chu vi lớn nhất khi ( C ) đi qua tâm I của mặt cầu ( S ) .

Ta có:

Khi đó (S) có tâm I(1; 1; 1) và bán kính

⇒ ( S ) : ( x – 1 ) 2 + ( y – 1 ) 2 + ( z – 1 ) 2 = 2

Câu 17: Cho I(1; –2; 3). Viết phương trình mặt cầu tâm I, cắt trục Ox tại hai điểm A và B sao cho

A. ( x – 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z – 3 ) 2 = 16B. ( x – 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z – 3 ) 2 = 20C. ( x – 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z – 3 ) 2 = 25D. ( x – 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z – 3 ) 2 = 9

Lời giải

Chọn A

Gọi M là hình chiếu vuông góc của I ( 1 ; – 2 ; 3 ) trên trục Ox⇒ M ( 1 ; 0 ; 0 ) và M là trung điểm của AB

Ta có:

∆IMA vuông tại M

Phương trình mặt cầu cần tìm là : ( x – 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z – 3 ) 2 = 16

Câu 18: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Viết phương trình mặt cầu đi qua A(2; 3; –3), B(2; –2; 2), C(3; 3; 4) và có tâm nằm trên mặt phẳng (Oxy).

A. ( x – 6 ) 2 + ( y – 1 ) 2 + z2 = 29B. ( x + 6 ) 2 + ( y + 1 ) 2 + z2 = 29C. ( x + 6 ) 2 + ( y – 1 ) 2 + z2 = 29D. ( x – 6 ) 2 + ( y + 1 ) 2 + z2 = 29

Lời giải

Chọn A

Giả sử I ( a ; b ; 0 ) ∈ ( Oxy ) là tâm, r là nửa đường kính của mặt cầu ( S ) và đi qua A ( 2 ; 3 ; – 3 ), B ( 2 ; – 2 ; 2 ), C ( 3 ; 3 ; 4 )Phương trình mặt cầu ( S ) là ( x – a ) 2 + ( y – b ) 2 + z2 = r2Vì mặt cầu đi qua A ( 2 ; 3 ; – 3 ), B ( 2 ; – 2 ; 2 ), C ( 3 ; 3 ; 4 ) nên

Vậy phương trình mặt cầu ( S ) là ( x – 6 ) 2 + ( y – 1 ) 2 + z2 = 29

Câu 19: Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(1; 2; –4), B(1; –3; 1), C(2; 2; 3), D(1; 0; 4). Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

A. ( x + 2 ) 2 + ( y – 1 ) 2 + z2 = 26B. ( x – 2 ) 2 + ( y + 1 ) 2 + z2 = 26C. ( x + 2 ) 2 + ( y + 1 ) 2 + z2 = 26D. ( x – 2 ) 2 + ( y – 1 ) 2 + z2 = 26

Lời giải

Chọn A

Giả sử ( S ) : x2 + y2 + z2 – 2 ax – 2 by – 2 cz + d = 0 ( a2 + b2 + c2 – d > 0 ) là phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Thay lần lượt tọa độ của A, B, C, D vào phương trình ta được

Do đó: I(–2; 1; 0) và bán kính

Vậy ( S ) : ( x + 2 ) 2 + ( y – 1 ) 2 + z2 = 26

Câu 20: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1; 0; 3) và cắt d: tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn A

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương và P(1; –1; 1) ∈ d

Ta có:

Suy ra

∆ IAB vuông tại I ⇔ ∆ IAB vuông cân tại I

Vậy ( S ) :

Source: https://vh2.com.vn
Category : Trái Đất