Các dạng bài tập về khoảng cách trong không gian – 1 điểm đến mặt phẳng, giữa 2 mặt phẳng, 2 đường thẳng – Tự Học 365

Các dạng bài tập về khoảng cách trong không gian – 1 điểm đến mặt phẳng, giữa 2 mặt phẳng, 2 đường thẳng

1) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho mặt phẳng USD ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0 $ và điểm $ { { M } _ { o } } ( { { x } _ { o } } ; { { y } _ { o } } ; { { z } _ { o } } ) USD khi đó khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P ) được tính theo công thức :

2) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Cho mặt phẳng USD ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0 USD

Mặt phẳng $(Q)//(P)$ và có phương trình $(Q):Ax+By+Cz+E=0$

Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng ( P ) và ( Q. ) bằng khoảng cách từ điểm bất kể thuộc mặt phẳng ( P ) đến mặt phẳng ( Q. ). Ta thấy điểm $ H \ left ( 0 ; 0 ; \ frac { – D } { C } \ right ) \ in ( P ) USD suy ra :
USD d \ left ( ( P ) ; ( Q. ) \ right ) = d \ left ( H ; ( Q. ) \ right ) = \ frac { \ left | C. \ frac { – D } { C } + E \ right | } { \ sqrt { { { A } ^ { 2 } } + { { B } ^ { 2 } } + { { C } ^ { 2 } } } } = \ frac { \ left | D-E \ right | } { \ sqrt { { { A } ^ { 2 } } + { { B } ^ { 2 } } + { { C } ^ { 2 } } } } $

3) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Công thức khoảng cách từ điểm $ { { M } _ { 1 } } $ đến đường thẳng $ \ Delta $ ( đi qua điểm $ { { M } _ { o } } $ và có vecto chỉ phương $ \ overrightarrow { u } $ ) là USD d \ left ( { { M } _ { 1 } } ; \ Delta \ right ) = \ frac { \ left | \ left [ \ overrightarrow { { { M } _ { 1 } } { { M } _ { 0 } } } ; \ overrightarrow { u } \ right ] \ right | } { \ left | \ overrightarrow { u } \ right | } $
Ngoài ra ta còn hoàn toàn có thể tìm hình chiếu của điểm $ { { M } _ { 1 } } $ trên đường thẳng $ \ Delta $ và khi đó USD d \ left ( { { M } _ { 1 } } ; \ Delta \ right ) = { { M } _ { 1 } } H. $

4) Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Công thức khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau $ { { d } _ { 1 } } $ ( đi qua điểm $ { { M } _ { 1 } } $ và có vecto chỉ phương $ \ overrightarrow { { { u } _ { 1 } } } $ ) và đường thẳng $ { { d } _ { 2 } } $ ( đi qua điểm $ { { M } _ { 2 } } $ và có vecto chỉ phương $ \ overrightarrow { { { u } _ { 2 } } } $ ) là :

Ngoài cách làm trên ta hoàn toàn có thể tính $ d ( { { d } _ { 1 } } ; { { d } _ { 2 } } ) USD như sau :
Gọi ( P ) là mặt phẳng chứa $ { { d } _ { 2 } } $ và song song với $ { { d } _ { 1 } }. $ Khi đó ( P ) xác lập, đi qua điểm $ { { M } _ { 2 } } $ và có một vecto pháp tuyến là $ \ overrightarrow { { { n } _ { ( P ) } } } = \ left [ \ overrightarrow { { { u } _ { 1 } } } ; \ overrightarrow { { { u } _ { 2 } } } \ right ]. $ Khi đó USD d \ left ( { { d } _ { 1 } } ; { { d } _ { 2 } } \ right ) = d \ left ( { { d } _ { 1 } } ; ( P ) \ right ) = d \ left ( { { M } _ { 1 } } ; ( P ) \ right ). $

Bài tập trắc nghiệm khoảng cách trong không gian oxyz có đáp án chi tiết

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Ta có : USD ( ABC ) : \ frac { x } { 2 } – \ frac { y } { 1 } + \ frac { z } { 3 } = 1 $ hay USD ( ABC ) : 2 x – 6 y + 2 z – 6 = 0 USD
Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng USD ( ABC ) USD là : USD d : \ frac { \ left | 3.0 – 6.0 + 2.0 – 6 \ right | } { \ sqrt { { { 3 } ^ { 2 } } + { { ( – 6 ) } ^ { 2 } } + { { 2 } ^ { 2 } } } } = \ frac { 6 } { 7 } $

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P ) là USD d = \ frac { \ left | 6.1 + 3.2 + 2.3 – 6 \ right | } { \ sqrt { { { 6 } ^ { 2 } } + 9 + 4 } } = \ frac { 12 } { 7 }. $

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Ta có : $ \ frac { AM } { BM } = \ frac { d ( A ; ( P ) ) } { d ( B ; ( P ) } = \ frac { \ left | 1-6 + 4-3 \ right | } { \ left | 3 + 2 + 10-3 \ right | } = \ frac { 1 } { 3 }. $

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn A

Gọi USD M ( 0 ; 0 ; t ) \, \, \, ( t > 0 ) USD thuộc tia Oz ( phần có cao độ lớn hơn 0 ) ta có :
USD d ( M ; ( P ) ) = \ frac { \ left | t + 6 \ right | } { \ sqrt { 4 + 4 + 1 } } = 3 \ Leftrightarrow \ left | t + 6 \ right | = 9 \ xrightarrow { t > 0 } t = 3. $

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Gọi USD M ( 0 ; t ; 0 ) \, ( t > 0 ) USD ( Do M thuộc tia Oy )
Lại có $ d ( M ; ( P ) ) = \ frac { \ left | 2 t + 3 \ right | } { \ sqrt { 4 + 4 + 1 } } = 3 \ Leftrightarrow \ left | 2 t + 3 \ right | = 9 \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { align } và t = 3 \ \ và t = – 6 \, ( l ) \ \ \ end { align } \ right. $
Vậy USD M ( 0 ; 3 ; 0 ). $

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Lấy điểm $ A ( 0 ; 0 ; – 3 ) \ in ( P ) \ Rightarrow d \ left ( ( P ) ; ( Q. ) \ right ) = d \ left ( A ; ( Q. ) \ right ) = \ frac { \ left | 0 + 2.0 – 2 ( – 3 ) – 3 \ right | } { \ sqrt { { { 1 } ^ { 2 } } + { { 2 } ^ { 2 } } + { { ( – 2 ) } ^ { 2 } } } } = 3. $

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Do $ \ overrightarrow { { { u } _ { \ Delta } } }. \ overrightarrow { { { n } _ { ( P ) } } } = 4-2-2 = 0 \ Rightarrow \ Delta / / ( P ) USD
Lấy điểm $ A ( 1 ; – 2 ; 1 ) \ in \ Delta $ ta có : USD d \ left ( \ Delta ; ( P ) \ right ) = d \ left ( A ; ( P ) \ right ) = \ frac { \ left | 2 + 4-1 + 1 \ right | } { \ sqrt { 4 + 1 + 1 } } = \ frac { 6 } { 3 } = 2. $

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Lấy điểm $ A ( 0 ; 0 ; – 3 ) \ in ( P ) \ Rightarrow d \ left ( ( P ) ; ( Q. ) \ right ) = d \ left ( A ; ( Q. ) \ right ) = \ frac { \ left | 0 + 2.0 – 2 ( – 3 ) + 3 \ right | } { \ sqrt { { { 1 } ^ { 2 } } + { { 2 } ^ { 2 } } + { { ( – 2 ) } ^ { 2 } } } } = 3. $

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn C

Ta có phương trình mặt phằng ( Q. ) có dạng : USD x-2y+2z+D = 0 USD
Khi đó USD d \ left ( ( P ) ; ( Q. ) \ right ) = \ frac { \ left | D + 1 \ right | } { \ sqrt { { { 1 } ^ { 2 } } + { { ( – 2 ) } ^ { 2 } } + { { 2 } ^ { 2 } } } } = 2 \ Rightarrow \ left | D + 1 \ right | = 6 \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { align } và D = 5 \ \ và D = – 7 \ \ \ end { align } \ right. $

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Ta có : $ \ overrightarrow { { { n } _ { ( P ) } } } = \ left [ \ overrightarrow { AB } ; \ overrightarrow { CD } \ right ] = ( – 7 ; 2 ; 4 ) USD suy ra USD ( P ) : 7 x – 2 y – 4 z + D = 0 USD
Mặt khác USD d \ left ( A ; ( P ) \ right ) = d \ left ( C ; ( P ) \ right ) \ Leftrightarrow \ left | D-2 \ right | = \ left | D-1 \ right | \ Leftrightarrow D = \ frac { 3 } { 2 }. $
Vậy USD ( P ) : 14 x – 4 y – 8 z + 3 = 0. $

Lời giải chi tiết

a ) Ta có : $ A ( – 2 ; 1 ; – 1 ) \ in d \ Rightarrow \ overrightarrow { AM } = ( 4 ; 2 ; 2 ) ; \ overrightarrow { { { u } _ { d } } } = ( 1 ; 2 ; – 2 ) \ Rightarrow \ left [ \ overrightarrow { AM } ; \ overrightarrow { { { u } _ { d } } } \ right ] = ( – 8 ; 10 ; 6 ) USD
Do đó USD d ( M ; d ) = \ frac { \ left | \ left [ \ overrightarrow { AM } ; \ overrightarrow { { { u } _ { d } } } \ right ] \ right | } { \ left | \ overrightarrow { { { u } _ { d } } } \ right | } = \ frac { \ sqrt { 64 + 100 + 36 } } { \ sqrt { 9 } } = \ frac { 10 \ sqrt { 2 } } { 3 }. $
b ) Ta có : $ A ( 3 ; 3 ; 1 ) \ in d \ Rightarrow \ overrightarrow { AM } ( – 2 ; – 3 ; – 1 ) ; \ overrightarrow { { { u } _ { d } } } ( 1 ; 2 ; 1 ) \ Rightarrow \ left [ \ overrightarrow { AM } ; \ overrightarrow { { { u } _ { d } } } \ right ] = ( – 1 ; 1 ; – 1 ) USD
Do đó USD d ( M ; d ) = \ frac { \ left | \ left [ \ overrightarrow { AM } ; \ overrightarrow { { { u } _ { d } } } \ right ] \ right | } { \ left | \ overrightarrow { { { u } _ { d } } } \ right | } = \ frac { \ sqrt { 3 } } { \ sqrt { 6 } } = \ frac { \ sqrt { 2 } } { 2 }. $

Lời giải chi tiết

a)Cách 1: Đường thẳng ${{d}_{1}}$ qua $A(2;0;4)$ và có VTCP: $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(-3;2;-2)$

Đường thẳng $ { { d } _ { 2 } } $ qua $ B ( 1 ; 2 ; – 1 ) USD và có VTCP : $ \ overrightarrow { { { u } _ { 2 } } } = ( 3 ; 1 ; 2 ) USD
Gọi ( P ) là mặt phẳng chứa $ { { d } _ { 1 } } $ và song song với $ { { d } _ { 2 } } $ ta có : $ \ overrightarrow { { { n } _ { ( P ) } } } = \ left [ \ overrightarrow { { { u } _ { 1 } } } ; \ overrightarrow { { { u } _ { 2 } } } \ right ] = ( 6 ; 0 ; – 9 ) = 3 ( 2 ; 0 ; – 3 ) USD
Suy ra USD ( P ) : 2 x – 3 z + 8 = 0 \ Rightarrow d ( { { d } _ { 1 } } ; { { d } _ { 2 } } ) = d ( { { d } _ { 2 } } ; ( P ) ) = d ( B ; ( P ) ) = \ frac { \ left | 13 \ right | } { \ sqrt { 13 } } = \ sqrt { 13 }. $

Cách 2: Ta có: $d({{d}_{1}};{{d}_{2}})=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]\overrightarrow{AB} \right|}{\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]}=\frac{\left| (6;0;-9).(-1;2;-5) \right|}{\sqrt{36+81}}=\sqrt{13}.$

b) Cách 1: Đường thẳng ${{d}_{1}}$ qua $A(1;0;-1)$ và có VTCP $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(1;-2;2)$

Đường thẳng $ { { d } _ { 2 } } $ qua $ B ( 2 ; 3 ; 1 ) USD và có VTCP : $ \ overrightarrow { { { u } _ { 2 } } } = ( 2 ; – 4 ; – 5 ) USD
Gọi ( P ) là mặt phẳng chứa $ { { d } _ { 1 } } $ và song song với $ { { d } _ { 2 } } $ ta có : $ \ overrightarrow { { { n } _ { ( P ) } } } = \ left [ \ overrightarrow { { { u } _ { 1 } } } ; \ overrightarrow { { { u } _ { 2 } } } \ right ] = ( 18 ; 9 ; 0 ) = 9 ( 2 ; 1 ; 0 ) USD
Suy ra USD ( P ) : 2 x + y-2 = 0 \ Rightarrow d ( { { d } _ { 1 } } ; { { d } _ { 2 } } ) = d ( { { d } _ { 2 } } ; ( P ) ) = d ( B ; ( P ) ) = \ sqrt { 5 } $

Cách 2: Ta có: $d({{d}_{1}};{{d}_{2}})=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]\overrightarrow{AB} \right|}{\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]}=\frac{\left| 9(2;1;0).(1;3;2) \right|}{9\sqrt{5}}=\sqrt{5}$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn A

Ta có : USD A ( 1 ; – 1 ; 2 ) \ in d \ Rightarrow \ overrightarrow { AM } = ( – 4 ; 2 ; 0 ) ; \ overrightarrow { { { u } _ { d } } } = ( 2 ; 1 ; 1 ) \ Rightarrow \ left [ \ overrightarrow { AM } ; \ overrightarrow { { { u } _ { d } } } \ right ] = ( 2 ; 4 ; – 8 ) USD
Do đó USD d ( M ; d ) = \ frac { \ left | \ left [ \ overrightarrow { AM } ; \ overrightarrow { { { u } _ { d } } } \ right ] \ right | } { \ left | \ overrightarrow { { { u } _ { d } } } \ right | } = \ frac { \ sqrt { 4 + 16 + 64 } } { \ sqrt { 6 } } = \ sqrt { 14 }. $

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn C

Cách 1: Đường thẳng ${{d}_{1}}$ qua $A(1;2;3)$ và có VTCP: $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(1;2;3)$

Đường thẳng $ { { d } _ { 2 } } $ qua $ B ( 1 ; 0 ; 1 ) USD và có VTCP : $ \ overrightarrow { { { u } _ { 2 } } } = ( – 1 ; 1 ; 1 ) USD
Gọi ( P ) là mặt phẳng chứa $ { { d } _ { 1 } } $ và song song với $ { { d } _ { 2 } } $ ta có : $ \ overrightarrow { { { n } _ { ( P ) } } } = \ left [ \ overrightarrow { { { u } _ { 1 } } } ; \ overrightarrow { { { u } _ { 2 } } } \ right ] = ( – 1 ; – 4 ; 3 ) = – ( 1 ; 4 ; – 3 ) USD
Suy ra USD ( P ) : x + 4 y – 3 z = 0 \ Rightarrow d ( { { d } _ { 1 } } ; { { d } _ { 2 } } ) = d \ left ( { { d } _ { 2 } } ( P ) \ right ) = d ( B ; ( P ) ) = \ frac { \ left | – 2 \ right | } { \ sqrt { 1 + 16 + 9 } } = \ frac { 2 } { \ sqrt { 26 } } = \ frac { \ sqrt { 26 } } { 13 }. $

Cách 2: Ta có: $d({{d}_{1}};{{d}_{2}})=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]\overrightarrow{AB} \right|}{\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]}=\frac{\left| (-1;-4;3).(0;-2;-2) \right|}{\sqrt{1+16+9}}=\frac{\left| 2 \right|}{\sqrt{26}}=\frac{\sqrt{26}}{13}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Gọi $ A ( t ; 0 ; 0 ) USD suy ra $ d ( A ; ( P ) ) = \ frac { 2 \ left | t \ right | } { 3 } ; d ( A ; d ) = \ frac { \ left | \ left [ \ overrightarrow { AM } ; \ overrightarrow { { { u } _ { d } } } \ right ] \ right | } { \ left | \ overrightarrow { { { u } _ { d } } } \ right | } $ trong đó USD M ( 1 ; 0 ; – 2 ) USD
Suy ra $ d ( A ; d ) = \ frac { \ left [ \ overrightarrow { AM } ; \ overrightarrow { { { u } _ { d } } } \ right ] } { \ left | \ overrightarrow { { { u } _ { d } } } \ right | } = \ frac { \ sqrt { 16 + { { ( 2 t – 4 ) } ^ { 2 } } + { { ( 2-2 t ) } ^ { 2 } } } } { 3 } = \ frac { 2 \ left | t \ right | } { 3 } $
USD \ Leftrightarrow 36-24 t + 4 { { t } ^ { 2 } } = 0 \ Leftrightarrow t = 3. $ ..

Source: https://vh2.com.vn
Category : Trái Đất