Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng

Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

– Viết phương trình mặt phẳng ( Q. ) chứa d ’ và vuông góc với mặt phẳng ( P )
– Hình chiếu cần tìm d = ( P ) ∩ ( Q. )

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ: 1

Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của d’ trên (P) biết:

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương

Mặt phẳng ( P) có vecto pháp tuyến là:

– Mặt phẳng (Q) chứa d’ và vuông góc với (P) có

1 điểm thuộc d ’ cũng thuộc ( Q. ) là : ( 1 ; 2 ; – 1 )
Phương trình mặt phẳng ( Q. ) là :
1. ( x – 1 ) + 0. ( y – 2 ) – 1. ( z + 1 ) = 0 hay x – z – 2 = 0
– Hình chiếu cần tìm d = ( P ) ∩ ( Q. )
Tọa độ của điểm M ( x ; y ; z ) thuộc d thỏa mãn nhu cầu :

Vậy phương trình của d là:

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ: 2

Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu của d trên (Oxy) biết :

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Mỗi điểm M ( x ; y ; z ) thuộc d có hình chiếu trên ( Oxy ) là điểm M ’ ( x ; y ; 0 ) thuộc d ’ với d ’ là hình chiếu của d trên ( Oxy )
Vậy d ’ có phương trình tham số là :

Chọn C.

Ví dụ: 3

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
và mặt thẳng (P): 3x+ 5y – z- 2= 0. Gọi d’ là hình chiếu của d lên (P). Phương trình tham số của d’ là

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Gọi mặt phẳng ( Q. ) chứa d và vuông góc với ( P ) .

Đường thẳng d đi qua điểm B( 12; 9; 1) và có vectơ chỉ phương

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

=> Mặt phẳng ( Q) qua B( 12; 9; 1) có vectơ pháp tuyến

=> Phương trình ( Q. ) : – 8 ( x – 12 ) + 7 ( y – 9 ) + 11 ( z – 1 ) = 0
Hay – 8 x + 7 y + 11 z + 22 = 0
+ Đường thẳng d ’ cần tìm là giao tuyến của ( P ) và ( Q. ) .
Tìm một điểm thuộc d ’, bằng cách cho y = 0

Ta có hệ :

=> M ( 0 ; 0 ; – 2 ) ∈ d

+ Đường thẳng d’ đi qua điểm M( 0; 0; – 2) và có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình tham số của d’ là:

Chọn B.

Quảng cáo

Ví dụ: 4

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ; cho hai điểm A ( 1 ; 1 ; – 2 ) và B ( 0 ; 2 ; – 2 ). Cho mặt phẳng ( P ) : x + y – 2 z – 6 = 0. Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng AB lên mặt phẳng ( P ) ?

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải

+ Thay tọa độ điểm A và B vào phương trình mặt phẳng ( P ) ta được :
1 + 1 – 2. ( – 2 ) – 6 = 0 ( thỏa mãn nhu cầu ) .
Và 0 + 2 – 2 ( – 2 ) – 6 = 0 ( thỏa mãn nhu cầu ) .
=> Hai điểm A và B cùng thuộc mặt phẳng ( P ) .
Suy ra ; mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng AB .
=> Hình chiếu của đường thẳng AB lên mặt phẳng ( P ) là chính nó .

+ Đường thẳng AB: đi qua A( 1; 1; -2) và nhận vecto

=> Phương trình AB:

Chọn C .

Ví dụ: 5

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ; cho hai điểm A ( – 1 ; 2 ; 0 ) và B ( 0 ; 1 ; 1 ). Mặt phẳng ( P ) : 3 x + y – z + 6 = 0. Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng AB trên mặt phẳng ( P ) ?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Gọi mặt phẳng ( Q. ) chứa AB và vuông góc với ( P ) .

Đường thẳng AB đi qua A( -1; 2;0) và có vectơ chỉ phương
.

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

=> Mặt phẳng ( Q) qua A( – 1; 2; 0) có vectơ pháp tuyến
chọn vecto

=> Phuong trình ( Q. ) : 0 ( x + 1 ) + 1 ( y – 2 ) + 1 ( z – 0 ) = 0 Hay y + z – 2 = 0

+ Đường thẳng d cần tìm là giao tuyến của (P) và (Q). Suy ra mỗi điểm M( x; y; z) thuộc

d thì thỏa mãn :

Tìm một điểm thuộc d, bằng cách cho x = 0

Ta có hệ:

=> M ( 0 ; – 2 ; 4 ) ∈ d

+ Đường thẳng d’ đi qua điểm M( 0; – 2; 4) và có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình tham số của d’ là:

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ: 6

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P) đi qua ba điểm
A( 1; 0;0); B( 0; 1; 0) và C( 0; 0;1). Đường thẳng
. Gọi đường thẳng Δ là hình chiếu của d lên mặt phẳng (P). Trong các điểm sau điểm nào thuộc Δ?

A. ( 1 ; 2 ; – 1 )
B. ( 2 ; – 3 ; – 2 )
C. ( – 1 ; 3 ; – 1 )
D. ( 0 ; – 1 ; 0 )

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương

+ Phương trình mặt phẳng
hay x+ y+ z- 1= 0

+ Gọi ( Q. ) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng ( P )

=> Mặt phẳng (Q) đi qua điểm B(0; 1; 0) thuộc d và nhận vecto

làm vecto pháp tuyến chọn

=> Phương trình mặt phẳng ( Q. ) : 1 ( x – 0 ) + 0 ( y – 1 ) – 1 ( z – 0 ) = 0
Hay ( Q. ) : x – z = 0

+ đường thẳng Δ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Do đó: với mỗi

điểm M(x;y;z) thuộc Δ phải thỏa mãn:

Đặt x= t =>

=> Phương trình tham số của đường thẳng Δ:

+ cho t = – 1 ta được điểm H ( – 1 ; 3 ; – 1 ) thuộc đường thẳng Δ .
Chọn C

Ví dụ: 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
; mặt phẳng (P) đi qua H(1;1;1)và song song với mặt phẳng ( Q): x-2y+ z- 2= 0. Viết phương trình đường thẳng Δ là hình chiếu của d lên mặt phẳng (P)?

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

+ Mặt phẳng ( P ) song song với mặt phẳng ( Q. ) nên phương trình mặt phẳng ( P ) có dạng : x – 2 y + z + D = 0
Mà điểm H ( 1 ; 1 ; 1 ) thuộc ( P ) nên : 1 – 2. 1 + 1 + D = 0 ⇔ D = 0
Vậy phương trình ( P ) : x – 2 y + z = 0

+ Đường thẳng d đi qua M(1 ;2; 0) và có vecto chỉ phương

+ Gọi ( R ) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng ( P ) .

=> (R) qua M( 1; 2; 0) và có vecto pháp tuyến

=> Phương trình ( R ) : 2 ( x – 1 ) + 3 ( y – 2 ) + 4 ( z – 0 ) = 0 hay 2 x + 3 y + 4 z – 8 = 0
+ Đường thẳng Δ cần tìm là giao tuyến của mặt phẳng ( P ) và ( R ). Do đó ; với mỗi điểm N ( x ; y ; z ) thuộc đường thẳng Δ thỏa mãn nhu cầu :

Chọn một điểm thuộc Δ bằng cách cho y = 0 ; thay vào hệ phương trình trên ta được x = – 4 và z = 4 => I ( – 4 ; 0 ; 4 ) thuộc Δ .

Đường thẳng Δ có vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng Δ:

Chọn D.

Ví dụ: 8

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
và mặt phẳng (P): 2x- y- z+ 4= 0. Gọi Δ là hình chiếu của d lên mặt phẳng (P). Biết phương
trình đường thẳng Δ có dạng:
. Tính a+ b+ c?

A. 3
B. 2

C.– 4

D. 5

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d đi qua A( -2; 1; 0) có vecto chỉ phương

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến
.

+ Gọi ( Q) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P). Khi đó; mặt phẳng

(Q) chứa A( -2; 1; 0) và nhận vecto

=> Phương trình ( Q. ) : 1 ( x + 2 ) + 1 ( y – 1 ) + 1 ( z-0 ) = 0 hay x + y + z + 2 = 0

+ Đường thẳng Δ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng ( P) và ( Q). Với mỗi điểm

M( x; y; z) thuộc Δ thỏa mãn hệ phương trình:

Chọn một điểm thuộc Δ bằng cách cho y = 0 thay vào hệ ta được x = – 2 và z = 0

=> Điểm B( -2; 0; 0) thuộc Δ và Δ nhận vecto
làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng Δ:

=> a = 0 ; b = 0 và c = 3 nên a + b + c = 3
Chọn A .

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của d ’ trên ( P ) biết :

A.

B.

C.

D. Đáp án khác
Hiển thị lời giải

+ Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương

Mặt phẳng ( P) có vecto pháp tuyến là:

– Mặt phẳng (Q) chứa d’ và vuông góc với (P) có

1 điểm thuộc d ’ cũng thuộc ( Q. ) là : ( 0 ; 0 ; – 1 )
Phương trình mặt phẳng ( Q. ) là : 1. ( x – 0 ) + 0. ( y – 0 ) – 1. ( z + 1 ) = 0 hay x – z – 1 = 0
– Hình chiếu cần tìm d = ( P ) ∩ ( Q. )
Tọa độ của điểm M ( x ; y ; z ) thuộc d thỏa mãn nhu cầu :

Vậy phương trình của d là:

Chọn B.

Câu 2:

Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu của d trên (Oxz) biết :

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải
Mặt phẳng ( Oxz ) có phương trình y = 0 .
Mỗi điểm M ( x ; y ; z ) thuộc d có hình chiếu trên ( Oxz ) là điểm M ’ ( x ; 0 ; z ) thuộc d ’ với d ’ là hình chiếu của d trên ( Oxz )

Vậy d’ có phương trình tham số là d’:

Chọn A.

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
và mặt thẳng (P): -3x+ y – z – 2= 0. Gọi d’ là hình chiếu của d lên (P). Phương trình tham số của d’ là

A.

B.

C.

D. Đáp án khác
Hiển thị lời giải
+ Gọi mặt phẳng ( Q. ) chứa d và vuông góc với ( P ) .

Đường thẳng d đi qua điểm B( 1;0; 1) và có vectơ chỉ phương
.

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

=> Mặt phẳng ( Q) qua B( 1; 0; 1) có vectơ pháp tuyến

=> Phuong trình ( Q. ) : 1 ( x – 1 ) – 1 ( y – 0 ) – 4 ( z – 1 ) = 0 hay x – y – 4 z + 3 = 0
+ Đường thẳng d ’ cần tìm là giao tuyến của ( P ) và ( Q. ) .
Tìm một điểm thuộc d ’, bằng cách cho z = 0

Ta có hệ:

=> M ( 50% ; 7/2 ; 0 ) ∈ d ‘

+ Đường thẳng d’ đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình tham số của d’ là:

Chọn B.

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ; cho hai điểm A ( – 2 ; 3 ; 0 ) và B ( 0 ; 3 ; 1 ). Cho mặt phẳng ( P ) : x + 2 y – 2 z – 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng AB lên mặt phẳng ( P ) ?

A.

B.

C.

D. Tất cả sai
Hiển thị lời giải
+ Thay tọa độ điểm A và B vào phương trình mặt phẳng ( P ) ta được :
– 2 + 2.3 – 2.0 – 4 = 0 ( thỏa mãn nhu cầu ) .
Và 0 + 2.3 – 2. 1 – 4 = 0 ( thỏa mãn nhu cầu ) .
=> Hai điểm A và B cùng thuộc mặt phẳng ( P ) .
Suy ra ; mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng AB .
=> Hình chiếu của đường thẳng AB lên mặt phẳng ( P ) là chính nó .

+ Đường thẳng AB: đi qua A(- 2; 3; 0) và nhận vecto

=> Phương trình AB:

Chọn C .

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ; cho hai điểm A ( – 2 ; – 1 ; – 3 ) và B ( 0 ; 1 ; – 2 ). Mặt phẳng ( P ) : x + 2 y – z + 6 = 0. Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng AB trên mặt phẳng ( P ) ?

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải
+ Gọi mặt phẳng ( Q. ) chứa AB và vuông góc với ( P ) .

Đường thẳng AB đi qua B( 0; 1; – 2) và có vectơ chỉ phương
.

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

=> Mặt phẳng ( Q) qua B( 0; 1; -2) có vectơ pháp tuyến
.

=> Phuong trình ( Q. ) : – 4 ( x – 0 ) + 3 ( y – 1 ) + 2 ( z + 2 ) = 0 Hay – 4 x + 3 y + 2 z + 1 = 0

+ Đường thẳng d cần tìm là giao tuyến của (P) và (Q). Suy ra mỗi điểm M( x; y; z) thuộc

d thì thỏa mãn :

Tìm một điểm thuộc d, bằng cách cho y = 1

Ta có hệ :

=> M ( 10 ; 1 ; 18 ) ∈ d

+ Đường thẳng d’ đi qua điểm (10; 1; 18) và có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình tham số của d’ là:

Chọn D.

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P) đi qua ba điểm
A( 2; 0;0); B( 0; -3; 0) và C( 0; 0;-2). Đường thẳng
. Gọi đường thẳng Δ là hình chiếu của d lên mặt phẳng (P). Trong các vecto sau vecto nào là vecto chỉ phương của Δ?

A. ( 1 ; 2 ; – 1 )
B. ( 2 ; – 3 ; – 2 )
C. ( 1 ; 3 ; – 1 )
D. ( 3 ; – 1 ; 0 )
Hiển thị lời giải

+ Đường thẳng d đi qua I (1; 0; 0) có vecto chỉ phương

+ Phương trình mặt phẳng hay 3x – 2y – 3z – 6= 0

+ Gọi ( Q. ) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng ( P )

=> Mặt phẳng (Q) đi qua điểm I(1; 0 ;0) thuộc d và nhận vecto

làm vecto pháp tuyến chọn

=> Phương trình mặt phẳng ( Q. ) : 1 ( x – 1 ) + 0 ( y – 0 ) + 1 ( z – 0 ) = 0
Hay ( Q. ) : x + z – 1 = 0

+ đường thẳng Δ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Do đó; với mõi

điểm M(x;y;z) thuộc Δ phải thỏa mãn:

Đặt x= t =>

=> Phương trình tham số của đường thẳng Δ:

Vậy một vec to chỉ phương của Δ là ( 1 ; 3 ; – 1 )
Chọn C

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
; mặt phẳng (P) gốc tọa độ và song song với mặt phẳng ( Q): x+ y+ z- 3= 0. Viết phương trình đường thẳng Δ là hình chiếu của d lên mặt phẳng (P)?

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải
+ Mặt phẳng ( P ) song song với mặt phẳng ( Q. ) nên phương trình mặt phẳng ( P ) có dạng : x + y + z + D = 0
Mà điểm O ( 0 ; 0 ; 0 ) thuộc ( P ) nên : 0 + 0 + 0 + D = 0 ⇔ D = 0. Vậy phương trình ( P ) : x + y + z = 0

+ Đường thẳng d đi qua M(- 3;1; -2) và có vecto chỉ phương

+ Gọi ( R ) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng ( P ) .

=> (R) qua M(- 3; 1; -2) và có vecto pháp tuyến

=> Phương trình ( R ) : 2 ( x + 3 ) – 1 ( y – 1 ) – 1 ( z + 2 ) = 0 hay 2 x – y – z + 5 = 0

+ Đường thẳng Δ cần tìm là giao tuyến của mặt phẳng (P) và ( R). Do đó; với mỗi điểm N( x;y; z) thuộc đường thẳng Δ thỏa mãn:

Chọn một điểm thuộc Δ bằng cách cho y= 0; thay vào hệ phương trình trên ta được

thuộc Δ.

Đường thẳng Δ có vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng Δ:
và đường thẳng Δ không có phương trình chính tắc.

Chọn D.

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
và mặt phẳng (P): 2x – y + z+ 2= 0. Gọi Δ là hình chiếu của d lên mặt phẳng (P). Tìm một vecto chỉ phương của đường thẳng Δ ?

A. ( 3 ; 6 ; 0 )
B. ( 1 ; – 2 ; 0 )
C. ( 6 ; 0 ; 12 )
D. ( 0 ; 1 ; 2 )
Hiển thị lời giải

+ Đường thẳng d đi qua A( 0; – 2; – 3) có vecto chỉ phương

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến
.

+ Gọi ( Q) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P). Khi đó; mặt phẳng

(Q) chứa A(0; -2; – 3) và nhận vecto
làm vecto pháp tuyến

=> Phương trình ( Q. ) : – 2 ( x – 0 ) + 1 ( y + 2 ) + 5 ( z + 3 ) = 0 hay – 2 x + y + 5 z + 17 = 0

+ Đường thẳng Δ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng ( P) và ( Q). Với mỗi điểm

M( x; y; z) thuộc Δ thỏa mãn hệ phương trình:

=> Δ nhận vecto
làm vecto chỉ phương

=> đường thẳng Δ cũng nhận vecto ( 3 ; 6 ; 0 ) làm vecto chỉ phương
Chọn A .

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm những chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác :

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian.jsp

Source: https://vh2.com.vn
Category : Trái Đất