Bài 15 trang 226 SBT Hình 12 Nâng Cao: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(3;3;1), B(0;2;1) và mặt…

Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(3;3;1), B(0;2;1) và mặt phẳng

( P. ) : x + y + z-7 = 0 .
1. Viết phương trình đường thẳng AB .
2. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của AB trên mp ( P. ) .
3. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mp ( P. ) và mọi điểm của d cách đều hai điểm A, B .
4. Viết phương trình đường vuông góc chung của AB và d .
5. Tìm điểm K thuộc đường thẳng AB ( \ ( K \ ne B \ ) ) sao cho
d ( K, ( P. ) ) = d ( B, ( P. ) ) .
6. Tìm điểm C trên đường thẳng d sao cho diện tích quy hoạnh tam giác ABC nhỏ nhất .

1. Đường thẳng AB đi qua \ ( A \ left ( { 3 { \ rm { } } ; { \ rm { } } 3 { \ rm { } } ; { \ rm { } } 1 } \ right ), \ ) có vectơ chỉ phương \ ( \ overrightarrow { AB } = \ left ( { – 3 ; { \ rm { } } – { \ rm { } } 1 ; { \ rm { } } 0 } \ right ) \ ) nên có phương trình :
\ ( \ left \ { { \ matrix { { x { \ rm { } } = { \ rm { } } 3 – 3 t } \ hfill \ cr { y { \ rm { } } = { \ rm { } } 3 – t } \ hfill \ cr { z { \ rm { } } = { \ rm { } } 1. } \ hfill \ cr } } \ right. \ )
2. Ta nhận thấy A \ ( \ in \ ) mp ( P. ) nên hình chiếu vuông góc của AB trên mp ( P. ) là đường thẳng AH, trong đó H là hình chiếu của điểm B trên mp ( P. ) .
Đường thẳng bh qua \ ( B \ left ( { 0 { \ rm { } } ; { \ rm { } } 2 { \ rm { } } ; { \ rm { } } 1 } \ right ) \ ) và vuông góc với mp ( P. ) nên có phương trình
\ ( \ left \ { { \ matrix { { x { \ rm { } } = { \ rm { } } t } \ hfill \ cr { y { \ rm { } } = { \ rm { } } 2 { \ rm { } } + { \ rm { } } t } \ hfill \ cr { z { \ rm { } } = { \ rm { } } 1 { \ rm { } } + { \ rm { } } t. } \ hfill \ cr } } \ right. \ )
Do đó toa độ \ ( \ left ( { x ; y ; z } \ right ) \ ) của điểm H thoả mãn hệ : \ ( \ left \ { { \ matrix { { x { \ rm { } } = { \ rm { } } t } \ hfill \ cr { y { \ rm { } } = { \ rm { } } 2 { \ rm { } } + { \ rm { } } t } \ hfill \ cr \ matrix { z { \ rm { } } = { \ rm { } } 1 { \ rm { } } + { \ rm { } } t \ hfill \ cr x + y + z – 7 = 0. \ hfill \ cr } \ hfill \ cr } } \ right. \ )
Giải hệ ta được \ ( t = { 4 \ over 3 } \ Rightarrow H = \ left ( { { 4 \ over 3 } ; { { 10 } \ over 3 } ; { 7 \ over 3 } } \ right ) \ ) .
Phương trình đường thẳng AH là
\ ( \ left \ { { \ matrix { { { \ rm { x } } = 3 + 5 t } \ hfill \ cr { \ ; y = 3 – t } \ hfill \ cr { \ ; z = 1 – 4 t. } \ hfill \ cr } } \ right. \ )

3. Đường thẳng d nằm trong mp(P), đồng thời nằm trong mặt phẳng trung trực (\(\pi \)) của đoạn AB. Gọi I  là trung điếm AB, ta có\(I = \left( {{3 \over 2};{5 \over 2};1} \right).\)

Mặt phẳng ( \ ( \ pi \ ) ) đi qua I và có vectơ pháp tuyến là \ ( \ overrightarrow { BA } = \ left ( { 3 { \ rm { } } ; { \ rm { } } 1 { \ rm { } } ; { \ rm { } } 0 } \ right ) \ ) nên có phương trình : \ ( \ left ( \ pi \ right ) : 3 x + y – 7 = 0. \ )

Vậy d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (\(\pi \)). Do đó d có phương trình : 

Quảng cáo – Advertisements

\ ( \ left \ { { \ matrix { { { \ rm { x = } } t } \ hfill \ cr \ matrix { y = 7 – 3 t \ hfill \ cr z = 2 t. \ hfill \ cr } \ hfill \ cr } } \ right. \ )
4. Vì \ ( AB \ bot mp ( \ pi ) \ ) và \ ( d \ subset mp ( \ pi ) \ ) nên nếu trong \ ( mp ( \ pi ) \ ), kẻ đường thẳng IM vuông góc với \ ( d ( M \ in d ) \ ) thì IM chính là đường vuông góc chung của AB và d .
Ta có \ ( M = ( t ; 7 – 3 t ; 2 t ) \ )
\ ( \ Rightarrow \ overrightarrow { IM } = \ left ( { t – { 3 \ over 2 } ; { 9 \ over 2 } – 3 t ; 2 t – 1 } \ right ). \ )
Đường thẳng d có vec tơ chỉ phương là \ ( \ overrightarrow { { u_d } } = ( 1 ; – 3 ; 2 ). \ )
\ ( IM \ bot d \ Leftrightarrow \ overrightarrow { IM }. \ overrightarrow { { u_d } } = 0 \ Leftrightarrow t = { { 17 } \ over { 14 } } \ )
\ ( \ Rightarrow \ overrightarrow { IM } = \ left ( { – { 4 \ over { 14 } } ; { { 12 } \ over { 14 } } ; { { 20 } \ over { 14 } } } \ right ) \ )
Vậy đường vuông góc chung của AB và d là đường thẳng qua I và có vec tơ chỉ phương \ ( { { 14 } \ over 4 } \ overrightarrow { IM } = ( – 1 ; 3 ; 5 ), \ ) đường thẳng đó có phương trình :
\ ( \ left \ { \ matrix { x = { 3 \ over 2 } – t \ hfill \ cr y = { 5 \ over 2 } + 3 t \ hfill \ cr z = 1 + 5 t. \ hfill \ cr } \ right. \ )
5. Cách 1. \ ( K \ in AB \ Rightarrow K = ( 3 – 3 t ; 3 – t ; 1 ). \ )
\ ( \ eqalign { và d ( K, ( P. ) ) = d ( B, ( P. ) ) \ cr và \ Leftrightarrow { { \ left | { 3 – 3 t + 3 – t + 1 – 7 } \ right | } \ over { \ sqrt 3 } } = { { \ left | { 0 + 2 + 1 – 7 } \ right | } \ over { \ sqrt 3 } }. \ cr và \ Leftrightarrow \ left | { – 4 t } \ right | = \ left | { – 4 } \ right | \ Leftrightarrow \ left | t \ right | = 1 \ Leftrightarrow \ left [ \ matrix { t = 1 \ hfill \ cr t = – 1. \ hfill \ cr } \ right. \ cr } \ )
Với t = 1, K = ( 0 ; 2 ; 1 ) nên \ ( K \ equiv B \ ( ( loại ) .
Với t = – 1, K = ( 6 ; 4 ; 1 ) .
Vậy K ( 6 ; 4 ; 1 ) là điểm phải tìm .
Cách 2. Vì \ ( A \ in ( P. ) \ ) nên \ ( d ( K ; ( P. ) ) = d ( B, ( P. ) ) \ ) khi và chỉ khi A là trung điểm của KB. Từ đó suy ra K = ( 6 ; 4 ; 1 ) .
6. Với \ ( C \ in d \ ) thì \ ( { S_ { ABC } } = { 1 \ over 2 } AB.CI \ ), AB không đổi nên \ ( { S_ { ABC } } \ ) nhỏ nhất khi và chỉ khi IC nhỏ nhấ, tức C là hình chiếu của I trên d .
Vì \ ( C \ in d \ ) nên \ ( C = ( t ; 7 – 3 t ; 2 t ) \ ), suy ra \ ( \ overrightarrow { IC } = \ left ( { t – { 3 \ over 2 } ; 7 – 3 t – { 5 \ over 2 } ; 2 t – 1 } \ right ) \ )

Ta có \(IC \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {IC} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\)

\ ( \ Leftrightarrow t – { 3 \ over 2 } – 3 \ left ( { 7 – 3 t – { 5 \ over 2 } } \ right ) + 2 ( 2 t – 1 ) = 0 \ )
\ ( \ Leftrightarrow t = { { 17 } \ over { 14 } }. \ )
Vậy điểm C cần tìm là \ ( C = \ left ( { { { 17 } \ over { 14 } } ; { { 47 } \ over { 14 } } ; { { 34 } \ over { 14 } } } \ right ) \ ) ( chính là điểm M ở câu 4 ) .

Source: https://vh2.com.vn
Category : Trái Đất