Bài tập bài toán thực thế hình học không gian thường ra trong đề thi – Có đáp án chi tiết – Tự Học 365

Bài tập bài toán thực thế hình học không gian thường ra trong đề thi – Có đáp án

Dưới đây là các bài tập trắc nghiệm toán thực tế hay ra trong kì thi thpt quốc gia có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Người ta muốn thiết kế một bể cá bằng kính không có nắp với thể tích 72dm3 và chiều cao là 3dm.  Một vách ngắn (cung mặt kính) ở giữa, chia bể cá thành hai ngăn, với các kích thước a,b (đơn vị dm) như hình vẽ. Tính a,b để bể cá tốn ít nguyên liệu nhất (tính cả tấm kính ở giữa), coi bề dày các tấm kính như nhau và không ảnh hưởng đến thể tích của bể. A. $a=\sqrt{24},b=\sqrt{24}.$ B. $a=3,b=8.$ C. $a=3\sqrt{2},b=4\sqrt{2}.$ D. $a=4,b=6.$

Lời giải chi tiết

Bạn đang đọc: Bài tập bài toán thực thế hình học không gian thường ra trong đề thi – Có đáp án chi tiết – Tự Học 365

Thể tích của bể là USD { { V } _ { b } } = 3 ab = 72 \ Rightarrow ab = 24. $
Diện tích của bể cá là $ S = 9 a + 6 b + ab = 24 + 9 a + 6 b \ ge 24 + 2 \ sqrt { 9 a. 6 b } = 24 + 2 \ sqrt { 54 ab } = 96. $

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}  {} ab=24 \\  {} 9\text{a}=6b \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=4 \\  {} b=6 \\ \end{array} \right..$ Chọn D.

Bài tập 2: Một bình đựng đầy nước có dạng hình nón (không có đáy). Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là $18\pi \left( d{{m}^{3}} \right).$ Biết rằng khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa của khối cầu đã chìm trong nước (hình dưới đây). Tính thể tích nước còn lại trong bình. A. $12\pi \left( d{{m}^{3}} \right).$ B. $54\pi \left( d{{m}^{3}} \right).$ C. $6\pi \left( d{{m}^{3}} \right).$              D. $24\pi \left( d{{m}^{3}} \right).$

Lời giải chi tiết

Gọi nửa đường kính khối cầu là R ( dm ) .
Thể tích nước tràn ra ngoài bằng thể tích của nửa khối cầu
USD \ Rightarrow \ frac { 4 } { 3 } \ pi { { R } ^ { 3 } } = 2.18 \ pi \ Rightarrow { { R } ^ { 3 } } = 27 \ Rightarrow R = 3 \ left ( dm \ right ) USD
Þ Chiều cao của bình nước là : USD h = 2R = 2.3 = 6 \ left ( dm \ right ) USD
Bán kính đáy của hình nón là IA và $ \ frac { 1 } { I { { A } ^ { 2 } } } + \ frac { 1 } { S { { I } ^ { 2 } } } = \ frac { 1 } { I { { H } ^ { 2 } } } $
Suy ra USD I { { A } ^ { 2 } } = 12. $ Vậy thể tích nước còn lại là
USD V = { { V } _ { N } } – 18 \ pi = \ frac { 1 } { 3 } \ pi { { R } _ { N } } ^ { 2 } h-18 \ pi = \ frac { 1 } { 3 } \ pi. 12.6 – 18 \ pi = 6 \ pi. $

Chọn C.

Bài tập 3: Có một bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước. Người ta cho ba khối nón giống nhau có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân vào bể sao cho ba đường tròn đáy của ba khối nón tiếp xúc với nhau, một khối nón có đường tròn đáy chỉ tiếp xúc với một cạnh của đáy bể và hai khối nón còn lại có đường tròn đáy tiếp xúc với hai cạnh của đáy bể. Sau đó người ta đặt lên đỉnh của ba khối nón một khối cầu có bán kính bằng $\frac{4}{3}$ lần bán kính đáy của khối nón. Biết khối cầu vừa đủ ngập trong nước và lượng nước trào ra là $\frac{337\pi }{3}\left( c{{m}^{3}} \right).$ Tính thể tích nước ban đầu ở trong bể. A. $\approx 885,2\left( c{{m}^{3}} \right).$ B. $\approx 1209,2\left( c{{m}^{3}} \right).$ C. $\approx 1106,2\left( c{{m}^{3}} \right).$              D. $\approx 1174,2\left( c{{m}^{3}} \right).$

Lời giải chi tiết

Gọi r là nửa đường kính đáy của hình nón suy ra chiều cao nón là h = r ( do thiết diện là tam giác vuông cân ). Chiều dài của khối hộp là b = 4 r ; nửa đường kính của khối cầu là $ R = \ frac { 4 } { 3 } r. $
Thể tích nước bị tràn là USD 3. \ frac { 1 } { 3 } \ pi { { r } ^ { 2 } } h + \ frac { 4 } { 3 } \ pi { { R } ^ { 3 } } = \ frac { 337 \ pi } { 3 } \ Rightarrow r = 3 \ left ( cm \ right ). $
Gọi A, B, C là tâm của 3 đáy của khối nón suy ra ΔABC đều cạnh USD 2 r = { { R } _ { ABC } } = \ frac { 2 r } { \ sqrt { 3 } } $
Chiều rộng khối hộp là USD a = 2 r + \ frac { 2 r \ sqrt { 3 } } { 2 } = r \ left ( 2 + \ sqrt { 3 } \ right ) USD
3 đỉnh nón chạm mặt cầu tại những điểm USD M, N, P \ Rightarrow \ Delta MNP = \ Delta ABC USD
USD d \ left ( I ; \ left ( MNP \ right ) \ right ) = \ sqrt { { { R } ^ { 2 } } – R_ { \ left ( ABC \ right ) } ^ { 2 } } $ ( với I là tâm mặt cầu ) do đó USD d \ left ( I ; \ left ( MNP \ right ) \ right ) = \ frac { 2 } { 3 } r USD
Suy ra chiều cao của khối trụ là USD c = R + \ frac { 2 } { 3 } r + r = 3 \ text { r } $

Thể tích nước ban đầu là $abc=12\left( 2+\sqrt{3} \right){{r}^{3}}=1209,2\left( c{{m}^{3}} \right).$ Chọn B.

Bài tập 4: Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo hình vẽ. Hộp có đáy là một hình vuông cạnh x (cm), chiều cao h (cm) và thể tích 500 cm3. Tính độ dài cạnh hình vuông x sao cho chiếc hộp làm ra tốn ít bìa các tông nhất. A. $x=5\text{ cm}.$ B. $x=10\text{ cm}.$ C. $x=2\text{ cm}.$ D. $x=3\text{ cm}.$

Lời giải chi tiết

Theo giả thiết ta có thể tích chiếc hộp là USD V = { { x } ^ { 2 } } h = 500 \ Rightarrow h = \ frac { 500 } { { { x } ^ { 2 } } } $
Diện tích những mảnh cát tông là USD f \ left ( x \ right ) = { { x } ^ { 2 } } + 4 hx = { { x } ^ { 2 } } + \ frac { 2000 } { x } $
Xét hàm số USD f \ left ( x \ right ) = { { x } ^ { 2 } } + \ frac { 2000 } { x } \ left ( x > 0 \ right ) USD ta có : $ { f } ‘ \ left ( x \ right ) = 2 x – \ frac { 2000 } { { { x } ^ { 2 } } } = 0 \ Leftrightarrow x = 10 USD

Từ đó ta có: $f\left( x \right)$ nhỏ nhất khi x = 10 cm. Chọn B.

Bài tập 5: Một cơ sở sản xuất kem chuẩn bị làm 1000 chiếc kem giống nhau theo đơn đặt hàng. Cốc đựng kem có dạng hình tròn xoay được tạo thành khi quay hình thang ABCD vuông tại A và D xung quanh trục AD (xem hình vẽ). Chiếc cốc có bề dày không đáng kể, chiều cao 7,2 cm, đường kính miệng cốc bằng 6,4 cm, đường kính đáy cốc bằng 1,6 cm. Kem được đổ đầy cốc và dư ra phía ngoài một lượng có dạng nửa hình cầu, có bán kính bằng bán kính miệng cốc. Cơ sở đó cần dùng lượng kem gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau? A. 132 dm3. B. 293 dm3 C. 954 dm5. D. 170 dm3.

Lời giải chi tiết

Thế tích của một chiếc kem cần tính gồm có
Thể tích của hình nón cụt có nửa đường kính đáy lớn USD { { R } _ { 1 } } = 3,2 \ text { cm } $, nửa đường kính đáy nhỏ $ { { r } _ { 1 } } = 0,8 \ text { cm } $ và
chiều cao USD h = 7,2 \ text { cm } \ text {. } $
Thể tích của nửa khối cầu có nửa đường kính R = 3,7 cm .
Suy ra $ V = \ frac { 1 } { 3 } \ pi h \ left ( R_ { 1 } ^ { 2 } + { { R } _ { 1 } } { { r } _ { 1 } } + r_ { 1 } ^ { 2 } \ right ) + \ frac { 1 } { 2 } \ left ( \ frac { 4 } { 3 } \ pi { { R } ^ { 3 } } \ right ) \ approx 170 \ text { c } { { \ text { m } } ^ { 3 } }. $

Vậy thể tích của 1000 chiếc kem là 170.103 cm3 = 170 dm3. Chọn D.

Bài tập 6: Một xưởng sản xuất muốn tạo ra những chiếc đồng hồ cát bằng thủy tinh có dạng hình trụ, phần chứa cát là hai nửa hình cầu bằng nhau. Hình vẽ bên với các kích thước đã cho là bản thiết kế thiết diện qua trục của chiếc đồng hồ này (phần không tô màu làm bằng thủy tinh). Khi đó, lượng thủy tinh làm chiếc đồng hồ cát gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau? A. 711,6 cm3. B. 1070,8 cm3. C. 602,2 cm3. D. 6021,3 cm3.

Lời giải chi tiết

Thể tích của hình tròn trụ là USD { { V } _ { 1 } } = \ pi { { r } ^ { 2 } } h = \ pi. 6, { { 6 } ^ { 2 } }. 13,2 = 1806,39 \ text { c } { { \ text { m } } ^ { 3 } }. $
Thể tích hình cầu chứa cát là USD { { V } _ { 2 } } = \ frac { 4 } { 3 } \ pi { { R } ^ { 3 } } = \ frac { 4 } { 3 } \ pi { { \ left ( \ frac { 13,2 – 2 } { 2 } \ right ) } ^ { 3 } } = 735,62 \ text { c } { { \ text { m } } ^ { 3 } }. $

Vậy lượng thủy tinh cần phải làm là $V={{V}_{1}}-{{V}_{2}}=1070,77\text{ c}{{\text{m}}^{3}}.$ Chọn B.

Bài tập 7: Một chiếc cốc hình trụ có đường kính đáy 6 cm, chiều cao 15 cm chứa đầy nước. Nghiêng cốc cho nước chảy từ từ ra ngoài đến khi mép nước ngang với đường kính của đáy cốc. Khi đó diện tích của bề mặt nước trong cốc bằng A. $\frac{9\sqrt{26}}{10}\pi \left( \text{c}{{\text{m}}^{2}} \right).$ B. $9\sqrt{26}\pi \left( \text{c}{{\text{m}}^{2}} \right).$ C. $\frac{9\sqrt{26}}{2}\pi \left( \text{c}{{\text{m}}^{2}} \right).$ D. $\frac{9\sqrt{26}}{5}\pi \left( \text{c}{{\text{m}}^{2}} \right).$

Lời giải chi tiết

Chọn hệ trục như hình vẽ và cắt mặt nước theo thiết diện là tam giác vuông ABM. Hình chiếu vuông góc của mặt phẳng thiết diện xuống đáy là nửa đường tròn đường kính AB .
Theo công thức về hình chiếu ta có : $ S \ cos \ varphi = \ frac { 1 } { 2 } { { S } _ { \ left ( C \ right ) } } = \ frac { 1 } { 2 }. \ pi { { R } ^ { 2 } } = \ frac { 9 } { 2 } \ pi USD
trong đó $ \ varphi = \ widehat { \ left ( MAB \ right ) ; \ left ( NAB \ right ) } $

Lại có: $\cos \varphi =\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{h}^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{26}}.$ Vậy $S=\frac{9\pi \sqrt{26}}{2}.$ Chọn C.

Bài tập 8: Người ta thả một viên billiards snooker có dạnh hình cầu với bán kính nhỏ hơn 4,5cm vào một chiếc cốc hình trụ đang chứa nước thì viên billiards đó tiếp xúc với đáy cốc và tiếp xúc với mặt mrớc sau khi dâng (tham kháo hình vẽ bên). Biết rằng bán kính của phần trong đáy cốc bằng 5,4 cm và chiều cao của mực nước ban đầu trong cốc bằng 4,5 cm. Bán kính của viên billiards đó bằng A. 4,2 cm. B. 3,6 cm. C. 2,6 cm. D. 2,7 cm.

Lời giải chi tiết

Thể tích mực nước khởi đầu là : USD { { V } _ { 1 } } = \ pi r_ { 1 } ^ { 2 } { { h } _ { 1 } } = \ pi. 5, { { 4 } ^ { 2 } }. 4,5. $
Gọi R là nửa đường kính của viên bi ta có tổng thể tích của nước và bi sau khi thả viên bi vào trong cốc là : USD V = \ pi r_ { 1 } ^ { 2 }. \ left ( 2 \ text { R } \ right ) = \ pi. 5, { { 4 } ^ { 2 } }. 2 \ text { R } $
Thể tích của quả cầu là : USD { { V } _ { \ left ( C \ right ) } } = \ frac { 4 } { 3 } \ pi { { R } ^ { 3 } }. $
Ta có : USD V = { { V } _ { 1 } } + { { V } _ { 2 } } \ Leftrightarrow 5, { { 4 } ^ { 2 } }. 4,5 + \ frac { 4 } { 3 } { { R } ^ { 3 } } = 5, { { 4 } ^ { 2 } }. 2R $

Giải phương trình trên với điều kiện $R<4,5\Rightarrow R=2,7cm.$ Chọn D.

Bài tập 9: Một tấm kẽm hình vuông ABCD có cạnh bằng 30 cm. Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh EF và GH cho đến khi AD và BC trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Giá trị của x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất là: A. $x=5cm.$ B. $x=9cm.$ C. $x=8cm.$ D. $x=10cm.$

Lời giải chi tiết

Thể tích khối lăng trụ được tạo thành là USD V = { { S } _ { FDH } }. AD. $
Thể tích đạt giá trị lớn nhất khi SNAD lớn nhất .
Theo hệ thức Hê-rông ta có : USD { { S } _ { NA \ text { D } } } = \ sqrt { p \ left ( p-a \ right ) \ left ( p-b \ right ) \ left ( p-c \ right ) } = \ sqrt { 15. { { \ left ( 15 – x \ right ) } ^ { 2 } }. \ left [ 15 – \ left ( 30-2 x \ right ) \ right ] } $
Suy ra $ S = \ sqrt { 15 { { \ left ( 15 – x \ right ) } ^ { 2 } } \ left ( 2 x – 15 \ right ) }. $ Áp dụng bất đẳng thức USD abc \ le { { \ left ( \ frac { a + b + c } { 3 } \ right ) } ^ { 3 } } $ ta có :
$ \ left ( 15 – x \ right ) \ left ( 15 – x \ right ) \ left ( 2 x – 15 \ right ) \ le { { \ left ( \ frac { 15 – x + 15 – x + 2 x – 15 } { 3 } \ right ) } ^ { 3 } } = 125. $

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow 15-x=2x-15\Leftrightarrow x=10\text{ cm}.$ Chọn D.

Bài tập 10: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh l (m) như hình vẽ dưới đây. Người ta cắt phần tô đậm của tấm nhôm rồi gập thành một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng x (m). Tìm giá trị của x để khối chóp nhận được có thể tích lớn nhất. A. $x=\frac{\sqrt{2}}{4}.$ B. $x=\frac{\sqrt{2}}{3}.$ C. $x=\frac{2\sqrt{2}}{5}.$              D. $x=\frac{1}{2}.$

Lời giải chi tiết

Đặt cạnh bên là y và cạnh đáy của chóp đều là x
Ta có : Độ dài đường cao của mặt bên là : USD a = \ sqrt { { { y } ^ { 2 } } – { { \ left ( \ frac { x } { 2 } \ right ) } ^ { 2 } } } $
Khi đó theo hình 1 ta được : USD 2 a + x = \ sqrt { 2 } \ Leftrightarrow 2 \ sqrt { { { y } ^ { 2 } } – \ frac { { { x } ^ { 2 } } } { 4 } } + x = \ sqrt { 2 } $ ( bằng đường chéo hình vuông vắn ) .
USD \ Rightarrow 4 \ left ( { { y } ^ { 2 } } – \ frac { { { x } ^ { 2 } } } { 4 } \ right ) = { { \ left ( \ sqrt { 2 } – x \ right ) } ^ { 2 } } = { { x } ^ { 2 } } – 2 x \ sqrt { 2 } + 2 \ Rightarrow 4 { { y } ^ { 2 } } = 2 { { x } ^ { 2 } } – 2 x \ sqrt { 2 } + 2. $
Lại có : USD { { V } _ { chop } } = \ frac { 1 } { 3 } h. { { S } _ { \ tilde { n } } } = \ frac { 1 } { 3 } \ sqrt { { { y } ^ { 2 } } – { { \ left ( \ frac { x \ sqrt { 2 } } { 2 } \ right ) } ^ { 2 } } }. { { x } ^ { 2 } } = \ frac { { { x } ^ { 2 } } } { 3 } \ sqrt { \ frac { 1 – x \ sqrt { 2 } } { 2 } } = \ frac { { { x } ^ { 2 } } } { 3 \ sqrt { 2 } } \ sqrt { 1 – x \ sqrt { 2 } } $
Xét hàm USD f \ left ( x \ right ) = { { x } ^ { 4 } } \ left ( 1 – x \ sqrt { 2 } \ right ) USD trên $ \ left ( 0 ; \ frac { 1 } { \ sqrt { 2 } } \ right ) USD ta có : $ { f } ‘ \ left ( x \ right ) = 5 { { x } ^ { 4 } } \ sqrt { 2 } – 4 { { x } ^ { 3 } } = 0 \ Rightarrow x = \ frac { 2 \ sqrt { 2 } } { 5 }. $

Từ đó suy ra Vmax đạt được khi $x=\frac{2\sqrt{2}}{5}.$ Chọn C.

Bài tập 11: Một người xây nhà xưởng hình hộp chữ nhật có diện tích mặt sàn là 1152 m2 và chiều cao cố định. Người đó xây các bức tường xung quanh và bên trong để ngăn nhà xưởng thành ba phòng hình chữ nhật có kích thước như nhau (không kể trần nhà). Vậy cần phải xây các phòng theo kích thước nào để tiết kiệm chi phí nhất (bỏ qua độ dày của các bức tường). A. $16\text{ }\times \text{ }24\text{ }m.$ B. $8\text{ }\times \text{ }48\text{ }m.$ C. $12\text{ }\times \text{ }32\text{ }m.$              D. $24\text{ }\times \text{ }32\text{ }m.$

Lời giải chi tiết

Gọi h là chiều cao cố định và thắt chặt của nhà xưởng. Và a, b lần lượt là chiều dài, chiều rộng của mặt sàn .
Xét một phòng sau khi bị ngăn bởi tường, khi đó phòng là một hình chữ nhật có “ chiều cao h, size hai cạnh đáy là $ \ frac { a } { 3 }, b USD ” => diện tích quy hoạnh xây xưởng là
USD S = 6. \ frac { a } { 3 }. b + 6. \ frac { a } { 3 }. h + 4. b. h = 2 \ text { a } b + 2 h \ left ( a + 2 b \ right ). $
Mà USD ab = 1152 \ Leftrightarrow b = \ frac { 1152 } { a } $ nên suy ra USD a + 2 b = a + \ frac { 2304 } { a } \ ge 2 \ sqrt { a. \ frac { 2304 } { a } } = 96. $
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi USD a = \ frac { 2304 } { a } \ Leftrightarrow a = 48. $ Do đó USD { { S } _ { \ min } } = 192 h + 2304. $

Vậy cần xây các phòng theo kích thước $\frac{a}{3}\times b=16\times 24\text{ }m$ thì chi phí sẽ thấp nhất. Chọn A.

Bài tập 12: Cắt ba góc của một tam giác đều cạnh a các đoạn bằng $x,\left( 0

A. $x=\frac{a}{3}.$ B. $x=\frac{a}{4}.$ C. $x=\frac{a}{5}.$ D. $x=\frac{a}{6}.$

Lời giải chi tiết

Xét ΔAMI như hình vẽ, đặt $ AM = x > 0, \ widehat { MAI } = { { 30 } ^ { 0 } } \ Rightarrow MI = \ frac { x } { \ sqrt { 3 } } $
Lăng trụ tạo thành là lăng trụ tam giác đều cạnh đáy

$a-2x,\left( 0
Chiều cao là : USD h = \ frac { x } { \ sqrt { 3 } } $ do đó thể tích khối lăng trụ là :
USD V = \ frac { { { \ left ( a-2x \ right ) } ^ { 2 } } \ sqrt { 3 } } { 4 }. \ frac { x } { \ sqrt { 3 } } = \ frac { { { a } ^ { 2 } } x-4a { { x } ^ { 2 } } + 4 { { x } ^ { 3 } } } { 4 } $

Ta chọn $a=1.$ Xét $f\left( x \right)=x-4{{x}^{2}}+4{{x}^{3}}\left( 0

Lại có: $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to \frac{1}{2}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0;f\left( \frac{1}{6} \right)=\frac{2}{27}$ nên $\underset{\left( 0;\frac{1}{2} \right)}{\mathop{Max}}\,f\left( x \right)=\frac{2}{27}\text{  khi }x=\frac{1}{6}=\frac{a}{6}.$ Chọn D.

Lời giải chi tiết

Đặt $ \ alpha = \ widehat { ACx } $ khi đó $ AC = \ frac { 2 } { \ cos \ alpha } ; \ widehat { BCy } = { { 90 } ^ { \ circ } } – \ alpha USD
Do đó $ BC = \ frac { 1 } { \ cos \ left ( { { 90 } ^ { \ circ } } – \ alpha \ right ) } \ Rightarrow AB = \ frac { 2 } { \ cos \ alpha } + \ frac { 1 } { \ sin \ alpha } \ left ( \ alpha \ in \ left ( 0 ; { { 90 } ^ { \ circ } } \ right ) \ right ) USD
Ta có : USD A { B } ‘ = \ frac { 2 \ sin \ alpha } { { { \ cos } ^ { 2 } } \ alpha } – \ frac { \ cos \ alpha } { { { \ sin } ^ { 2 } } \ alpha } = 0 \ Leftrightarrow 2 { { \ sin } ^ { 3 } } \ alpha = { { \ cos } ^ { 3 } } \ alpha USD

$\Leftrightarrow \tan \alpha =\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\Rightarrow T=A{{B}_{\min }}.400000\approx 1665000.$ Chọn D.

Lời giải chi tiết

Xét khối trụ nội tiếp khối cầu. Gọi h và r là độ cao và nửa đường kính đáy của hình tròn trụ đã cho
Khi đó ta có : $ { { r } ^ { 2 } } = { { R } ^ { 2 } } – { { \ left ( \ frac { h } { 2 } \ right ) } ^ { 2 } } $ trong đó USD h \ in \ left ( 0 ; 2R \ right ). $
Thể tích khối trụ là $ V = \ pi { { r } ^ { 2 } } h = \ frac { \ pi } { 4 } \ left ( 4 { { R } ^ { 2 } } – { { h } ^ { 2 } } \ right ). h. $
Lại có USD { V } ‘ = \ frac { \ pi } { 4 } \ left ( 4 { { R } ^ { 2 } } – 3 { { h } ^ { 2 } } \ right ) = 0 \ Rightarrow h = \ frac { 2R } { \ sqrt { 3 } }. $
Khi đó USD { { V } _ { ma \ text { x } } } = \ frac { 4 \ pi \ sqrt { 3 } { { R } ^ { 3 } } } { 9 }. $
Do khối trụ chỉ nằm trong nửa hộp kem nên USD { { V } _ { ma \ text { x } } } = \ frac { 2 \ pi \ sqrt { 3 } { { R } ^ { 3 } } } { 9 } = 54 \ pi. $ Chọn B .

Lời giải

Gọi V là thể tích của phễu. Khi đó thể tích nước trong bình là USD { { V } _ { 1 } } \ Rightarrow \ frac { { { V } _ { 1 } } } { V } = { { \ left ( \ frac { { { h } _ { 1 } } } { h } \ right ) } ^ { 3 } } = \ frac { 1 } { 27 } $ và thể tích phần không chứa nước là USD { { V } _ { 2 } } = \ frac { 26V } { 27 }. $ Ta có : USD V = \ frac { 1 } { 3 } \ pi { { R } ^ { 2 } } h ; \ frac { { { V } _ { 2 } } } { V } = { { \ left ( \ frac { { { h } _ { 2 } } } { h } \ right ) } ^ { 3 } } $ ( với h2 là chiều cao cần tính )
Suy ra $ \ frac { 26 } { 27 } = { { \ left ( \ frac { { { h } _ { 2 } } } { h } \ right ) } ^ { 3 } } \ Rightarrow { { h } _ { 2 } } =. h \ sqrt [ 3 ] { \ frac { 26 } { 27 } } \ Rightarrow { { h } _ { ct } } = h – { { h } _ { 2 } } \ approx 0,188 \ left ( cm \ right ) USD ( với hct là chiều cao cần tìm ) .

Chọn D.

Lời giải

Mặt đáy của máng xối nước thang cân có đáy lớn là x đáy bé là 0,3 m
Cạnh bên của hình thang là 0,3 m suy ra chiều cao của hình thang là USD h = \ sqrt { 0, { { 3 } ^ { 2 } } – { { \ left ( \ frac { x-0, 3 } { 2 } \ right ) } ^ { 2 } } } $

Khi đó USD { { S } _ { ht } } = \ frac { 0,3 + x } { 2 }. h = \ frac { x + 0,3 } { 2 }. \ sqrt { 0, { { 3 } ^ { 2 } } – { { \ left ( \ frac { x-0, 3 } { 2 } \ right ) } ^ { 2 } } } = f \ left ( x \ right ) \ left ( x > 0,3 \ right ) USD
Đến đây tất cả chúng ta hoàn toàn có thể xét hàm USD f \ left ( x \ right ) USD hoặc thay những giá trị x đề bài đã cho ta được
USD f \ left ( 0,5 \ right ) = \ frac { 2 \ sqrt { 2 } } { 25 } ; f \ left ( 0,4 \ right ) \ approx 0,105 ; f \ left ( 0,6 \ right ) \ approx 0,117 ; f \ left ( 0,65 \ right ) \ approx 0,1158. $

Do đó ta thấy ${{f}_{\max }}=f\left( 0,6 \right).$ Chọn C.

Lời giải

Gọi V1; V2 lần lượt là lượng nước còn lại sau lần thoát nước thứ nhất và thứ hai, V là thể tích nước ban đầu.

Sau lần thoát nước thứ nhất còn lại : USD { { V } _ { 1 } } = \ frac { 2V } { 3 } \ Rightarrow \ frac { { { V } _ { 1 } } } { V } = \ frac { 2 } { 3 } = { { \ left ( \ frac { SM } { SA } \ right ) } ^ { 3 } }. $ Do đó $ SM = 27 \ sqrt [ 3 ] { \ frac { 2 } { 3 } }. $
Sau lần thoát nước thứ hai còn lại $ { { V } _ { 2 } } = \ frac { V } { 3 } \ Rightarrow \ frac { { { V } _ { 2 } } } { V } = \ frac { 1 } { 3 } = { { \ left ( \ frac { SN } { SA } \ right ) } ^ { 3 } } \ Rightarrow SN = 9 \ sqrt [ 3 ] { 9 }. $

Vậy $MN=SM-SN=9\sqrt[3]{9}\left( \sqrt[3]{2}-1 \right).$ Chọn C.

Lời giải

Gọi h là chiều cao của chóp tứ giác, V là thể tích của chóp ; Vn là thể tích của nước đổ vào chóp .
Ban đầu $ \ frac { { { V } _ { n } } } { V } = { { \ left ( \ frac { { { h } _ { 1 } } } { h } \ right ) } ^ { 3 } } ; USD sau khi lật ngược phễu ta có : $ \ frac { V – { { V } _ { n } } } { V } = { { \ left ( \ frac { h – { { h } _ { 2 } } } { h } \ right ) } ^ { 3 } } $ với $ { { h } _ { 1 } } = 2 \ sqrt [ 3 ] { 98 } ; { { h } _ { 2 } } = 4 USD
Cộng vế theo vế ta được USD 1 = \ frac { 784 } { { { h } ^ { 3 } } } + \ frac { { { \ left ( h-4 \ right ) } ^ { 3 } } } { { { h } ^ { 3 } } } \ Rightarrow h = 10 cm. $ Chọn C .

Lời giải

Thế tích của Kim tự tháp không kể những lối đi và phòng bên trong của kim tự tháp là :
USD { { V } _ { 1 } } = \ frac { 1 } { 3 } { {. 144.230 } ^ { 2 } } = 2539200 \ left ( { { m } ^ { 3 } } \ right ). $
Thể tích của Kim tự tháp kể cả những lối đi và phòng bên trong của kim tự tháp là :
$ \ left ( 100 \ % – 30 \ % \ right ). 2539200 = 1777440 \ left ( { { m } ^ { 3 } } \ right ). $
Gọi n là số lần luân chuyển đá cho việc thiết kế xây dựng kim tự tháp, ta có :

$n.10.6000:2,{{5.10}^{3}}=1777440\Leftrightarrow n=74060$ (lần). Chọn C.

Lời giải

Chu vi đáy của lăn trụ là : USD C = 2 \ pi R = 5 \ pi \ left ( cm \ right ) USD
Khi lăn trọn 15 vòng thì tạo nên sân phẳng có chiều dài là : USD 15. C = 15.5 \ pi = 75 \ pi \ left ( cm \ right ) USD

Diện tích của sân phẳng là: $S=75\pi .23=1725\pi \left( c{{m}^{2}} \right).$ Chọn D.

Lời giải

Đường tròn nội tiếp hình chữ nhật  hình chữ nhật là hình vuông vắn cạnh 2R .
Thể tích của hình hộp chữ nhật là USD { { V } _ { h. h } } = S.h = 20. { { \ left ( 2R \ right ) } ^ { 2 } } = 80 { { R } ^ { 2 } } c { { m } ^ { 3 } } \ text { } \ left ( 1 \ right ). $

Công thức tính nhanh khối tròn xoay                khối trụ cụt có bán kính R.

Diện tích xung quanh của khối trụ cụt là USD { { S } _ { xq } } = \ pi R \ left ( { { h } _ { 1 } } + { { h } _ { 2 } } \ right ). $
Thể tích của khối trụ cụt là $ V = \ pi { { R } ^ { 2 } } \ left ( \ frac { { { h } _ { 1 } } + { { h } _ { 2 } } } { 2 } \ right ). $
Với bài toán trên, khúc gỗ là một khối trụ cụt có chiều cao
USD \ left \ { \ begin { array } { } { { h } _ { 1 } } = 12 \ text { } cm \ \ { } { { h } _ { 2 } } = 20 \ text { } cm \ \ \ end { array } \ right .. $
Thể tích của khúc gỗ là USD { { V } _ { g } } = \ pi { { R } ^ { 2 } } \ left ( \ frac { { { h } _ { 1 } } + { { h } _ { 2 } } } { 2 } \ right ) = 16. \ pi { { R } ^ { 2 } } \ text { } c { { m } ^ { 3 } } \ text { } \ left ( 2 \ right ). $
Vì đặt khúc gỗ vào trong hình hộp thì lượng nước còn lại chính bằng USD { { V } _ { h. h } } – { { V } _ { g } } = 2000 \ text { } c { { m } ^ { 3 } } \ text { } \ left ( 3 \ right ) USD

Từ (1), (2) và (3) suy ra $80{{R}^{2}}-16\pi {{R}^{2}}=2000\Leftrightarrow R=\sqrt{\frac{2000}{80-16\pi }}\approx 8,2\text{ }cm.$Chọn A.

Lời giải

Gọi x là độ dài cạnh hình vuông vắn bị cắt. Khi đó, thể tích khối hộp là $ V = x \ left ( 30-2 x \ right ) \ left ( 48-2 x \ right ). $
Xét hàm số USD f \ left ( x \ right ) = x \ left ( 30-2 x \ right ) \ left ( 48-2 x \ right ). $ với USD x \ in \ left ( 0 ; 15 \ right ). $ Ta có $ { f } ‘ \ left ( x \ right ) = 12 \ left ( { { x } ^ { 2 } } – 26 x + 120 \ right ). $

Phương trình ${f}’\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 0

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra $f\left( x \right)$ đạt giá trị lớn nhất bằng $f\left( 6 \right)=3888\Rightarrow {{V}_{\max }}=3888c{{m}^{3}}.$ Chọn D.

Lời giải

Gọi chiều rộng của hình chữ nhật đáy bể là x ( m ) suy ra chiều dài của hình chữ nhật là 2 x ( m ) .
Gọi h là chiều cao của bể nên ta có USD V = S.h = 2 { { x } ^ { 2 } }. h = \ frac { 500 } { 3 } \ Rightarrow { { x } ^ { 2 } }. h = \ frac { 250 } { 3 } \ Leftrightarrow h = \ frac { 250 } { 3 { { x } ^ { 2 } } } $
Diện tích của bể là USD S = 2. h. x + 2.2 h. x + 2 { { x } ^ { 2 } } = 2 { { x } ^ { 2 } } + 6.hx = 2 { { x } ^ { 2 } } + 6. \ frac { 250 } { 3 { { x } ^ { 2 } } }. x = 2 { { x } ^ { 2 } } + \ frac { 500 } { x }. $
Áp dụng bất đẳng thức $ AM-GM, $ ta có USD 2 { { x } ^ { 2 } } + \ frac { 500 } { x } = 2 { { x } ^ { 2 } } + \ frac { 250 } { x } + \ frac { 250 } { x } \ ge 3 \ sqrt [ 3 ] { 2 { { x } ^ { 2 } }. \ frac { 250 } { x }. \ frac { 250 } { x } } = 150. $

Dấu = xảy ra khi $2{{x}^{2}}=\frac{250}{x}\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{125}\Rightarrow $ chi phí thấp nhất thuê nhân công là $150.\frac{1}{2}=75$triệu đồng. Chọn B.

Lời giải

Gọi r và h lần lượt là nửa đường kính đáy và chiều cao của 1 thùng sơn .
Suy ra dung tích thùng sơn là $ V = \ pi { { r } ^ { 2 } } h = 0,005 \ left ( { { m } ^ { 3 } } \ right ) USD
Diện tích xung quanh của thùng là USD { { S } _ { xq } } = 2 \ pi rh, USD diện tích quy hoạnh 2 đáy là USD { { S } _ { d } } = 2 \ pi { { r } ^ { 2 } } $
giá thành là $ T = 2 \ pi rh. 100 + 2 \ pi { { r } ^ { 2 } }. 120 $ ta sẽ tìm Tmin khi đó USD T = 40 \ pi { { \ left ( 5 rh + 6 { { r } ^ { 2 } } \ right ) } _ { \ min } } \ Leftrightarrow F = 5 rh + 6 { { r } ^ { 2 } } $ nhỏ nhất
Ta có USD F = 5. \ frac { 0,005 } { \ pi r } + 6 { { r } ^ { 2 } } = \ frac { 1 } { 80 \ pi r } + \ frac { 1 } { 80 \ pi r } + 6 { { r } ^ { 2 } } \ ge 3. \ sqrt [ 3 ] { \ frac { 1 } { 80 \ pi r }. \ frac { 1 } { 80 \ pi r }. 6 { { r } ^ { 2 } } } = 3. \ sqrt [ 3 ] { \ frac { 3 } { 3200 { { \ pi } ^ { 2 } } } } $
giá thành tối thiểu thì sẽ sản xuất được nhiều thùng nhất

Khi đó số thùng tối đa sản xuất được là: $n=\frac{1.000.000}{{{T}_{\min }}}=58135$thùng. Chọn D.

Lời giải

Gọi cạnh đáy của hình hộp chữ nhật là x và chiều cao là y
Ta có : USD V = { { x } ^ { 2 } } y = 2,16 \ text { } { { m } ^ { 3 } }, { { S } _ { d } } = { { x } ^ { 2 } } ; { { S } _ { xq } } = 4 xy USD
Khi đó USD T = 90 { { x } ^ { 2 } } + 36. \ left ( 4 xy \ right ) = 90 { { x } ^ { 2 } } + \ frac { 311,04 } { x } = 90 { { x } ^ { 2 } } + \ frac { 155,52 } { x } + \ frac { 155,52 } { x } \ ge 3. \ sqrt [ 3 ] { 90.155, { { 52 } ^ { 2 } } } = 388,8 $

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow 90{{x}^{2}}=\frac{155,52}{x}\Leftrightarrow x=\frac{6}{5}=1,2;y=1,5.$ Chọn B.

Lời giải

Gọi nửa đường kính đáy là R, chiều cao là h. Mặt khác : USD V = \ pi { { R } ^ { 2 } } h = 150 \ Rightarrow h = \ frac { 150 } { \ pi { { R } ^ { 2 } } } $
Diện tích đáy là : $ \ pi { { R } ^ { 2 } } \ Rightarrow $ Chi tiêu làm đáy là : USD 10 \ pi { { R } ^ { 2 } } $ ( chục nghìn đồng )
Diên tích thân là : USD 2 \ pi Rh = 2 \ pi R. \ frac { 150 } { \ pi { { R } ^ { 2 } } } = \ frac { 300 } { R } \ Rightarrow $ Chi tiêu làm thân là : USD 9. \ frac { 300 } { R } = \ frac { 2700 } { R } $
Diện tích nắp là : $ \ pi { { R } ^ { 2 } } \ Rightarrow $ giá thành làm nắp là USD 12 \ pi { { R } ^ { 2 } } $

Chi phí sản xuất bể là: $10\pi {{R}^{2}}+\frac{2700}{R}+12\pi {{R}^{2}}=22\pi {{R}^{2}}+\frac{2700}{R}$ (đồng)

Ta có : USD 22 \ pi { { R } ^ { 2 } } + \ frac { 2700 } { R } = \ left ( 22 \ pi { { R } ^ { 2 } } + \ frac { 2700 } { R } \ right ) = \ left ( 22 \ pi { { R } ^ { 2 } } + \ frac { 1350 } { R } + \ frac { 1350 } { R } \ right ) USD
USD \ ge 3. \ sqrt [ 3 ] { 22 \ pi { { R } ^ { 2 } }. \ frac { 1350 } { R }. \ frac { 1350 } { R } } = 3 \ sqrt [ 3 ] { 22 \ pi { {. 1350 } ^ { 2 } } } $

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow 22\pi {{R}^{2}}=\frac{1350}{R}\Leftrightarrow {{R}^{3}}=\frac{675}{11\pi }\Rightarrow \frac{h}{R}=\frac{150}{\pi {{R}^{3}}}=\frac{22}{9}.$ Chọn A.