Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian: Lý Thuyết Và Bài Tập

Bài tập phương trình đường thẳng trong không gian là phần kỹ năng và kiến thức quan trọng nằm trong chương trình toán hình lớp 12 và liên tục Open trong đề thi trung học phổ thông Quốc Gia. Bài viết dưới đây của VUIHOC sẽ giúp những em ôn tập kỹ năng và kiến thức và những dạng bài tập kèm hướng dẫn giải chi tiết cụ thể .

1. Lý thuyết phương trình đường thẳng trong không gian

1.1. Phương trình tham số của đường thẳng trong không gian

Đường thẳng d đi qua $ M_ { 0 } ( x_ { 0 } ; y_ { 0 } ; z_ { 0 } ) USD và vectơ chỉ phương $ \ overrightarrow { u } = ( a ; b ; c ) USD
Phương trình tham số d :

$x = x_{0} + at$

USD y = y_ { 0 } + bt USD
USD z = z_ { 0 } + ct USD
USD ( t \ epsilon R ) USD

1.2. Phương trình chính tắc của đường thẳng trong không gian

Đường thẳng d đi qua $ M_ { 0 } ( x_ { 0 } ; y_ { 0 } ; z_ { 0 } ) USD và vectơ chỉ phương $ \ overrightarrow { u } = ( a ; b ; c ) USD
Phương trình chính tắc của d : $ \ frac { x – x_ { 0 } } { a } = \ frac { y – y_ { 0 } } { b } = \ frac { z – z_ { 0 } } { c } ( abc \ neq 0 ) USD

1.3. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng

Trong không gian cho 2 đường thẳng 1 đi qua USD M_ { 1 } $ và có một vecto chỉ phương $ \ overrightarrow { u } USD. Khi đó vị trí tương đối USD \ Delta_ { 1 } $ và $ \ Delta_ { 2 } $ được xác lập như sau :

1.4. Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng

Đường thẳng d đi qua $ M_ { 0 } ( x_ { 0 } ; y_ { 0 } ; z_ { 0 } ) USD và có vectơ chỉ phương $ \ overrightarrow { u } = ( a ; b ; c ) USD và mặt phẳng ( P ) : USD Ax + By + Cz + D = 0 $ có vecto pháp tuyến $ \ overrightarrow { u } = ( A ; B ; C ) USD. Khi đó :

1.5. Góc giữa 2 đường thẳng

Trong không gian cho 2 đường thẳng USD \ Delta_ { 1 } $ có một vecto chỉ phương $ \ overrightarrow { u_ { 1 } } = ( a_ { 1 } ; b_ { 1 } ; c_ { 1 } ) USD khi đó :

>> Xem thêm: Góc giữa 2 mặt phẳng: Định nghĩa, cách xác định và bài tập

1.6. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian cho đường thẳng $ \ Delta $ có vecto chỉ phương $ \ overrightarrow { u_ { 1 } } = ( a ; b ; c ) USD mặt phẳng ( P ) có vecto chỉ phương $ \ overrightarrow { n } = ( A ; B ; C ) USD. Khi đó :

>> Xem thêm: Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

1.7. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng

Cho điểm M cùng đường thẳng $ \ Delta $ đi qua N có vectơ $ \ overrightarrow { u } USD. Khi đó khoảng cách từ điểm M đến $ \ Delta $ xác lập bởi công thức .

1.8. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Cách 1:

Trong không gian cho đường thẳng USD \ Delta_ { 1 } $ đi qua USD M_ { 1 } $ có vecto chỉ phương $ \ overrightarrow { u_ { 1 } }. \ Delta_ { 2 } $ đi qua $ M_ { 2 } $ có vecto chỉ phương $ \ overrightarrow { u_ { 2 } } USD. Khi đó :

Cách 2:

Gọi AB là đoạn thẳng vuông góc USD \ Delta_ { 1 }, \ Delta_ { 2 } $ với $ A \ epsilon \ Delta_ { 1 }, B \ epsilon \ Delta_ { 2 } $
USD \ Rightarrow \ overrightarrow { AB } \ ,. \, \ overrightarrow { u_ { 1 } } = 0 USD hoặc $ \ Rightarrow \ overrightarrow { AB } \ ,. \, \ overrightarrow { u_ { 2 } } = 0 USD
USD \ Rightarrow d ( \ Delta_ { 1 }, \ Delta_ { 2 } ) = AB $

2. Các dạng bài tập về viết phương trình đường thẳng trong không gian và cách giải

2.1. Dạng 1 : Viết phương trình đường thẳng bằng cách xác lập vectơ chỉ phương

Ví dụ 1: Với tọa độ Oxyz trong không gian cho đường thẳng

d : $ \ frac { x + 1 } { 2 } = \ frac { y – 1 } { 1 } = \ frac { z – 2 } { 3 } $ và mặt phẳng P : USD x-y-z-1 = 0 USD. Viết phương trình đường thẳng $ \ Delta $ vuông góc với d, song song với ( P ) và đi qua A ( 1 ; 1 ; – 2 ) .
Giải :
Để tìm được vectơ chỉ phương của $ \ Delta $ ta phải tìm 2 vectơ chỉ phương không cùng phương của nó sau đó tìm tích có hướng của 2 vecto .
Như vậy ta có : $ \ overrightarrow { u_ { \ Delta } } = [ \ overrightarrow { u_ { d } } ; \ overrightarrow { _ { p } } ] = ( 2 ; 5 ; – 3 ) USD
Trong đó : $ \ overrightarrow { u_ { d } } = ( 2 ; 1 ; 3 ) ; \ overrightarrow { _ { p } } = ( 1 ; – 1 ; – 1 ) USD
USD \ Delta $ đi qua A ( 1 ; 1 ; – 2 ) và có vectơ chỉ phương $ \ overrightarrow { u_ { \ Delta } } = ( 2 ; 5 ; – 3 ) USD
USD \ Rightarrow $ Ta có phương trình : USD \ Delta : \ frac { x – 1 } { 2 } = \ frac { y – 1 } { 5 } = \ frac { z + 2 } { – 3 } $

Ví dụ 2: Cho tọa độ Oxyz trong không gian cho đường thẳng

USD \ Delta : \ frac { x – 1 } { 2 } = \ frac { y + 1 } { 1 } = \ frac { z } { – 1 } $ và mặt phẳng P : USD x-y-z-1 = 0 USD. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc và cắt với $ \ Delta $, qua M ( 2 ; 1 ; 0 ) .
Giải :

2.2. Dạng 2 : Viết phương trình đường thẳng tương quan đến một đường thẳng khác

Ví dụ 1: Cho tọa độ Oxyz trong không gian cho đường thẳng  

USD d : \ frac { x + 1 } { 3 } = \ frac { y – 2 } { – 2 } = \ frac { z – 2 } { 2 } $ và $ P : x + 3 y + 2 z + 2 = 0 USD. Viết phương trình của $ \ Delta $ song song với ( P ), cắt đường thẳng ( d ) và đi qua M ( 2 ; 2 ; 4 ) .
Giải :

Ví dụ 2: Cho hệ tọa độ Oxyz trong không gian có đường thẳng $d: \frac{x – 1}{2}=\frac{y + 1}{1}=\frac{z}{-1}$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua A(2; 3; -1) và cắt d tại B sao cho khoảng cách từ B đến $\alpha: x + y + z = 0$ bằng $2\sqrt{3}$.

Giải :
Do $ B \ epsilon d \ Rightarrow $ Tọa độ B ( 1 + t ; 2 + 2 t ; – t )
Do khoảng cách từ B tới $ \ alpha : x + y + z = 0 $ bằng USD 2 \ sqrt { 3 } $ nên :

• Với t = 2 thì B ( 3 ; 6 ; – 2 )

USD \ Delta $ đi qua B ( 3 ; 6 ; – 2 ) và nhận $ \ overrightarrow { AB } ( 1 ; 3 ; – 1 ) USD làm vecto chỉ phương :
USD \ Rightarrow $ Phương trình USD \ Delta : \ frac { x – 3 } { 1 } = \ frac { y – 6 } { 3 } = \ frac { z – 2 } { – 1 } $

• Với t = – 4 thì B ( – 3 ; – 6 ; 4 )

USD \ Delta $ đi qua B ( – 3 ; – 6 ; 4 ) và nhận $ \ overrightarrow { AB } ( – 5 ; – 9 ; 5 ) USD làm vecto chỉ phương :
USD \ Rightarrow $ Phương trình USD \ Delta : \ frac { x + 3 } { – 5 } = \ frac { y + 6 } { 9 } = \ frac { z – 4 } { 5 } $

2.3. Dạng 3 : Viết phương trình đường thẳng tương quan đến hai đường thẳng khác

Ví dụ 1: Cho hệ tọa độ Oxyz trong không gian, viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M(-4; -5; 3) và cắt cả 2 đường thẳng $d_{1}: 2x + 3x + 11 = 0$ hoặc $y – 2z + 7 = 0$ và $d_{2}:  \frac{x – 2}{2}=\frac{y + 1}{3}=\frac{z – 1}{-5}$

Giải :
Viết phương trình đường thẳng :

Ví dụ 2: Cho hệ tọa độ Oxyz trong không gian với 3 đường thẳng có phương trình:

Viết phương trình đường thẳng $ \ Delta $ biết USD \ Delta $ cắt USD d_ { 1 } ; d_ { 2 } ; d_ { 3 } $ lần lượt tại A, B, C để AB = BC .
Giải :
Xét 3 điểm A, B, C lần lượt nằm trên USD d_ { 1 } ; d_ { 2 } ; d_ { 3 } $
Giả sử : A ( t ; 4 – t ; – 1 + 2 t ) ; B ( u ; 3 – 3 u, – 3 u ) và C ( – 1 + 5 v, 1 + 2 v, – 1 + v )
Ta có A, B, C thẳng hàng và BC = AB ⇔ B chính là trung điểm của BC

Tọa độ 3 điểm A ( 1 ; 3 ; 1 ) ; B ( 0 ; 2 ; 0 ) ; C ( – 1 ; 1 ; – 1 )
USD \ Delta $ đi qua B ( 0 ; 2 ; 0 ) và có $ \ overrightarrow { CB } ( 1 ; 1 ; 1 ) USD

2.4. Dạng 4 : Viết phương trình đường thẳng tương quan đến khoảng cách

Ví dụ 1 : Cho tọa độ Oxyz trong không gian, đường thẳng USD d : x = 2 + 4 t ; y = 3 = 2 t $ và USD z = – 3 + t USD. Mặt phẳng USD ( P ) : – x + y + 2 z + 5 = 0 USD. Viết phương trình nằm trong mặt phẳng ( P ) song song và cách d một khoảng chừng bằng $ \ sqrt { 14 } $ .
Giải :

Ví dụ 2: 

Giải:

Trên đây là hàng loạt kiến thức và kỹ năng kim chỉ nan và bài tập về phương trình đường thẳng trong không gian. Hy vọng rằng qua bài viết này những em hoàn toàn có thể tự tin khi làm bài tập phần này. Để học nhiều hơn kỹ năng và kiến thức về toán học lớp 12, truy vấn trang web Vuihoc. vn ngay nhé !

Source: https://vh2.com.vn
Category : Trái Đất