Phương pháp tọa độ trong không gian: Lý thuyết, Bài tập và Ứng dụng

Phương pháp tọa độ trong không gian là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán học 12. Vậy hệ tọa độ không gian là gì? Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian lớp 12 cần ghi nhớ gì? Ứng dụng phương pháp tọa độ trong không gian?… Trong bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề này nhé!

Kiến thức về phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz

Hệ tọa độ trong không gian là gì?

Hệ gồm 3 trục \ ( Ox, Oy, Oz \ ) đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc \ ( Oxyz \ ) trong không gian với :

• \( Ox \) là trục hoành

  Bạn đang đọc: Phương pháp tọa độ trong không gian: Lý thuyết, Bài tập và Ứng dụng

• \ ( Oy \ ) là trục tung
• \ ( Oz \ ) là trục cao

Các đặc thù cần nhớ :

Xem chi tiết tại >>> Hệ tọa độ trong không gian là gì? Công thức và Bài tập ví dụ

Phương trình mặt cầu là gì?

Trong không gian \ ( Oxyz \ ), mặt cầu \ ( ( S ) \ ) tâm \ ( I ( a ; b ; c ) \ ) nửa đường kính \ ( r \ ) có phương trình là :
\ ( ( x-a ) ^ 2 + ( y-b ) ^ 2 + ( z-c ) ^ 2 = r ^ 2 \ )

Phương trình mặt phẳng là gì?

Phương trình của mặt phẳng đi qua điểm \ ( M ( x_0 ; y_0 ; z_0 ) \ ) có véc tơ pháp tuyến \ ( \ overrightarrow { n } ( A ; B ; C ) \ ) là :
\ ( A ( x-x_0 ) + B ( y-y_0 ) + C ( z-z_0 ) = 0 \ )
Từ đó ta có, phương trình tổng quát của mặt phẳng là
\ ( Ax + By + Cz + D = 0 \ ) với \ ( A ; B ; C \ ) không đồng thời bằng \ ( 0 \ )

Phương trình đường thẳng là gì?

Phương trình tham số của đường thẳng \ ( \ Delta \ ) đi qua điểm \ ( M ( x_0 ; y_0 ; z_0 ) \ ) có véc tơ chỉ phương \ ( \ overrightarrow { a } ( a_1 ; a_2 ; a_3 ) \ ) là phương trình có dạng
\ ( \ left \ { \ begin { matrix } x = x_0 + ta_1 \ \ y = y_0 + ta_2 \ \ z = z_0 + ta_3 \ end { matrix } \ right. \ ) với \ ( t \ ) là tham số

Chú ý: Nếu \( a_1;a_2;a_3 \) đều khác \( 0 \) thì ta có dạng phương trình chính tắc của \( \Delta \) :

\ ( \ frac { x-x_0 } { a_1 } = \ frac { y-y_0 } { a_2 } = \ frac { z-z_0 } { a_3 } \ )

Các dạng toán phương pháp tọa độ trong không gian lớp 12

Dạng toán liên quan đến mặt cầu 

Dạng 1: Lập phương trình mặt cầu dạng \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\)

Ví dụ:

Viết phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng \ ( AB \ ) với \ ( A ( 1 ; 2 ; 4 ) \ ) và \ ( B ( 3 ; 2 ; – 2 ) \ )

Cách giải:

Gọi \ ( I \ ) là trung điểm \ ( AB \ )
\ ( \ Rightarrow I ( 2 ; 2 ; 1 ) \ )
\ ( \ Rightarrow IA ^ 2 = 10 \ )
Vậy đường tròn cần tìm có tâm \ ( \ Rightarrow I ( 2 ; 2 ; 1 ) \ ) và có nửa đường kính \ ( R ^ 2 = IA ^ 2 = 10 \ ) nên có phương trình là :
\ ( ( x-2 ) ^ 2 + ( y-2 ) ^ 2 + ( z-1 ) ^ 2 = 10 \ )

Dạng 2: Lập phương trình mặt cầu dạng \(x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz-d=0\)

Ví dụ:

Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm như sau :
\ ( A ( 1 ; 1 ; 2 ) ; B ( 2,1,2 ) ; C ( 1 ; 1 ; 3 ) ; D ( 2 ; 3 ; 2 ) \ )

Cách giải:

Phương trình mặt cầu tổng quát có dạng :
\ ( x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2-2 ax – 2 by – 2 cz – d = 0 \ )
Lần lượt thay tọa độ 4 điểm \ ( A, B, C, D \ ) vào ta được hệ phương trình :
\ ( \ left \ { \ begin { matrix } 1 ^ 2 + 1 ^ 2 + 2 ^ 2-2 a – 2 b – 4 c – d = 0 \ \ 2 ^ 2 + 1 ^ 2 + 2 ^ 2-4 a – 2 b – 2 c – d = 0 \ \ 1 ^ 2 + 1 ^ 2 + 3 ^ 2-2 a – 2 b – 6 c – d = 0 \ \ 2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 2 ^ 2-4 a – 6 b – 4 c – d = 0 \ end { matrix } \ right. \ )
\ ( \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { matrix } 2 a + 2 b + 4 c + d = 6 \ \ 4 a + 2 b + 2 c + d = 9 \ \ 2 a + 2 b + 6 c + d = 11 \ \ 4 a + 6 b + 4 c + d = 17 \ end { matrix } \ right. \ )
\ ( \ Leftrightarrow ( a ; b ; c ; d ) = ( 4 ; \ frac { 3 } { 4 } ; \ frac { 5 } { 2 } ; – \ frac { 27 } { 2 } ) \ )
Vậy phương trình mặt cầu là :
\ ( x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 – 8 x – \ frac { 3 y } { 2 } – 5 z + \ frac { 27 } { 2 } = 0 \ )

Dạng toán liên quan đến mặt phẳng 

Các bài toán về lập phương trình mặt phẳng

Nhìn chung với dạng bài này tất cả chúng ta đều cần tìm 2 điều kiện kèm theo đó là tọa độ một điểm thuộc mặt phẳng và véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng .

Ví dụ:

Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm \ ( A ( 1 ; 3 ; 3 ) ; B ( 2 ; 1 ; 2 ) ; C ( 1 ; 1 ; 2 ) \ )

Cách giải:

Ta có :
\ ( \ overrightarrow { AB } = ( 1 ; – 2 ; – 1 ) ; \ overrightarrow { AC } = ( 0 ; – 2-1 ) \ )
Vậy véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \ ( ( ABC \ ) là :
\ ( \ overrightarrow { n } = [ \ overrightarrow { AB }. \ overrightarrow { AC } ] = ( 0 ; 1 ; – 2 ) \ )
Vậy phương trình mặt phẳng \ ( ( ABC ) = ( y-3 ) – 2 ( z-3 ) = 0 \ )
Hay \ ( ( ABC ) = y-2z+3 = 0 \ )

Xem chi tiết tại >>> Viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz: Lý thuyết và Bài tập 

Các bài toán mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu

Với dạng toán này, tất cả chúng ta cần sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng :
Khoảng cách từ điểm \ ( M ( x_0 ; y_0 ; z_0 ) \ ) tới mặt phẳng \ ( ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0 \ ) là :
\ ( d ( m, ( P ) ) = \ frac { | Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D | } { \ sqrt { A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2 } } \ )

Ví dụ:

Viết phương trình mặt phẳng \ ( ( P ) \ ) có véc tơ pháp tuyến là \ ( \ overrightarrow { n } = ( 1 ; 2 ; 1 ) \ ) và tiếp xúc với mặt cầu \ ( ( S ) : ( x-2 ) ^ 2 + ( y-1 ) ^ 2 + ( z-1 ) ^ 2 = 4 \ )

Cách giải:

Mặt cầu \ ( ( S ) \ ) có tâm \ ( I ( 2 ; 1 ; 1 ) \ ) và nửa đường kính \ ( R = 2 \ )
Vì véc tơ pháp tuyến của \ ( ( P ) \ ) là \ ( \ overrightarrow { n } = ( 1 ; 2 ; 1 ) \ ) nên phương trình mặt phẳng P là :
\ ( x + 2 y + z + k = 0 \ )
Vì \ ( ( P ) \ ) tiếp xúc \ ( ( S ) \ ) nên ta có :
\ ( d ( I, ( P ) ) = \ frac { | 2 + 2 + 1 + k | } { \ sqrt { 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 1 ^ 2 } } = R = 2 \ )
\ ( \ Rightarrow | k + 5 | = 2 \ sqrt { 6 } \ Rightarrow \ left [ \ begin { array } { l } k = 2 \ sqrt { 6 } – 5 \ \ k = – 2 \ sqrt { 6 } – 5 \ end { array } \ right. \ )
Vậy phương trình mặt phẳng \ ( ( P ) \ ) là :
\ ( x + 2 y + z + 2 \ sqrt { 6 } – 5 = 0 \ ) hoặc \ ( x + 2 y + z-2 \ sqrt { 6 } – 5 = 0 \ )

Dạng toán liên quan đến đường thẳng

Các bài toán viết phương trình đường thẳng 

Ví dụ:

Viết phương trình đường thẳng \ ( d \ ) đi qua điểm \ ( M ( 1 ; 2 ; 2 ) \ ) và vuông góc với mặt phẳng \ ( ( P ) : x + 3 y – z + 2 = 0 \ )

Cách giải:

Vì \ ( d \ perp ( P ) \ ) nên véc tơ pháp tuyến của \ ( ( P ) \ ) chính là véc tơ chỉ phương của \ ( d \ )
Vậy phương trình của đường thẳng \ ( d \ ) là :
\ ( \ left \ { \ begin { matrix } x = 1 + t \ \ y = 2 + 3 t \ \ z = 2 – t \ end { matrix } \ right. \ )

Xem chi tiết tại >>> Phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz

Các bài toán về khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \ ( d \ ) và \ ( d ’ \ ) song song với nhau ta làm như sau :

• Bước 1: Chọn một điểm \( M \) bất kì nằm trên đường thẳng \( d’ \)

• Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng \( (P) \) đi qua \( M \) và vuông góc với \( d \). Tìm giao điểm \( H \) của mặt phẳng \( (P) \) với đường thẳng \( d \)

• Bước 3: Tính khoảng cách \( MH \). Đây chính là khoảng cách của \( d, d’ \)

Ví dụ:

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng :

\ ( d : \ left \ { \ begin { matrix } x = 1 + 2 t \ \ y = 2 + t \ \ z = 1-2 t \ end { matrix } \ right. \ ) và \ ( d ’ : \ left \ { \ begin { matrix } x = 2 + 2 t \ \ y = 4 + t \ \ z = 3-2 t \ end { matrix } \ right. \ )

Cách giải:

Trên đường thẳng \ ( d ’ \ ) lấy điểm \ ( M ( 2 ; 4 ; 3 ) \ )
Phương trình mặt phẳng \ ( ( P ) \ ) qua \ ( M \ ) và vuông góc với \ ( d \ ) là :
\ ( 2 ( x-2 ) + ( y-4 ) – 2 ( z-3 ) = 0 \ )
\ ( \ Leftrightarrow 2 x + y-2z-2 = 0 \ )
Giả sử \ ( ( P ) \ cap d = H ( 1 + 2 k ; 2 + k ; 1-2 k ) \ )
\ ( \ Rightarrow 2 ( 1 + 2 k ) + ( 2 + k ) – 2 ( 1-2 k ) – 2 = 0 \ )
\ ( \ Rightarrow k = 0 \ Rightarrow H ( 1 ; 2 ; 1 ) \ )
Vậy \ ( d ( d ; d ’ ) = d ( M, d ) = MH = 3 \ )

Các bài toán về góc 

Ứng dụng phương pháp tọa độ trong không gian

Trong 1 số ít bài toán hình học không gian, ta hoàn toàn có thể tận dụng những đặc thù vuông góc để gắn trục tọa độ vào bài toán một cách thích hợp rồi từ đó sử dụng những công thức tọa độ để giám sát thuận tiện hơn. Các bước đơn cử như sau :

• Bước 1: Gắn trục tọa độ \( Oxyz \) vào bài toán thích hợp

• Bước 2: Tính toán để xác định tọa độ các điểm trong bài toán

• Bước 3: Sử dụng các công thức tọa độ để tính toán theo yêu cầu của bài toán

Ví dụ:

Cho hình chóp \ ( S.ABCD \ ) có đáy là hình vuông vắn cạnh \ ( a \ ) và \ ( SA \ ) vuông góc với đáy, \ ( SC \ ) tạo với đáy một góc bằng \ ( 45 ^ { \ circ } \ ). Tính thể tích khối chóp \ ( S.ABCD \ ) theo \ ( a \ ) và khoảng cách từ \ ( B \ ) đến mặt phẳng \ ( ( SCD ) \ )

Cách giải:

Ta có :
\ ( A ( 0 ; 0 ; 0 ) \ )
\ ( AB = a \ Rightarrow B ( a ; 0 ; 0 ) \ )
\ ( AD = 0 \ Rightarrow D ( 0 ; a ; 0 ) \ )
\ ( AC = a \ sqrt { 2 } \ Rightarrow AS = AC = a \ sqrt { 2 } \ Rightarrow S ( 0 ; 0 ; a \ sqrt { 2 } ) \ )
\ ( AB = AC = a \ Rightarrow C ( a ; a ; 0 ) \ )
Vì vậy :
\ ( \ overrightarrow { SC } = ( a ; a ; – a \ sqrt { 2 } ) = ( 1 ; 1 ; – \ sqrt { 2 } ) \ )
\ ( \ overrightarrow { SD } = ( 0 ; a ; – a \ sqrt { 2 } ) = ( 0 ; 1 ; – \ sqrt { 2 } ) \ )
Vậy véc tơ pháp tuyến của \ ( ( SCD ) \ ) là :
\ ( \ vec { n } = [ \ overrightarrow { SC }. \ overrightarrow { SD } ] = ( 0 ; – \ sqrt { 2 } ; 1 ) \ )
Vậy phương trình mặt phẳng \ ( ( SCD ) \ ) là :
\ ( – \ sqrt { 2 } y-z+a \ sqrt { 2 } = 0 \ )
Như vậy :
\ ( V_ { S.ABCD } = \ frac { 1 } { 3 }. SA.S _ { ABCD } = \ frac { a ^ 3 \ sqrt { 2 } } { 3 } \ )
\ ( d ( B, ( SCD ) ) = \ frac { a \ sqrt { 6 } } { 3 } \ )

Một số câu hỏi phương pháp tọa độ trong không gian trắc nghiệm

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ \ ( Oxyz \ ) cho ba điểm \ ( M ( 10 ; 9 ; 12 ), N ( – 20 ; 3 ; 4 ), – 50, – 3, – 4 ) \ ). Khẳng định nào sau đây là đúng ?

1. \ ( MN \ bot ( xOy ) \ )
2. \ ( MN \ in ( xOy ) \ )
3. \ ( MN \ parallel ( xOy ) \ )
4. \ ( M, N, P \ ) thẳng hàng

\(\Rightarrow\) Đáp án D

Câu 2:

Trong không gian \ ( Oxyz \ ), mặt phẳng \ ( ( P ) \ ) qua \ ( A ( − 2 ; 1 ; 3 ) \ ) và song song với \ ( ( Q. ) : x − 3 y + z + 5 = 0 \ ) cắt \ ( Oy \ ) tại điểm có tung độ là :

1. \ ( 1 \ )
2. \ ( 3 \ )
3. \ ( \ frac { 1 } { 3 } \ )
4. \ ( \ frac { 2 } { 3 } \ )

\(\Rightarrow\) Đáp án D

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ \ ( Oxyz \ ) cho mặt phẳng \ ( ( \ alpha ) : 2 x + y + z + 5 = 0 \ ) và đường thẳng \ ( \ Delta \ ) đi qua \ ( M ( 1 ; 3 ; 2 ) \ ) và có véc tơ chỉ phương \ ( \ vec { u } = ( 3 ; – 1 ; – 3 ) \ ) cắt \ ( ( \ alpha ) \ ) tại \ ( N \ ). Tính độ dài đoạn \ ( MN \ )

1. \ ( MN = 21 \ )
2. \ ( MN = \ sqrt { 21 } \ )
3. \ ( MN = \ sqrt { 770 } \ )
4. \ ( MN = \ sqrt { 684 } \ )

\(\Rightarrow\) Đáp án D

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ \ ( Oxyz \ ) cho những điểm : \ ( A ( a ; 0 ; a ) ; B ( 0 ; a ; a ) ; C ( a ; a ; 0 ) \ ). Mặt phẳng \ ( ( ABC ) \ ) cắt những trục \ ( Ox, Oy, Oz \ ) lần lượt tại những điểm \ ( M, N, P \ ). Thể tích tứ diện \ ( OMNP \ ) là :

1. \ ( 4 a ^ 3 \ )
2. \ ( 8 a ^ 3 \ )
3. \ ( \ frac { 4 a ^ 3 } { 3 } \ )
4. \ ( \ frac { 8 a ^ 3 } { 3 } \ )

\(\Rightarrow\) Đáp án C

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ \ ( Oxyz \ ) cho mặt cầu \ ( ( S ) : x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 − 2 x + 4 y − 4 z + 7 = 0 \ ). Tìm điểm \ ( M \ ) thuộc \ ( ( S ) \ ) sao cho khoảng cách từ \ ( M \ ) đến trục \ ( Ox \ ) là nhỏ nhất

1. \ ( M ( 0 ; – 3 ; 2 ) \ )
2. \ ( M ( 2 ; – 2 ; 3 ) \ )
3. \ ( M ( 1 ; – 1 ; 1 ) \ )
4. \ ( M ( 1 ; – 3 ; 3 ) \ )

\(\Rightarrow\) Đáp án D

Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết, một số dạng toán cũng như ứng dụng của phương pháp tọa độ trong không gian. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian. Chúc bạn luôn học tốt!

Xem cụ thể qua bài giảng bên dưới :

(Nguồn: www.youtube.com)

Tu khoa lien quan :

• phương pháp tọa độ cực trong trắc địa
• phương pháp tọa độ trong hình học phẳng
• phương pháp giao hội xác định tọa độ điểm
• phương pháp tọa độ vuông góc trong trắc địa
• các phương pháp nhập tọa độ trong autocad
• phương pháp tọa độ mặt phẳng ôn thi đại học
• ứng dụng phương pháp tọa độ trong không gian
• phương pháp tọa độ trong không gian có lời giải
• phương pháp tọa độ hóa trong hình học phẳng
• phương pháp tọa độ trong không gian đặng việt đông
• phương pháp tọa độ trong mặt phẳng khó và nâng cao
• các công thức phương pháp tọa độ trong không gian
• chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian lớp 12
• trắc nghiệm phương pháp tọa độ trong không gian violet

Rate this post

Please follow and like us :

Source: https://vh2.com.vn
Category : Trái Đất