Phương pháp tọa độ hóa để giải bài toán hình học không gian – Nguyễn Hồng Điệp

Giới thiệu Phương pháp tọa độ hóa để giải bài toán hình học không gian – Nguyễn Hồng Điệp

Học toán online.vn gửi đến những em học viên và bạn đọc Phương pháp tọa độ hóa để giải bài toán hình học không gian – Nguyễn Hồng Điệp CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN .

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Phương pháp tọa độ hóa để giải bài toán hình học không gian – Nguyễn Hồng Điệp

Các em học viên và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu môn toán 12 tại đây nhé .
Text Phương pháp tọa độ hóa để giải bài toán hình học không gian – Nguyễn Hồng Điệp
Nguyễn Hồng Điệp ÔN THI TỐT NGHIỆP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA HÌNH HỌC KHÔNG GIAN u v a năm nay Con bướm vẽ bằng GeoGebra ( ˆ. ˆ ) 6 th − LATEX − 201601.1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Copyright c năm nay by Nguyễn Hồng Điệp Nguyễn Hồng Điệp 1 Các công thức 1. Vectơ trong không gian − − → → Trong không gian cho những vectơ u 1 = x1, y1, z 1, u 2 = x2, y2, z 2 và số k tùy ý   x1 = x2 − → − → y1 = y2 • u1 = u2 ⇔  z = z 1 2 − → − → • u 1 ± u 2 = x1 ± x2, y1 ± y2, z 1 ± z 2 − → • k u 1 = k x1, k y1, k z 1 − → − → • Tích có hướng : u 1. u 2 = x1. x2 + y1. y2 + z 1. z 2 − → − → Hai vectơ vuông góc nhau ⇔ u 1. u 2 = 0 ⇔ x1. x2 + y1. y2 + z 1. z 2 = 0 − → Æ • u 1 = x12 + y12 + z 12 • Gọi ϕ là góc hợp bởi hai vectơ 0 ◦ ¶ ϕ ¶ 180 ◦ − → − → x1 x2 + y1 y2 + z 1 z 2 u1. u2 − → − → = cos ϕ = cos u 1, u 2 = − Æ Æ → − → u1. u2 x12 + y12 + z 12. x22 + y22 + z 22 − → • AB = x B − x A, yB − yA, z B − z A Ç 2 AB = ( x B − x A ) 2 + yB − yA + ( z B − z A ) 2 • Tọa độ những điểm đặc biệt quan trọng : ‹ x A + x B yA + yB z A + z B, , ? Tọa độ trung điểm I của AB : I 2 2 2  ‹ x A + x B + xC yA + yB + yC z A + z B + z C ? Tọa độ trọng tâm G của tam giác AB C : G, , 3 3 3 ? Tọa độ trọng tâm G của tứ diện AB C D :  ‹ x A + x B + xC + xD yA + yB + yC + yD z A + z B + z C + z D G, , 4 4 4  • Tích có hướng của hai vectơ là 1 vectơ vuông góc cả hai vectơ xác lập bởi x1 z 1 z 1 x1 y1 z 1 − → − → − →, , u = u1, u2 = y2 z 2 z 2 x2 x2 z 2 • Một số đặc thù của tích có hướng h → → i − → − → − − → − ? a và b cùng phương ⇔ a, b = 0 h − → − → i − → A, B, C thẳng hàng ⇔ AB, AC = 0 h → − → i − − → − → − → − → ? Ba vectơ a, b, c đồng phẳng ⇔ a, b. c = 0 h − → − → i − → − → Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng ⇔ AB, AC. AD 6 = 0 h → i → → − → − − → − − → − ? a, b = a. b. sin a, b • Các ứng dụng của tích có hướng ? Diện tích hình bình hành : SAB C D ” − → − → — = AB, AD 3 Nguyễn Hồng Điệp 1 h − → − → i AB, AC 2 ” − → − → — − → ? Thể tích khối hộp : VAB C D. A 0 B 0 C 0 D 0 = AB, AD. AA 0 1 h − → − → i − → ? Thể tích tứ diện : VAB C D = AB, AC. AD 6 ? Diện tích tam giác : SAB C = 2. Phương trình mặt phẳng • Phương trình tổng quát ( α ) : a x + b y + c z + d = 0 với ( a 2 + b 2 + c 2 6 = 0 ). − → • Phương trình mặt phẳng ( α ) qua M x0, y0, z 0 và có vectơ pháp tuyến n = ( a, b, c ) ( α ) : a ( x − x0 ) + b y − y0 + c ( z − z 0 ) = 0 • Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn : ( α ) qua A ( a, 0, 0 ) ; B ( 0, b, 0 ) ; C ( 0, 0, c ) ( α ) : x − x0 y − y0 z − z 0 + + = 1, a b c với a, b, c 6 = 0 − → − → • Nếu n = ( a, b, c ) là vectơ pháp tuyến của ( α ) thì k n, k 6 = 0 cũng là vectơ pháp tuyến của ( α ). Do đó một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến. Trong 1 số ít trường hợp ta hoàn toàn có thể tìm vectơ pháp tuyến bằng cách chọn một giá trị đơn cử cho a ( hoặc b hoặc c ) và tính hai giá trị còn lại bảo vệ đúng tỉ lệ a : b : c. 3. Góc − → • Góc giữa hai mặt phẳng : Cho mặt phẳng ( α ) có vectơ pháp tuyến là nα, mặt phẳng β − → có vectơ pháp tuyến nβ, khi đó góc giữa ( α ) và β được tính bằng − → − → nα. nβ − → − → cos ( α ), β = cos nα, nβ = − → − → nα. nβ − → • Góc giữa hai đường thẳng : Cho hai đường thẳng d 1 và d 2 có những vectơ chỉ phương là u 1 − → và u 2, khi đó góc giữa d 1 và d 2 tính bằng − → − → u1. u2 − → − → cos ( d 1, d 2 ) = cos u 2, u 2 = − → − → u1. u2 4 Nguyễn Hồng Điệp − → • Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng : Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương là u, − → mặt phẳng ( α ) có vectơ pháp tuyến là n, khi đó góc giữa d và ( α ) là ϕ được tính bằng − → − → u. n sin ϕ = − → − → u. n 4. Khoảng cách • Khoảng cách từ điểm A x0, y0, z 0 tới ( α ) : a x + b y + c z + d = 0 là d ( A, ( α ) ) = a x0 + b y0 + c z 0 + d p a2 + b2 + c 2 − → • Khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng ∆ qua M 0 và có vectơ chỉ phương u là ” − − − → — − → M M0, u d ( A, ∆ ) = − → u • Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆ 1 và ∆ 2 biết ∆ 1 qua M 1 và có vectơ chỉ − → − → phương u 1 ; ∆ 2 qua M 2 và có vectơ chỉ phương u 2 − → − → − − − → u 1, u 2. M 1 M 2 − d ( ∆ 1, ∆ 2 ) = → − → u1, u2 • Khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( α ) và β song song nhau là khoảng cách từ M 0 ∈ ( α ) tới β. • Khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆ 1 và ∆ 2 song song nhau là khoảng cách từ M 1 ∈ ∆ 1 tới ∆ 2. • Khoảng cách giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( α ) song song nhau là khoảng cách từ điểm M 0 ∈ d tới ( α ). 5 Nguyễn Hồng Điệp 2 Xác định tọa độ điểm 2.1 Tọa độ điểm trên trục tọa độ Tìm tọa độ điểm A trên trục tọa độ ta tìm khoảng cách từ A đến gốc tọa độ và dựa vào chiều dương đã chọn để xác lập tọa độ A. Ví dụ chọn tia O A trùng tia O x, điểm A và B nằm trên O x • O A = 2 ⇒ A ( 0, 0, 2 ). • O B = 3 ⇒ B ( 0, 0, − 3 ) ( do B nằm ở phần âm ) 2.2 Tọa độ điểm trên mặt phẳng tọa độ Tìm tọa độ của A trên 1 mặt phẳng tọa độ ta tìm hình chiếu của A trên những trục tọa độ và dựa vào những tọa độ hình chiếu này để xác lập tọa độ A. Ví dụ những điểm A, B, C có hình chiếu trên những trục với độ dài như hình vẽ, theo chiều dương đã chọn ta được • AK = 1 = x K, AH = 2 = yK : tọa độ A ( 1, 2 ) • B I = 2 = − x B ( do B nằm phần âm của trục hoành ), B M = 1 = yB : tọa độ B ( − 2, 1 ) • C J = 2, C M = 2 : tọa độ C ( − 2, − 2 ) ( do C nằm ở phần âm của trục tung và trục hoành ) 2.3 Tọa độ điểm trường hợp tổng quát Tìm tọa độ của A tiên phong ta tìm tọa độ hình chiếu H của A lên mặt phẳng tọa độ bất kỳ, sau đó ta tính độ dài AH. Tọa độ A xác lập nhờ tọa độ H và độ dài AH. 6 Nguyễn Hồng Điệp Ví dụ tọa độ hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng Oxy là H ( a, b ), ta tính được AH = c thì khi đó A có tọa độ A ( a, b, c ) ( giả sử rằng những thành phần tọa độ A đều nằm trong phần dương ). 3 Cách chọn hệ trục tọa độ – chọn véctơ 3.1 Chọn véctơ Đối với dạng bài tập này khi tìm véctơ chỉ phương, véctơ pháp tuyến của đường thẳng và mặt phẳng ta sẽ gặp trường hợp véctơ chứa tham số a là độ dài cạnh. Khi đó, để tiện cho việc đo lường và thống kê ta chọn lại véctơ chỉ phương, véctơ pháp tuyến mất tham số a. ‹  a − → thì ta hoàn toàn có thể chọn lại véctơ chỉ Ví dụ véctơ chỉ phương của mặt phẳng ( α ) là S A = a, − 3 a, 3 ‹  a − →. phương khác là u = 1, − 3, 3 Trường hợp khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng, khoảng cách giữa 2 đường − − − → thẳng chéo nhau thì véctơ M 1 M 2 ta giữ nguyên. 3.2 Chọn hệ trục tọa độ Phần quan trọng nhất của phương pháp này là cách chọn hệ trục tọa độ. Không có phương pháp tổng quát, có nhiều hệ trục tọa độ hoàn toàn có thể được chọn, tất cả chúng ta chọn sao cho việc tìm tọa độ những điểm có nhiều số 0 càng tốt. • Hệ trục tọa độ nằm trên 3 đường thẳng đôi 1 vuông góc nhau. • Gốc tọa độ thường là chân đường cao của hình chóp, hình lăng trụ trùng với đỉnh của hình vuông vắn, hình chữ nhật, tam giác vuông hoặc hoàn toàn có thể là trung điểm của cạnh nào đó, … Ví dụ • Tứ diện 7 Nguyễn Hồng Điệp • Hình chóp đáy là tứ giác lồi • Hình lăng trụ xiên, lăng trụ đứng tương tự như hình chóp, riêng so với hình hộp có nhiều cách chọn hệ tọa độ. 8 Nguyễn Hồng Điệp 4 Các ví dụ Ví dụ 4.1 ( Cao đẳng năm trước ) Cho hình chóp S. AB C D có đáy AB C D là hình vuông vắn cạnh a, S A vuông góc đáy, S C tạo với đáy một góc bằng 45 ◦. Tính theo a thể tích khối chóp S. AB C D và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( S C D ). Giải ? Thể tích khối chóp Ta có : S A ⊥ ( AB C D ) nên góc giữa S C và đáy là SÖ C A. Do AB C D là hình vuông vắn cạnh a nên p p C A = 2 a. p AC = 2 a. Suy ra S A = AC. tan SÖ 1 2 a 3 Thể tích khối chóp là VS. AB C D =. S A.SAB C D = 3 3 ? Khoảng cách Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, A ≡ O, tia AB ≡ tia O x, tia AD ≡ tia O y, tia AS ≡ tia O z. Khi đó ta có : • A ( 0, 0, 0 ) • AB = a ⇒ B ( a, 0, 0 ) 9 Nguyễn Hồng Điệp • AD = a ⇒ D ( 0, a, 0 ) p p • AS = 2 a ⇒ S ( 0, 0 2 a ) • C D = C B = a ⇒ C ( a, a, 0 ) p − → p − → Ta có : S C = a, a, − a 2, S D = 0, − a, − a 2 suy ra mặt phẳng ( S C D ) có cặp véctơ chỉ phương p − p − → → là u 1 = ( 1, 1, − 2 ), u 2 = 0, − 2, − 1. p − → − → − → Véctơ pháp tuyến của ( S C D ) là n = u 1 ∧ u 2 = 0, − 2, − 1. p p Phương trình mặt phẳng ( S C D ) : − 2 y − z + a 2 = 0 Khoảng cách từ B đến ( S C D ) : p a 2 d ( B, ( S C D ) ) = 3 Nhận xét 1 • Thể tích khối chóp ta tính trực tiếp. • Ta thấy S A vuông góc dưới mặt đáy tại A, AB C D là hình vuông vắn, khi đó A là giao điểm của 2 đường thẳng đôi một vuông góc nhau. Đó là tín hiệu nhận ra để chọn hệ trục tọa độ với A là gốc. p • Khi tìm tọa độ S ta thấy có Open 2 a, lúc này cũng đừng quá lo ngại. Ví dụ 4.2 ( Tốt nghiệp năm ngoái ) Cho hình chóp S. AB C D có đáy là hình vuông vắn AB C D cạnh a, S A vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa S C và mặt phẳng ( AB C D ) là 45 ◦. Tính theo a thể tích khối chóp S. AB C D và khoảng cách giữa hai đường thẳng S B, AC. Giải 10 Nguyễn Hồng Điệp ? Thể tích khối chóp p ◦ ◦ Góc giữa S C và mặt phẳng ( AB C D ) là SÖ CA = p45 3, suy ra S A = AC. tan 45 = 2 a. 1 2 a Thể tích khối chóp : VS. AB C D =. S A.SAB C D =. 3 3 ? Khoảng cách Chọn hệ trục tọa độ O x y z như hình vẽ với A ≡ O, tia AB ≡ O x, tia AD ≡ O y, tia AS ≡ O z Khi đó • A ( 0, 0, 0 ) • AB = a ⇒ A ( a, 0, 0 ) • AD = a ⇒ D ( 0, a, 0 ) • C D = C B = a ⇒ C ( a, 0, 0 ) p p • AS = 2 a ⇒ S ( 0, 0, 2 a ) Gọi d 1 là đường thẳng đi qua S, B ; d 2 là đường thẳng qua A, C. Khoảng cách giữa S B và AC cũng là khoảng cách giữa d 1 và d 2. Ta có : p p − → − → • S B = a, 0, − 2 a ⇒ véctơ chỉ phương của d 1 là u 1 = 1, 0, − 2 − → − → • AC = ( a, a, 0 ) ⇒ véctơ chỉ phương của d 2 là u 2 = ( 1, 1, 0 ) p − → − → − → p • n = u 1 ∧ u 2 = 2, − 2, 1 − → • AB = ( a, 0, 0 ) Khoảng cách : − → − → n. AB d ( S A, B C ) = ( d 1, d 2 ) = − → n p 10 a = 5 • Lưu ý : trong bài toán tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng thì ta được chọn lại véctơ chỉ − → phương và véctơ pháp tuyến, nhưng véctơ AB phải giữ nguyên. 11 Nguyễn Hồng Điệp Ví dụ 4.3 ( Đề thi minh họa tốt nghiệp năm ngoái ) ◦ Ö Cho hình chóp S. AB C D có đáy AB C D là tam giác vuông tại B, AC = 2 a, AC pB = 30. Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt dưới là trung điểm cạnh AC và S H = 2 a. Tính theo a thể tích khối chóp S. AB C D và khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( S AB ). Giải ? Thể tích khối chóp 1 Ta có : H A = H C = AC = a và S H ⊥ ( AB C ). 2 p Ö Xét Í AB C ta có : B C = AC. cos AC Bp = 3 a. 3 a 2 1 Ö Do đó : SAB C = AC. B C. sin AC B =. 2 2 p 3 1 6 a Vậy VS. AB C = S H. SAB C = 3 6 ? Khoảng cách Kẻ tia B z vuông góc với mặt phẳng ( AB C D ). Chọn hệ trục tọa độ O x y z như hình vẽ, B ≡ O, tia B A ≡ tia O x, tia B C ≡ tia O y. Khi đó ta có 12 Nguyễn Hồng Điệp • B ( 0, 0, 0 ) • AB = a ⇒ A ( a, 0, 0 ) p p • B C = 3 a ⇒ C ( 0, 3 a, 0 ) p AB 3 a BC =, HK = = a ; • Trong mặt phẳng ( AB C ) kẻ H I ⊥ AB, H K ⊥ B C. Ta có H I = 2 2 2 p 3 a, 0. do đó H a, 2 p p 3 a p Do H là hình chiếu của S xuống ( AB C ) và S H = 2 a ⇒ S a, , 2 a 2 p p 3 a p 3 a p − → − → Ta có : S B = a, , 2 a, S A = 0, , 2 a suy ra mặt phẳng ( S AB ) có cặp véctơ chỉ 2 2 p p p p 3 3 − → − →, 2, u 2 = 0, , 2. phương là u 1 = 1, 2 2 p p 3 − → − → − → Véctơ pháp tuyến của ( S AB ) : n = u 1 ∧ u 2 = 0, 2 ,. 2 p p 3 z = 0. Phương trình mặt phẳng ( S AB ) : 2 y + 2 Khoảng cách từ C đến ( S AB ) : p p p 3 a p 3 p · 2 + 2 a · 2 2 2 66 a d ( C, ( S AB ) ) = v = p 2 u 11 t p 2 3 2 + 2 Nhận xét 2 • Cách chọn hệ trục tọa độ : ta thấy S H vuông góc với mặt dưới nhưng trong dưới mặt đáy chưa có 2 đường thẳng vuông góc tại H nên không chọn H làm gốc tọa độ. Mặt khác ta có sẵn B A vuông góc B C nên chỉ cần dựng B z vuông góc mặt dưới là ta có hệ trục tọa độ với B là gốc tọa độ. • Tìm độ điểm S : tiên phong ta tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của S xuống ( AB C ), khi đó xS = xH, yS = yH. Để tìm tọa độ H ta tìm khoảng cách từ H xuống những trục đã chọn ( B A và B C ). Và z S = S H. Ví dụ 4.4 ( Đại học khối B – năm trước ) ho lăng trụ AB C. A 0 B 0 C 0 có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A 0 trên mặt phẳng ( AB C ) là trung điểm cạnh AB, góc giữa đường thẳng A 0 C và dưới mặt đáy bằng 60 ◦. Tính theo a thể tích khối lăng trụ AB C. A 0 B 0 C 0 và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( AC C 0 A 0 ). Giải 13 Nguyễn Hồng Điệp ? Thể tích 3 a 0 C H = 60 ◦. Do đó A 0 H = C H. tan AC Ø ×. Gọi H là trung điểm AB, suy ra A 0 H ⊥ ( AB C ) và A H = 2 p 3 3 3 a Thể tích khối lăng trụ là : VAB C. A 0 B 0 C 0 = A 0 H. SAB C = 8 ? Khoảng cách Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với H ≡ O, tia H B ≡ tia O x, tia H C ≡ tia O y, tia H A 0 ≡ tia O z. Khi đó ta có : • H ( 0, 0, 0 )  ‹  ‹ a a − a, 0, 0, A, 0, 0 • HA = HB = ⇒ B 2 2 2  ‹ 3 a 3 a 0 0 • AH = ⇒ A 0, 0, 2 2 p p 3 a 3 a • HC = ⇒ C 0, 2 2 p  ‹ − → 0 a 3 a − → a 3 a Ta có : AA =, 0, , AC =, , 0 suy ra mặt phẳng ( AC C 0 A 0 ) có cặp véctơ chỉ phương 2 2 2 2 p − → − → là u 1 = ( 1, 0, 3 ), u 2 = 1, 3, 0. 14 Nguyễn Hồng Điệp p p − → − → − → Véctơ pháp tuyến của ( AC C 0 A 0 ) là n = u 1 ∧ u 2 = − 3 3, 3, 3 p 3 a = 0 Phương trình mặt phẳng ( AC C 0 A 0 ) : − 3 x + 3 y + z − 2 Khoảng cách từ B đến ( AC C 0 A 0 ) : p 3 13 a 0 0 d B, AC C A = 13 Ví dụ 4.5 ( Đại học khối D – năm trước ) Cho hình chóp S. AB C D có đáy AB C là tam giác vuông cân tại A, mặt bên S B C là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng ( S B C ) vuông góc với dưới mặt đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S. AB C và khoảng cách giữa hai đường thẳng S A và B C. Giải ? Thể tích BC a Gọi H là trung điểm B C, suy ra AH = =, S H ⊥ ( AB C ), S H = 2 2 1 a2 Diện tích tma giác AB C : SAB C =. AH. B C =. 2 p 43 1 3 a Thể tích khối chóp : VS. AB C =. S H. SAB C =. 3 24 p 3 a. 2 ? Khoảng cách Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho H ≡ 0, tia H C ≡ tia O x, tia H S ≡ tia O y, tia H S ≡ tia O z. 15 Nguyễn Hồng Điệp Khi đó : • H ( 0, 0, 0, )  ‹  ‹ − a a a, 0, 0, C, 0, 0. • HC = HB = ⇒ B 2 2 2  ‹ a a • H A = ⇒ A 0, , 0 2 2 p p 3 a 3 a • HS = ⇒ S 0, 0, 2 2 Gọi d 1, d 2 lần lượt là đường thẳng qua S A và B C. Khoảng cách giữa d 1 và d 2 cũng là khoảng cách giữa S A và B C. Ta có : p p a 3 a − → − → ⇒ véctơ chỉ phương của d 1 là u 1 = 0, 1, 3 • S A = 0, , 2 2 − → − → • B C = ( a, 0, 0 ) ⇒ véctơ chỉ phương của d 2 là u 2 = ( 1, 0, 0 ) p − → − → − → • n = u 1 ∧ u 2 = 0, 3, − 1  ‹ a − a − → • AC =, , 0 2 2 Khoảng cách − → − → n. AC d ( S A, B C ) = d ( d 1, d 2 ) = − → n p 3 a = 4 Nhận xét 3 Ngoài ra ta còn hoàn toàn có thể chọn hệ trục tọa độ như sau nhưng cách giải sẽ dài hơn vì cần phải tìm tọa độ H để tìm tọa độ S. Do đó khi làm bài nếu cảm thấy hệ tọa độ mình chọn việc đo lường và thống kê quá phức tạp ta nên nghĩ đến việc đổi sang hệ tọa độ khác. 16

Source: https://vh2.com.vn
Category : Trái Đất