Bai tap mon Toan cao cap 1: Khong gian vecto – Bài 3. Xét sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến – StuDocu

Bài 3. Xét sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của các hệ v éc tơ sau

a ) U = { x 1 = ( 2 ; 1 ; – 1 ) ; x 2 = ( – 2 ; 3 ; – 4 ) ; x 3 = ( 3 ; – 1 ; 2 ) } b ) U = { x 1 = ( 3 ; – 2 ; 4 ) ; x 2 = ( – 2 ; 2 ; 0 ) ; x 3 = ( – 1 ; 2 ; 4 ) } c ) U = { x 1 = ( 1 ; 1 ; 0 ) ; x 2 = ( 0 ; 1 ; 1 ) ; x 3 = ( 1 ; 0 ; 1 ) ; x 4 = ( 2 ; – 2 ; 2 ) } d ) U = { x 1 = ( 1 ; – 1 ; 2 ) ; x 2 = ( 2 ; 0 ; 1 ) } e ) U = { x 1 = ( 1 ; – 1 ; 2 ; 3 ) ; x 2 = ( 2 ; 3 ; – 2 ; – 4 ) ; x 3 = ( 3 ; 2 ; 0 ; – 1 ) }

Giải.

a)

2 1 1 2 3 4 3 0 3 1 2      Hệ đã cho độc lập tuyến tính .b )3 2 4 2 2 0 0 1 2 4    Hệ đã cho nhờ vào tuyến tính .c ) Vì những vctơ đã cho thuộc không gian R 3 với dim R 3  3 mà hệ đã cho có 4 vectơ nên hệ đã cho phụ thuộc vào tuyến tính .d ) Hệ đã cho có 2 vectơ mà hai vec tơ này không tỷ suất với nhau nên hệ đã cho độc lập tuyến tính .e ) Trước hết, ta tính hạng của ma trận1123 D1 ( 2 ) D 2D1 ( 3 ) D3 1123 D 2 ( 1 ) D3 1 1 2 3 A 2 3 2 4 0 5 6 10 0 5 4 10 3 2 0 1 0 5 6 10 0 0 0 0                                                                   r ( A ) 2 r ( U ) 2  < số vectơ = 3  Hệ đã cho nhờ vào tuyến tính .

Bài 3. Biểu diễn véc tơ a qua các véc tơ u 1, u 2, u 3

a ) a = ( 4 ; 9 ; – 3 ; – 1 ) ; u 1 = ( 1 ; 2 ; – 1 ; 1 ) ; u 2 = ( 0 ; – 1 ; 2 ; 2 ) ; u 3 = ( 2 ; 4 ; 1 ; – 1 ) b ) a = ( 3 ; 0 ; 4 ) ; u 1 = ( 1 ; – 1 ; 2 ) ; u 2 = ( 2 ; – 1 ; 4 ) ; u 3 = ( 0 ; 1 ; – 1 )

Giải.

a ) Giả sử a    x u1 1 x u 2 2 x u3 3. Ta có hệ phương trình tuyến tính13 123123 1 2 3 1 2 3x 2 x 4 2 x x 4 x 9 x 2, x 1, x 1 x 2 x x 3 x 2 x x 1                              a 2 u 1 u 2 u 3b ) Giả sử a    x u1 1 x u 2 2 x u3 3. Ta có hệ phương trình tuyến tính12 1 2 3 1 2 3 1 2 3x + 2 x 3 x x x 0 x 1, x 1, x 2 2 x 4 x x 4                    a u 1 u 2 2 u 3

Bài 3. Trong R 3, hệ véc tơ nào sau đây là cơ sở của R 3
a) U = {u = (1 ; -2 ; 3)}
b) U = {u 1 = (1 ; -1 ; -2) ; u 2 = (3 ; 0 ; 1)}
c) U = {u 1 =(1 ; -2 ; 1) ;u 2 = (1 ;-3 ; – 4) ; u 3 = (2 ; -5 ; – 3) }
d) U = {u 1 = (1 ; -1 ; -3) ;u 2 = (0 ; 0 ; 0); u 3 = (5 ; -4 ; 0)}
e) U = {u 1 = (1 ; 1 ; 0) ; u 2 = (-1 ; 1 ; 2); u 3 = (2 ; 0 ; 1) ; u 4 = (1 ; 2 ; 3)}
f) U = {u 1 = (1 ; 1 ; -2) ; u 2 = (0 ; -1 ; 1) ; u 3 = (0 ; 0 ; 2)}

Giải. Để một hệ vectơ là một cơ sở của R 3 thì hệ đó phải có đúng 3 vectơ và là hệ độc
lập tuyến tính.
a) Hệ đã cho không là cơ sở của R 3 vì hệ này có 1 vectơ.
b) Hệ đã cho không là cơ sở của R 3 vì hệ này có 2 vectơ.
c) Hệ đã cho có đúng 3 vectơ.
1 2 1
1 3 4 0
253

      Hệ đã cho phụ thuộc vào tuyến tính  Hệ đã cho không là một cơ sởcủa R 3 d ) Hệ đã cho có đúng 3 vectơ. 1 1 3 0 0 0 0 5 4 0    Hệ đã cho phụ thuộc vào tuyến tính  Hệ đã cho không là một cơ sởcủa R 3 .D 2 D3 D 2 2 D3D 2 m D 41 1 1 2 1 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 2 1 2 0 0 1 6 0 m m 2 m 0 0 2 m 4 m                                                  D3 ( 2 m ) D 41 1 1 2 0 1 1 2 0 0 1 6 0 0 0 8 m                       + ) Nếu m0  thì r ( A ) 3   r ( U ) 3  .+ ) Nếu m0  thì r ( A ) 4   r ( U ) 4  .

Bài 3. Tập hợp nào sau đây là không gian con của không gian R 3

a) F = {(x 1 ; 0; x 2 ); x 1, x 2  R}
b) F = {(x 1 ; 0; 1); x 1  R}
c) F = {(a; b; a – 2b); a, b  R }
d) F = {(x 1, x 2, x 3 ): x 1 – 2x 2 + x 3 = 1; x 1, x 2, x 3  R}
Nếu F là không gian con của R 3 thì t ìm cơ sở và số chiều của F.
Giải.
a) FR 3, F vì (0, 0, 0) F.

Lấy ( x ; 0 ; x ), ( y ; 0 ; y ) F, 1 2 1 2    R, ta có( x ; 0 ; x ) ( y ; 0 ; y ) ( x 1 2  1 2   1 y ; 0 ; x 1 2   y ) F 2.  ( x ; 0 ; x ) ( x ; 0 ; x ) F 1 2     1 2 .Suy ra F là một không gian vectơ con của không gian R 3. Lấy ( x ; 0 ; x ) F 12 , ta có( x ; 0 ; x ) x ( 1 ; 0 ; 0 ) x ( 0 ; 0 ; 1 ) 1 2   1 2.  { ( 1 ; 0 ; 0 ), ( 0 ; 0 ; 1 ) } là một hệ sinh của F .Mặt khác, hệ vectơ { ( 1 ; 0 ; 0 ), ( 0 ; 0 ; 1 ) } là hệ độc lập tuyến tính vì hai vectơ trong hệ không tỷ suất với nhau. Vậy, { ( 1 ; 0 ; 0 ), ( 0 ; 0 ; 1 ) } là một cơ sở của F và dim F 2  .b ) Lấy ( x ; 0 ; 1 ), ( y ; 0 ; 1 ) F 11 , ta có( x ; 0 ; 1 ) ( y ; 0 ; 1 ) ( x 1  1   1 y ; 0 ; 2 ) F 1  .Suy ra F không là không gian vectơ con của không gian R 3 .c ) FR  3, F   vì ( 0, 0, 0 ) F  .Lấy ( a ; b ; a 1 1 1  2 b ), ( a ; b ; a 1 2 2 2   2 b ) F 2, ta có( a ; b ; a 1 1 1   2 b ) ( a ; b ; a 1 2 2 2    2 b ) ( a 2 1 a ; b 2 1  b ; ( a 2 1     a ) 2 ( b 2 1 b ) ) F 2.  ( a ; b ; a 1 1 1         2 b ) ( a ; b ; a 1 1 1 1 2 b ) F 1 .Suy ra F là một không gian vectơ con của không gian R 3. Lấy ( a ; b ; a 2 b ) F  , ta có( a ; b ; a 2 b ) a ( 1 ; 0 ; 1 ) b ( 0 ; 1 ; 2 )    .  { ( 1 ; 0 ; 1 ), ( 0 ; 1 ; 2 ) }  là một hệ sinh của F .Mặt khác, hai vectơ ( 1 ; 0 ; 1 ), ( 0 ; 1 ; 2 )  không tỷ suất với nhau nên nó là hệ độc lập tuyến tính .

Vậy, (1; 0;1), (0;1; 2)  là một cơ sở của F và dim F 2.

d ) Lấy x  (, , ), x x x 1 2 3 y  (, , ) y y y 1 2 3  F, ta cóx y    ( x 1 y x 1, 2  y x 2, 3  y 3 )và1 2 3 1 2 32 1 2 1       x x x y y y. Suy ra ( x 1  y 1 )  2 ( x 2  y 2 )  ( x 3  y 3 )   ( x 1 2 x 2  x 3 ) (  y 1   2 y 2 y 3 )  2. Vậy x   y F, tức là F không là không gian vectơ con của không gian R 3 .

Bài 3. Tìm cơ sở và số chiều của không gian con F của R 3 sinh bởi hệ véc tơ sau

a) U = {u 1 = (- 1 ; 2 ; -3)}
b) U = {u 1 = (1 ; – 1 ; 2) ; u 2 = (-3 ; 0 ; 1)}
c) U = {u 1 = (1 ; 2 ; 1) ;u 2 = (- 1 ;- 3 ; 4) ; u 3 = (0 ; – 1 ; 5) }
d) U = {u 1 = (-1 ; 1 ; – 3) ; u 2 = (0 ; 0 ; 0) ; u 3 = (-1 ; 0 ; – 4)}
e) U = {u 1 = (1 ; 0 ; 0) ; u 2 = (1 ; -1 ; 0) ; u 3 = (1 ; 1 ; -1) ;u 4 = (1 ; – 2 ; – 3)}
f) U = {u 1 = (1 ; 0 ; 0) ; u 2 = (1 ; – 1 ; 0) ; u 3 = (-1 ; 1 ; 1)}
Giải. F L(U).

1 0 0 A 110 1 1 1 1 2 3                .Sử dụng những phép biến hóa sơ cấp trên dòng để đưa A về ma trận bậc thang như sau :D1 ( 1 ) Di, i 2,3 ,1 0 0 1 0 0 A 110010 1 1 1 0 1 1 1 2 3 0 2 3                                          D 2 D3D 2 ( 2 ) D 4 D3 ( 3 ) D 41 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 3 0 0 0                                              .Vậy dim F r ( U ) r ( A ) 3   . Một cơ sở của F là

{(1; 0; 0); (0; 1; 0), (0; 0; 1)} hoặc {}u 1  1 ; 0 ; 0 ; u  2  1 ; 1 ; 0 ; u   3  1 ; 1 ; 1 .

f ) Ta có dim F r ( U ) . Hạng của U bằng hạng của ma trận sau1 0 0 A 1 1 0 1 1 1            .Sử dụng những phép đổi khác sơ cấp trên dòng để đưa A về ma trận bậc thang như sau : 100 D1 ( 1 ) D 2D1 D3 100 D 2 D3 1 0 0 A 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1                                                 .Vậy dim F r ( U ) r ( A ) 3   . Một cơ sở của F là :

{(1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0;1)} hoặc u 1  1 ; 0 ; 0 ; u  2  1 ; 1 ; 0 ; u   3    1 ; 1 ; 1.

Bài 3. Tìm m để hệ véc tơ sau là cơ sở của không gian R 3

a) U = {u 1 = (3; 1; m); u 2 = (1; 1; 0) ; u 3 = ( 2; 1; m)}
b) U = {u 1 = (1; – 2; 2); u 2 = (0; 1; -1) ; u 3 = (1; -1; m)}
Giải.

a ) Hệ vectơ U là một tập con của R 3 và có 3 vectơ. Vậy, để U là một cơ sở của không gian R 3 thì U phải là hệ độc lập tuyến tính, điều đó có nghĩa là3 1 m 1 1 0 0 m 0 2 1 m   .b ) Hệ vectơ U là một tập con của R 3 và có 3 vectơ. Vậy, để U là một cơ sở của không gian R 3 thì U phải là hệ độc lập tuyến tính, điều đó có nghĩa là1 2 2 0 1 1 0 m 1 0 m 1 1 1 m        .

Bài 3. Cho tập F ( ; ; ) x y z  R ax by z 3 :   0;, a b R  

a) Chứng minh rằng F là không gian con của R 3
b) Tìm dim F
Giải.

# # # # # # # a ) Vì    ( 0, 0, 0 ) F nên F  . Lấy u  (, , ), x y z v 1 1 1  (, , ) x y z 2 2 2  F,  , ta có1 1 1 2 2 20 0ax by z ax by z         .Mặt khác# # # # # # # u v    ( x 1 x y 2, 1  y z 2, 1  z 2 ),     u  ( x 1, y 1, z 1 ) .Ta lại có 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )0 ( 0a x x b y y z z ax by z ax by z# # # # # # # a  x b  y  z  ax by z                    .# # # # # # # Suy ra u v F u  ,   F. Vậy F là không gian vectơ con của R 3 .b ) Lấy u   (, , ) x y z F thì u   (, , x y ax by ). Ta có u  (, , x y ax by   ) x ( 1 ; 0 ; ) a  y ( 0 ; 1 ; ) b. Suy ra { ( 1 ; 0 ; ), ( 0 ; 1 ; ) } ab là một hệ sinh của F. Mặt khác, hệ { ( 1 ; 0 ; ), ( 0 ; 1 ; ) } ab độc lập tuyến tính nên { ( 1 ; 0 ; ), ( 0 ; 1 ; ) } ab là một cơ sở của F và dim F  2 .

Bài 3. Cho tập


            x y 0 F ) z ; y ; x ( R 3 : x y2 mz 0 ( m là tham số )

a) Chứng minh rằng F là không gian con của R 3
b) Tìm dimF
Giải.

# # # # # # # a ) Vì    ( 0, 0, 0 ) F nên F  . Lấy u  (, , ), x y z v 1 1 1  (, , ) x y z 2 2 2  F và  . Ta có

Ta lại có
1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2
1 1 1 1 1 1

2 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 2 3 2 ) 2 3 2 ) 2 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 2 3 2 )( ( 0 ( 0                   x x y y z z x y z x y z# # # # # # #   x  y z  x y z .# # # # # # # Suy ra u v F u  ,   F. Vậy F là không gian vectơ con của R 3 .b ) Lấy u   (, , ) x y z F thì u         x y x, , 32 y. Ta có,, 33 ( 1, 0,1 ) 0,1, 22              u  x y x y  x y   .Suy ra     ( 1, 0,1 ), 0,1,      32    là một hệ sinh của F. Mặt khác, hệ     ( 1, 0,1 ), 0,1,      32    độclập tuyến tính nên     ( 1, 0,1 ), 0,1,      32    là một cơ sở của F và dim F  2 .

Bài 3. Cho hệ v éc tơ a 1 = (2; 1; 0); a 2 = (-1; 1; 1); a 3 = (1; 2; -1) và các v éc tơ
b 1 = a 1 – a 2 ; b 2 = 2a 2 – a 3 ; b 3 = a 1 – 2a 3.
a) Xét sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của hệ véc tơ {b 1, b 2, b 3 }
b) Biểu diễn véc tơ x = (3; 1; -1) qua hệ véc tơ {b 1, b 2, b 3 }
Giải.
a) Ta có
b 1    (3; 0; 1), b 2 ( 3; 0;3), b 3  (0; 3; 2).
3 0 1
3 0 3 18 0
0 3 2

    .

Vậy hệ b, b, b 1 2 3  độc lập tuyến tính.

b ) Giả sử x x    1 b 1 x b2 2 x3 3 b. Khi đó, ta có hệ phương trình tuyến tính1 12 32 1 2 3 3x 4 3 x 3 x 3 3 3 x 1 x 1 x 3 x 2 x 1 3 x 1 3                           .Vậy, x    43 b 1 13 b 2 13 b 3 .

Bài 3. Cho E, F là các không gian véc tơ con của Rn. Hỏi EF có là không gian
con của Rn hay không?

Giải. Ta lấy ví dụ về hợp của hai không gian vectơ con của Rn không phải là không
gian vectơ con của Rn.
Xét 11
n

E   ( x, 0, 0, …, 0 ) | x R thμnh phÇn{ } và 22 nF   ( 0, x, 0, …, 0 ) | x R thμnh phÇn{ }. Rõ ràng E và F là haikhông gian vectơ con của Rn. Ta thấynn( 1, 0, 0, …, 0 ), ( 0,1, 0, …, 0 ) E   F thμnh phÇn thμnh phÇn nhưngnn( 1, 0, 0, …, 0 ) ( 0,1, 0, …, 0 ) ( 1,1, 0, …, 0 ) E     F thμnh phÇn thμnh phÇn.Vậy EF  không phải là không gian vectơ con của Rn .

Bài 3. Trong R 4, cho hệ véc tơ

U = {u 1 =(-1; 2;1;2); u 2 =(1; m; 1; 3); u 3 =(1; -1; -1; -1); u 4 =(-1; 2; m; 2);
u 5 =(1; 1; -1; 1)}
Tìm một cơ sở không gian con L(U).
Giải. Trước hết ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đối với ma trận sau

D1 Di, i 2,3,5 D1 ( 1 ) D 41 2 1 2 1 2 1 2 1 m 1 3 0 m 2 2 5 A 1 1 1 1 0 1 0 1 1 2 m 2 0 0 m 1 0 1 1 1 1 0 3 0 3                                                   D3 ( 3 ) D5 D 2 D1 2 1 2 1 2 1 2 0 m 2 2 5 0 1 0 1 0 1 0 1 0 m 2 2 5 0 0 m 1 0 0 0 m 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0                                                   .D 2 ( m 2 ) D3 D3 m1 2 D 41 2 1 2 1 2 1 2 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 2 3 m 0 0 2 3 m B 0 0 m 1 00 0 0 ( m 1 ) ( m 3 ) 0 0 0 0 2 0 0 0 0                                                                   .Xét ma trận B .D1 ( 2 ) D 2D1 ( 2 ) D D1 D 2 D1 ( 1 ) D 42 3 3 1 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 3 3 2 3 3 1 0 5 3 7 2 3 1 a 2 3 1 a 0 5 5 a 6 1 1 b 1 1 1 b 1 0 0 b 3 2                         D 2 ( 1 ) D1133537 053702 a 1 5 2 a 1 5 ( 7 ab 3 a b ) 0 0 2 a 1 0 b 3 2 b 3 2 0 0 b 3 2                             .Vậy, để U là một cơ sở của R 4 thì 7 ab 3 a b     0. b ) Với a = – 1, b = 2 thì hệ U trở thành U = { u 1 = ( 2 ; 3 ; 3 ; – 1 ) ; u 2 = ( 1 ; – 1 ; 3 ; 3 ) ; u 3 = ( 2 ; 3 ; 1 ; – 1 ) ; u 4 = ( 1 ; – 1 ; 2 ; 1 ) } Giả sử X x u     1 1 x u 2 2 x u3 3 x u 4 4. Từ đó, ta có hệ phương trình tuyến tính sau1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 2 3 4 3 1 2 3 4 42 x x 2 x x 2 x 3 x x 3 x x 3 x 3 x 3 x x 2 x 0 x x 3 x x x 1 x                                      Vậy X      u 1 u 2 2 u 3 u 4 .

Bài 3. Cho các tập con của R 3 :

E )z;y;x( R 3 x:  y2 z 0 

              x2 y3 mz 0 F ) z ; y ; x ( R 3 : x y z2 0

Tìm m để EF là không gian con của R 3 có số chiều bằng 1.
Giải. Ta có

3x 2 y z 0 E F = ( x ; y ; z ) R : x y 2 z 0 2 x 3 y mz 0                         .Cách 1 : 3x 2 y z 0 E F = ( x ; y ; z ) R : y z 0 ( m 3 ) z 0                       + ) Trường hợp m3  : E  F = { ( 0 ; 0 ; 0 ) }  dim ( E  F ) = 0 .+ ) Trường hợp m3  :

EF= (x; y ; z) R :  3 x 2y z 0 y z 0    ( 3z; z ; z) :z R 

  Lấy u E   F thì u ( 3 z ; z ; z ) z ( 3 ; 1 ; 1 )      . Vậy, { ( 3 ; 1 ; 1 ) }   là một hệ sinh của EF . Mặt khác, { ( 3 ; 1 ; 1 ) }   là hệ độc lập tuyến tính. Suy ra { ( 3 ; 1 ; 1 ) }   là một cơ sởcủa EF . Vậy dim ( E   F ) 1. Vậy, giá trị của m cần tìm là : m3 . Cách 2 : Số chiều của E  F chính là số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình thuần nhất x 2 y z 0 x y 2 z 0 2 x 3 y mz 0             .Mà số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình thuần nhất bằng : số ẩn của hệ phương trình – hạng của ma trận thông số A = 3 – r ( A ), với 1 2 1 A 1 1 2 2 3 m             .Vậy, để số chiều của E  F bằng 1 thì r ( A ) phải bằng 2. Ta sử dụng những phép đổi khác sơ cấp để đưa ma trận A về ma trận bậc thang như sau : 121 D1 ( 1 ) D 2D1 ( 2 ) D3 121 D1 ( 1 ) D3 1 2 1 A 1 1 2 0 1 1 0 1 1 2 3 m 0 1 m 2 0 0 m 3                                                         .

Để r(A) 2 thì m 3 0 hay m3.
Bài 3. Trong R 4, cho hệ véc tơ
U = {u 1 = (1; 2; a; 1); u 2 = (a; 1; 2; 3); u 3 = (0; 1; b; 0)}
a) Xác định a, b để hệ U là phụ thuộc tuyến tính.
b) Với a, b tìm được, hãy t ìm một cơ sở và số chiều của L(U).
Giải.
a) Để U phụ thuộc tuyến tính thì r(U) 3. Hạng của U bằng hạng của ma trận sau:

D1 ( a ) D 2 21 2 a 1 1 2 a 1 A a 1 2 3 0 1 2 a 2 a 3 a 0 1 b 0 0 1 b 0                                ( 1 ; 1 ; 1 ; 1 )    ( 1 ; 0 ; 0 ; 1 ) ( 0 ; 1 ; 1 ; 2 ) . Do đó ( x z ; y ; y z ; x 2 y ) x ( 1 ; 0 ; 0 ; 1 ) y ( 0 ; 1 ; 1 ; 2 ) z ( 1 ; 0 ; 1 ; 0 )         ( x 1 ) ( 1 ; 0 ; 0 ; 1 ) ( y 1 ) ( 0 ; 1 ; 1 ; 2 ) z ( 1 ; 0 ; 1 ; 0 ) ( ( 1 ; 0 ; 0 ; 1 ) ( 0 ; 1 ;       1 ; 2 ) )   ( x 1 ) ( 1 ; 0 ; 0 ; 1 ) ( y 1 ) ( 0 ; 1 ; 1 ; 2 ) z ( 1 ; 0 ; 1 ; 0 ) ( 1 ; 1 ; 1 ; 1 )      Vậy V là một hệ sinh của F. b )

• Tìm một cơ sở của F:
  Lấy (x z; y; y z; x 2y) F   , ta có

( x z ; y ; y z ; x 2 y ) x ( 1 ; 0 ; 0 ; 1 ) y ( 0 ; 1 ; 1 ; 2 ) z ( 1 ; 0 ; 1 ; 0 )      Suy ra { ( 1 ; 0 ; 0 ; 1 ), ( 0 ; 1 ; 1 ; 2 ), ( 1 ; 0 ; 1 ; 0 ) } là một hệ sinh của F .Ta tính hạng của hệ { ( 1 ; 0 ; 0 ; 1 ), ( 0 ; 1 ; 1 ; 2 ), ( 1 ; 0 ; 1 ; 0 ) } .D1 ( 1 ) D1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 2 0 1 1 2 1 0 1 0 0 0 1 1                           

r {(1; 0; 0;1), (0;1;1; 2), (1; 0;1; 0)} =3   hệ {(1; 0; 0;1), (0;1;1; 2), (1; 0;1; 0)}độc lập

tuyến tính  hệ { ( 1 ; 0 ; 0 ; 1 ), ( 0 ; 1 ; 1 ; 2 ), ( 1 ; 0 ; 1 ; 0 ) } là một cơ sở của F .

• Tìm hạng của V:
  Cách 1: Do hệ {(1; 0; 0;1), (0;1;1; 2), (1; 0;1; 0)}độc lập tuyến tính và

( 1 ; 1 ; 1 ; 1 )    ( 1 ; 0 ; 0 ; 1 ) ( 0 ; 1 ; 1 ; 2 ) 0. ( 1 ; 0 ; 1 ; 0 )    hệ { ( 1 ; 0 ; 0 ; 1 ), ( 0 ; 1 ; 1 ; 2 ), ( 1 ; 0 ; 1 ; 0 ) } là một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của V .Vậy r ( V ) 3.  Cách 2 : Hạng của V là hạng của ma trận sau :D1 ( 1 ) D3D1 D 4 D 2 ( 1 ) D 41 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 2 0 0 0 0                                                       Vậy r ( V ) 3. c ) Kiểm tra véc tơ a = ( 1 ; 1 ; 1 ; 3 ) có phải là một tổng hợp tuyến tính của V hay không. Giả sử

a  1; 1; 1; 3  x 1 1; 0; 0; 1 x 0; 1; 1; 2 2  x 1; 0; 1; 0 3   x 4 1; 1; 1 1; 

1 3 4 24 234 1 2 4x x x 1 x x 1 x x x 1 x 2 x x 3                  ( * )D1 ( 1 ) D 41 0 1 1 : 1 1 0 1 1 : 1 0 1 0 1 : 1 0 1 0 1 : 1 0 1 1 1 : 1 0 1 1 1 : 1 1 2 0 1 : 3 0 2 1 2 : 2                                  D 2 ( 1 ) D3D 2 ( 2 ) D 4 D3 D 4

1 0 1 1 : 1 1 0 1 1 : 1
0 1 0 1 : 1 0 1 0 1 : 1
0 0 1 0 : 0 0 0 1 0 : 0
0 0 1 0 : 0 0 0 0 0 : 0

                                          Vậy, hạng của ma trận thông số của hệ ( ) bằng hạng của ma trận bổ trợ của hệ ( ) và bằng 3. Suy ra hệ ( * ) có vô số nghiệm. Điều đó có nghĩa là vectơ a = ( 1 ; 1 ; 1 ; 3 ) là một tổng hợp tuyến t ính của những vectơ của V .

Source: https://vh2.com.vn
Category : Trái Đất