Đồ họa của Tech Insider cho thấy những lục địa sẽ hợp nhất thành một dải đất duy nhất trong vòng 250 triệu năm tới . Bạn đang đọc: Các...
Xác định thiết diện của hình đa diện khi cắt bởi mặt phẳng – https://vh2.com.vn
Dạng 1: Thiết diện của hình đa diện với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ biết $\left( \alpha \right)$ đi qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng.
Phương pháp:
+ Xác định giao tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ với từng mặt của hình đa diện.
+ Nối các đoạn giao tuyến lại ta được thiết diện cần tìm.
Ví dụ 1: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $BD$; $E$ là một điểm thuộc cạnh $AD$ khác với $A$ và $D$. Xác định thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng $\left( IJE \right)$.
Ta có:
$\left( {IJE} \right) \cap \left( {BCD} \right) = IJ$ $\left( 1 \right).$
$\left( {IJE} \right) \cap \left( {ABD} \right) = EJ$ $\left( 2 \right).$
Tìm $\left( {IJE} \right) \cap \left( {ACD} \right)$:
$E \in \left( {IJE} \right) \cap \left( {ACD} \right).$
$IJ \subset \left( {IJE} \right)$, $CD \subset \left( {ACD} \right).$
Vì $IJ$ là đường trung bình của tam giác $BCD$ nên $IJ//CD$ $ \Rightarrow \left( {IJE} \right) \cap \left( {ACD} \right) = Ex$ với $Ex$ là đường thẳng đi qua $E$ và song song với $IJ$ và $CD.$
Gọi $F = Ex \cap AC.$
Khi đó: $\left( {IJE} \right) \cap \left( {ACD} \right) = EF$ $\left( 3 \right).$
Ta có: $\left( {IJE} \right) \cap \left( {ABC} \right) = IF$ $\left( 4 \right).$
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right),\left( 4 \right)$ suy ra thiết diện của hình tứ diện $ABCD$ khi cắt bởi mặt phẳng $\left( IJE \right)$ là hình thang $IJEF.$
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $A’B’$, $CC’$. Dựng thiết diện của hình lăng trụ với mặt phẳng $\left( {AMN} \right).$
Ta có:
$\left( {AMN} \right) \cap \left( {ABB’A’} \right) = AM$ $\left( 1 \right).$
$\left( {AMN} \right) \cap \left( {ACC’A’} \right) = AN$ $\left( 2 \right).$
Tìm $\left( {AMN} \right) \cap \left( {A’B’C’} \right):$
$M \in \left( {AMN} \right) \cap \left( {A’B’C’} \right).$
Gọi $P = AN \cap A’C’$ $ \Rightarrow P \in \left( {AMN} \right) \cap \left( {A’B’C’} \right).$
Suy ra $\left( {AMN} \right) \cap \left( {A’B’C’} \right)$ $ = MP = MQ$ (với $Q = MP \cap B’C’$) $\left( 3 \right).$
Khi đó: $\left( {AMN} \right) \cap \left( {BCC’B’} \right) = NQ$ $\left( 4 \right).$
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right),\left( 4 \right)$ suy ra thiết diện là tứ giác $AMQN.$
Dạng 2: Thiết diện của một hình đa diện với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$, biết $\left( \alpha \right)$ chứa $a$ và song song với đường thẳng $b.$
Phương pháp:
+ Chọn mặt phẳng $\left( \beta \right) \supset b.$
+ Tìm một điểm chung $M$ của hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right).$
+ Tìm ${M_x} = \left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right)$, khi đó ${M_x}\parallel a\parallel b.$
+ Xác định giao tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ với các mặt của hình đa diện.
+ Nối các đoạn giao tuyến lại ta được thiết diện cần tìm.
Ví dụ 3: Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình thang với các cạnh đáy là $AB$ và $CD$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$. $G$ là trọng tâm của $\Delta SAB$. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng $\left( IJG \right)$.
Do $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$ nên $IJ||AD||BC.$
Vậy $\left( {IJG} \right)$ là mặt phẳng có chứa một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước $\left( {AB} \right).$
Chọn mặt phẳng $\left( {SAB} \right) \supset AB.$
$G$ là điểm chung của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {IJG} \right).$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
AB \subset \left( {SAB} \right)\\
IJ \subset \left( {IJG} \right)\\
G \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {IJG} \right)\\
AB\parallel IJ
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( {IJG} \right)$ $ = {G_x}\left( {{G_x}\parallel AB\parallel IJ} \right).$
Giả sử ${G_x}$ cắt $SA$ tại $M$ và cắt $SB$ tại $N$, khi đó: $\left( {SAB} \right) \cap \left( {IJG} \right) = MN$, $\left( {SAD} \right) \cap \left( {IJG} \right) = MI$, $\left( {SBC} \right) \cap \left( {IJG} \right) = NJ$, $\left( {ABCD} \right) \cap \left( {IJG} \right) = IJ.$
Vậy thiết diện cần tìm là hình thang $MNIJ.$
Ví dụ 4: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$. Gọi $K$ là một điểm trên cạnh $BD$. Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng $\left( IJK \right)$.
Do $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC.$ Nên suy ra $IJ\parallel AB.$
Vậy $\left( {IJK} \right)$ là mặt phẳng chứa một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước $\left( {AB} \right).$
Chọn mặt phẳng $\left( {ABC} \right) \supset AB.$
$\left\{ \begin{array}{l}
K \in BD\\
BD \subset \left( {ABD} \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow K \in \left( {ABD} \right)$, suy ra $K$ là điểm chung của hai mặt phẳng $\left( {IJK} \right)$ và $\left( {ABD} \right).$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
AB \subset \left( {ABD} \right)\\
IJ \subset \left( {IJK} \right)\\
AB\parallel IJ\\
K \in \left( {ABD} \right) \cap \left( {IJK} \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left( {ABD} \right) \cap \left( {IJK} \right) = {K_x}$ $\left( {{K_x}\parallel AB\parallel IJ} \right).$
Giả sử ${K_x}$ cắt $AD$ tại $H$, khi đó: $\left( {ABD} \right) \cap \left( {IJK} \right) = KH$, $\left( {CAD} \right) \cap \left( {IJK} \right) = IH$, $\left( {CDB} \right) \cap \left( {IJK} \right) = JK$, $\left( {CAB} \right) \cap \left( {IJK} \right) = IJ.$
Vậy thiết diện cần tìm là hình thang $IJKH.$
Dạng 3: Thiết diện của hình đa diện với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$, biết mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua $M$ và song song với hai đường thẳng $a$ và $b.$
Phương pháp:
+ Qua $\left( \alpha \right)$ kẻ hai đường thẳng $\left( \alpha \right)$lần lượt song song với hai đường thẳng $\left( \alpha \right)$
+ Tìm điểm chung của $\left( \alpha \right)$với một mặt nào đó của hình đa diện
+ Mặt phẳng nào chứa điểm chung và chứa đường thẳng $\left( \alpha \right)$hoặc $\left( \alpha \right)$thì tiếp tục kẻ đường thẳng qua điểm chung và song song với đường thẳng $\left( \alpha \right)$hoặc $\left( \alpha \right)$cho đến khi thiết diện được hình thành.
Ví dụ 5: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành. Một mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua $O$, song song với $SA,CD$. Tìm thiết diện tạo bởi $\left( \alpha \right)$ và hình chóp.
Tìm $\left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right)$:
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
O \in \left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right)\\
CD\parallel \left( \alpha \right)\\
\left( {ABCD} \right) \supset CD
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN$ $\left( 1 \right)$, với $MN$ là đoạn thẳng qua $O$ và song song với $CD$, $\left( {M \in BC,N \in AD} \right).$
Tìm $\left( \alpha \right) \cap \left( {SAD} \right)$:
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
N \in \left( \alpha \right) \cap \left( {SAD} \right)\\
SA\parallel \left( \alpha \right)\\
\left( {SAD} \right) \supset SA
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {SAD} \right) = NP$ $\left( 2 \right)$ với $NP\parallel SA$ $\left( {P \in SD} \right).$
Tìm $\left( \alpha \right) \cap \left( {SCD} \right)$:
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
P \in \left( \alpha \right) \cap \left( {SCD} \right)\\
CD\parallel \left( \alpha \right)\\
\left( {SCD} \right) \supset CD
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {SCD} \right) = MQ$ $\left( 3 \right)$ với $PQ\parallel CD$ $\left( {Q \in SC} \right).$
Ta có: $\left( \alpha \right) \cap \left( {SBC} \right) = MQ$ $\left( 4 \right).$
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right),\left( 4 \right)$ suy ra thiết diện cần tìm là tứ giác $MNPQ.$
Ta lại có: $MN\parallel CD\parallel QP.$ Vậy thiết diện cần tìm là hình thang $MNPQ.$
Ví dụ 6: Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình thang cân có $AD$ không song song với $BC$. Gọi $M$ là trung điểm của $AD$ và $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua $M$, song song với $SA,BD$. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $\left( \alpha \right).$
Tìm $\left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right)$:
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
M \in \left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right)\\
BD\parallel \left( \alpha \right)\\
\left( {ABCD} \right) \supset BD
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN$ $\left( 1 \right)$ với $MN\parallel BD$ $\left( {N \in AB} \right)$ ($N$ là trung điểm của $AB$).
Tìm $\left( \alpha \right) \cap \left( {SAD} \right)$:
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
M \in \left( \alpha \right) \cap \left( {SAD} \right)\\
SA\parallel \left( \alpha \right)\\
\left( {SAD} \right) \supset SA
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {SAD} \right) = MR$ $\left( 2 \right)$ với $MR\parallel SA$ $\left( {R \in SD} \right)$ ($R$ là trung điểm của $SD$).
Tìm $\left( \alpha \right) \cap \left( {SAB} \right)$:
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
N \in \left( \alpha \right) \cap \left( {SAB} \right)\\
SA\parallel \left( \alpha \right)\\
\left( {SAB} \right) \supset SA
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {SCD} \right) = NP$ $\left( 3 \right)$ với $NP\parallel SA$ $\left( {P \in SB} \right)$ ($P$ là trung điểm của $SB$).
Tìm $\left( \alpha \right) \cap SC$:
Gọi $I$ là giao điểm của $MN$ với $AC.$
Chọn mặt phẳng phụ $\left( {SAC} \right) \supset SC.$
Tìm $\left( \alpha \right) \cap \left( {SAC} \right)$:
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
I \in \left( \alpha \right) \cap \left( {SAC} \right)\\
SA\parallel \left( \alpha \right)\\
\left( {SAC} \right) \supset SA
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {SAC} \right) = IQ$ với $IQ\parallel SA$ $\left( {Q \in SC} \right).$
Suy ra $\left( \alpha \right) \cap SC = Q.$
Do đó ta có:
$\left( \alpha \right) \cap \left( {SCD} \right) = RQ$ $\left( 4 \right).$
$\left( \alpha \right) \cap \left( {SCB} \right) = PQ$ $\left( 5 \right).$
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right),\left( 4 \right),\left( 5 \right)$ suy ra thiết diện cần tìm là ngũ giác $MNPQR.$
[ads]
Dạng 4: Thiết diện của hình đa diện với mặt phẳng $(\alpha )$ biết $(\alpha )$ đi qua một điểm cho trước và song song với mặt phẳng $(\beta ).$
Phương pháp:
+ Chọn mặt phẳng $(\gamma )$ chứa điểm thuộc mặt phẳng $(\alpha )$ sao cho giao tuyến của $(\beta )$ và $(\gamma )$ là dễ tìm.
+ Xác định giao tuyến $d=(\beta )\cap \left( \gamma \right).$
+ Kết luận giao tuyến của $(\alpha )$ và $(\gamma )$ là đường thẳng qua điểm thuộc $(\alpha )$ và song song $d.$
+ Tiếp tục làm quá trình này cho đến khi thiết diện được hình thành.
Ví dụ 7: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $E$ là một điểm nằm trên cạnh $AB.$ Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng $(\alpha )$ với $(\alpha )$ là mặt phẳng qua $E$ và $(\alpha )\parallel (BCD).$
Tìm $(\alpha ) \cap (ABC)$:
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
(ABC) \cap (BCD) = BC\\
(\alpha )\parallel (BCD)\\
E \in (\alpha ) \cap (ABC)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow (\alpha ) \cap (ABC) = EF$ $(1)$, với $EF$ là đoạn thẳng qua $E$ và song song với $BC.$
Tìm $(\alpha ) \cap (ABD)$:
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
(ABD) \cap (BCD) = BD\\
(\alpha )\parallel (BCD)\\
E \in (\alpha ) \cap (ABD)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow (\alpha ) \cap (ABD) = EG$ $(2)$, với $EG$ là đoạn thẳng qua $E$ và song song $BD.$
Nối đoạn $FG$ ta có: $(\alpha ) \cap (ACD) = FG$ $(3).$
Từ $(1),(2),(3)$ suy ra thiết diện cần tìm là tam giác $EFG.$
Ví dụ 8: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cạnh đáy $AD$, $AD
Tìm $(\alpha ) \cap (ABCD)$:
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
(ABCD) \cap (SAD) = AD\\
(\alpha )\parallel (SAD)\\
M \in (\alpha ) \cap (ABCD)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow (\alpha ) \cap (ABCD) = MN$ $(1)$, với $MN$ là đoạn thẳng qua $M$ song song $AD.$
Tìm $(\alpha ) \cap (SAB)$:
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
(SAB) \cap (SAD) = SA\\
(\alpha )\parallel (SAD)\\
M \in (\alpha ) \cap (SAB)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow (\alpha ) \cap (SAB) = MK$ $(2)$, với $MK$ là đoạn thẳng qua $M$ song song $SA.$
Tìm $(\alpha ) \cap (SCD)$:
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
(SCD) \cap (SAD) = SD\\
(\alpha )\parallel (SAD)\\
N \in (\alpha ) \cap (SCD)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow (\alpha ) \cap (SCD) = NP$ $(3)$, với $NP$ là đoạn thẳng qua $N$ song song $SD.$
Nối đoạn $KP$ ta có: $(\alpha ) \cap (SBC) = KP$ $(4).$
Từ $(1),(2),(3),(4)$ suy ra thiết diện cần tìm là tứ giác $MNPK.$
Dạng 5: Thiết diện của hình đa diện với mặt phẳng $(\alpha )$ biết $(\alpha )$ qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Phương pháp: Để tìm thiết diện của khối đa diện $S$ với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$, biết $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M$ cho trước và vuông góc với đường thẳng $d$ cho trước, làm như sau:
+ Tìm hai đường thẳng cắt nhau hay chéo nhau $a,b$ cùng vuông góc với $d$.
+ Xác định mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ theo một trong bốn trường hợp:
$(I)$: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a \subset \left( \alpha \right)}\\
{b \subset \left( \alpha \right)}\\
{M \in \left( \alpha \right)}
\end{array}} \right.$
$(II)$: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a//\left( \alpha \right)}\\
{b//\left( \alpha \right)}\\
{M \in \left( \alpha \right)}
\end{array}} \right.$
$(III)$: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a \subset \left( \alpha \right)}\\
{b//\left( \alpha \right)}\\
{M \in \left( \alpha \right)}
\end{array}} \right.$
$(IV)$: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a//\left( \alpha \right)}\\
{b \subset \left( \alpha \right)}\\
{M \in \left( \alpha \right)}
\end{array}} \right.$
Ví dụ 9: Cho hình tứ diện $SABC$ có $ABC$ là tam giác đều. $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$. Gọi $E$ là trung điểm của $AC$, $M$ là một điểm thuộc $AE$. Xác định thiết diện tạo bởi tứ diện $SABC$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$, biết $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua điểm $M$ và vuông góc với $AC$.
Tìm hai đường thẳng không song song cùng vuông góc với $AC.$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{SA \bot \left( {ABC} \right)}\\
{AC \subset \left( {ABC} \right)}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow SA \bot AC.$
Xét tam giác đều $ABC$, ta có $E$ là trung điểm của $AC$ nên $BE$ sẽ vuông góc với $AC$.
Vậy ta có hai đường thẳng $SA$ và $BE$ là hai đường thẳng không song song cùng vuông góc với $AC$.
Xác định mặt phẳng $\left( \alpha \right)$:
Do $\left( \alpha \right)$ qua $M$ và $M\notin SA$, $M\notin BE$ nên $\left( \alpha \right)$ sẽ được xác định theo cách: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{SA||\left( \alpha \right)}\\
{BE||\left( \alpha \right)}\\
{M \in \left( \alpha \right)}
\end{array}} \right.$
Khi đó:
Trong $\left( ABC \right)$ dựng $Mx||BE$ cắt $AB$ tại $N$ (ta được $MN\bot AC$).
Trong $\left( SAC \right)$ dựng $My||SA$ cắt $SC$ tại $P$ (ta được $MP\bot AC$).
Trong $\left( SAB \right)$ dựng $Nz||SA$ cắt $SB$ tại $Q$ (ta được $NQ\bot AC$).
Xác định thiết của $\left( \alpha \right)$ với tứ diện $SABC$:
Ta có:
$\left( SAB \right)\cap \left( \alpha \right)=NQ.$
$\left( SAC \right)\cap \left( \alpha \right)=NP.$
$\left( SBC \right)\cap \left( \alpha \right)=PQ.$
$\left( ABC \right)\cap \left( \alpha \right)=MN.$
Vậy thiết diện cần tìm là hình thang vuông $MNPQ$.
Ví dụ 10: Cho hình tứ diện $SABC$ có $ABC$ là tam giác đều. $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$. Lấy một điểm $M$ bất kì trên cạnh $SC$, gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua $M$ và vuông góc với $AB$. Hãy xác định thiết diện tạo bởi tứ diện $SABC$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.
Tìm hai đường thẳng không song song cùng vuông góc với $AB.$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{SA \bot \left( {ABC} \right)}\\
{AB \subset \left( {ABC} \right)}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow SA \bot AB.$
Xét tam giác đều $ABC$, ta có $I$ là trung điểm của $AB$nên $CI$ sẽ vuông góc với $AB$.
Vậy ta có hai đường thẳng $SA$ và $CI$ là hai đường thẳng không song song cùng vuông góc với $AB$.
Xác định mặt phẳng $\left( \alpha \right)$:
Do $\left( \alpha \right)$ qua $M$và $M\notin SA$, $M\notin CI$ nên $\left( \alpha \right)$ sẽ được xác định theo cách: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{SA//\left( \alpha \right)}\\
{CI//\left( \alpha \right)}\\
{M \in \left( \alpha \right)}
\end{array}} \right.$
Khi đó:
Trong $\left( SAC \right)$ dựng $Mx//SA$ cắt $AC$ tại $N$ (ta được $MN\bot AB$).
Trong $\left( ABC \right)$ dựng $Ny//CI$ cắt $AB$ tại $P$ (ta được $NP\bot AB$).
Trong $\left( SAB \right)$ dựng $Pz//SA$ cắt $SB$ tại $Q$ (ta được $PQ\bot AB$).
Xác định thiết của $\left( \alpha \right)$ với tứ diện $SABC$:
Ta có:
$\left( SAB \right)\cap \left( \alpha \right)=PQ.$
$\left( SAC \right)\cap \left( \alpha \right)=MN.$
$\left( SBC \right)\cap \left( \alpha \right)=QM.$
$\left( ABC \right)\cap \left( \alpha \right)=NP.$
Vậy thiết diện cần tìm là hình thang vuông $MNPQ$.
Dạng 6: Thiết diện của hình đa diện với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ biết $\left( \alpha \right)$ chứa đường thẳng $d$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( \beta \right)$.
Phương pháp:
+ Từ một điểm $M\in d$ ta dựng đường thẳng $a$ qua $M$ và vuông góc với $(\beta )$. Khi đó: $\left( \alpha \right)=\left( d,a \right).$
+ Tìm giao tuyến của $\left( \alpha \right)$ với các mặt của hình đa diện.
Ví dụ 11: Cho tứ diện $SABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $SA\bot \left( ABC \right)$. Gọi $E$ là trung điểm cạnh $SC$, $M$ là một điểm trên cạnh $AB$. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng chứa $EM$ và vuông góc với $\left( SAB \right)$. Xác định thiết diện của $\left( \alpha \right)$ và tứ diện.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot AB\\
BC \bot {\rm{S}}A
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right).$
Ta lại có: $\left\{ \begin{array}{l}
\left( \alpha \right) \bot \left( {SAB} \right)\\
BC \bot \left( {{\rm{S}}AB} \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left( \alpha \right)\parallel BC.$
Kẻ $MN\parallel BC$, ${\rm{EF}}\parallel BC.$
Nối $MF, NE$ ta được thiết diện cần tìm là hình thang $MNEF.$
Ví dụ 12: Cho hình chóp $S.ABCD$, $ABCD$ là hình chữ nhật, $SA\bot (ABCD)$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng qua $I$ và vuông góc với mặt $\left( SBC \right)$. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng $\left( P \right)$.
Ta có: $\left. \begin{array}{l}
IJ \bot AB\\
IJ \bot SA
\end{array} \right\}$ $ \Rightarrow IJ \bot \left( {SAB} \right)$ $ \Rightarrow IJ \bot SB.$
Từ $I$ kẻ đường thẳng vuông góc với $SB$ tại $K.$
Do đó $\left( P \right) \equiv \left( {KIJ} \right).$
Ta có:
$\left( P \right) \cap \left( {SAB} \right) = KI.$
$\left( P \right) \cap \left( {ABCD} \right) = IJ.$
$\left( P \right) \supset IJ\parallel BC$ $ \Rightarrow \left( P \right) \cap \left( {SBC} \right) = KN\parallel BC.$
$\left( P \right) \cap \left( {SCD} \right) = NI.$
Vậy thiết diện là hình thang $KNIJ.$
Dạng 7: Thiết diện của hình đa diện với mặt phẳng $(\alpha )$ biết $(\alpha )$ chứa đường thẳng $d$ và tạo với mặt phẳng $(\beta )$ một góc $\varphi .$
Phương pháp: Sử dụng các công thức lượng giác, tính chất giao điểm và trung tuyến … từ đó xác định các đoạn giao tuyến và tìm được thiết diện.
Ví dụ 13: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$. Mặt bên hợp với đáy một góc ${{60}^{0}}$. Cho $\left( P \right)$ là mặt phẳng qua $CD$ và vuông góc với $\left( SAB \right)$, $\left( P \right)$ cắt $SA,SB$ lần lượt tại $M,N$. $\left( P \right)$ cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? Tính thiết diện theo $a$.
Gọi $K,I$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD.$
Khi đó $KI$ đi qua tâm $O$ của hình vuông $ABCD.$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
SK \bot AB\\
OK \bot AB
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \widehat {SKO} = {60^0}$ (Vì $\widehat {SKO}$ là góc giữa mặt bên và mặt đáy hình chóp).
Suy ra $\Delta SKI$ là tam giác đều.
Hạ đường cao $IE$ của $\Delta SIK.$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
IE \bot SK\\
IE \bot AB
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow IE \bot \left( {SAB} \right).$
Do đó mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $CD$ và vuông góc $\left( SAB \right)$ là mặt phẳng $\left( CDE \right)$.
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác $CDMN.$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
MN\parallel AB\\
CD\parallel AB
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow MN\parallel CD.$
Mặt khác $MN$ là đường trung bình của $\Delta SAB$, do đó $DM = CN.$
Vậy thiết diện $CDMN$ là hình thang cân.
Ta có: $MN = \frac{a}{2}$, $IE = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.$
Vậy diện tích thiết diện là ${S_{CDMN}} = \frac{{\left( {CD + MN} \right).IE}}{2}$ $ = \frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{8}.$
Xem thêm: Keanu Reeves – Wikipedia tiếng Việt
Ví dụ 14: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy là hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. Mặt bên tạo với đáy một góc ${{60}^{0}}.$ Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $AB$ cắt $SC,SD$ lần lượt tại $M,N$. Cho biết góc tạo bởi mặt phẳng $(\alpha )$ với mặt đáy là ${{30}^{0}}.$ Hãy xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng $(\alpha )$ và hình chóp.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
M \in (\alpha ) \cap (SCD)\\
CD\parallel AB\\
(SCD) \supset CD,(\alpha ) \supset AB
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow (\alpha ) \cap (SCD) = MN$ $(MN\parallel AB).$
Ta có: $(SAB) \cap (\alpha ) = AB$, $(SAD) \cap (\alpha ) = AN$, $(SCD) \cap (\alpha ) = MN$, $(SBC) \cap (\alpha ) = MB.$
Vậy thiết diện cần tìm là hình thang $ABMN.$
Mặc khác $\Delta AND=\Delta BMC$ $\Rightarrow AN=BM.$
Vậy $ABMN$ là hình thang cân.
Source: https://vh2.com.vn
Category : Trái Đất