Lý thuyết hai đường thẳng vuông góc

1. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian.

– Góc giữa hai véctơ trong không gian :

  Góc giữa hai vectơ (khác véctơ không) \(\vec{u},\vec{v}\) là góc \(\widehat {BAC}\) với \(\vec{AB}=\vec{u}\); \(\vec{AC}=\vec{v}\)

– Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian :Cho hai vectơ khác vectơ không \ ( \ vec { u }, \ vec { v } \ ) :Biểu thức \ ( \ vec { u }. \ vec { v } = | \ vec { u } |. | \ vec { v } |. cos ( \ vec { u }, \ vec { v } ) \ ) được gọi là tích vô hướng của hai vectơ \ ( \ vec { u } \ ) và \ ( \ vec { v } \ )Nếu \ ( \ vec { u } \ ) = \ ( \ vec { 0 } \ ) hoặc \ ( \ vec { v } \ ) = \ ( \ vec { 0 } \ ) thì ta quy ước \ ( \ vec { u } \ ). \ ( \ vec { v } \ ) = \ ( \ vec { 0 } \ ) .

2. Vectơ chỉ phương của đường thẳng. 

– Vectơ \ ( \ vec { a } \ ne \ vec { 0 } \ ) là véctơ chỉ phương của đường thẳng \ ( d \ ) nếu giá của \ ( \ vec { a } \ ) song song hoặc trùng với \ ( d \ ) .- Nếu \ ( \ vec { a } \ ) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \ ( d \ ) thì k \ ( \ vec { a } \ ) ( \ ( k ≠ 0 \ ) ) cũng là vectơ chỉ phương của d .

 3. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian. 

  Định nghĩa:

Góc giữa hai đường thẳng \ ( a \ ) và \ ( b \ ) trong không gian là góc giữa hai đường thẳng \ ( a ‘ \ ) và \ ( b ‘ \ ) cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với \ ( a \ ) và \ ( b \ )

  Nhận xét:

– Ta hoàn toàn có thể lấy điểm \ ( O \ ) thuộc một trong hai đường thẳng \ ( a \ ) và \ ( b \ ), rồi vẽ một đường thẳng qua \ ( O \ ) và song song với đường thẳng còn lại .- Nếu \ ( \ vec { u_ { 1 } }, \ vec { u_ { 2 } } \ ) lần lượt là vectơ chỉ phương của \ ( a \ ) và \ ( b \ ) và ( \ ( \ vec { u_ { 1 } }, \ vec { u_ { 2 } } ) = α \ ) thì :+ góc \ ( ( a ; b ) = α \ ) nếu \ ( 0 ^ 0 ≤ α ≤ 90 ^ 0 \ )+ góc \ ( ( a ; b ) = 180 ^ 0 – α \ ) nếu \ ( 90 ^ 0 < α ≤ 180 ^ 0 \ ) .- Nếu \ ( a / / b \ ) hoặc \ ( a \ equiv b \ ) thì \ ( \ widehat { \ left ( { a, b } \ right ) } = { 0 ^ 0 } \ )

4. Hai đường thẳng vuông góc với nhau.

  a) Định nghĩa:

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng \ ( 90 ^ 0 \ )

  b) Nhận xét:

– Nếu \ ( \ vec { u_ { 1 } }, \ vec { u_ { 2 } } \ ) lần lượt là những VTCP của \ ( a \ ) và \ ( b \ ) thì : \ ( a ⊥ b ⇔ \ vec { u_ { 1 } }. \ vec { u_ { 2 } } = 0 \ ) .

  – Nếu  \(\left\{ \begin{array}{l}
a\, //b \, \\
c\, \bot \, a
\end{array} \right.\) thì \( c\, \bot \, b\)

– Hai đường thẳng vuông góc với nhau hoàn toàn có thể cắt nhau hoặc chéo nhau .

 c) Một số dạng toán thường gặp 

Dạng 1: Tính góc giữa hai đường thẳng.

Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cô sin hoặc tỉ số lượng giác.

\ ( \ cos A = \ dfrac { { { b ^ 2 } + { c ^ 2 } – { a ^ 2 } } } { { 2 bc } } \ )

Phương pháp 2: Sử dụng công thức tính cô sin góc giữa hai đường thẳng biết hai véc tơ chỉ phương của chúng.

USD \ cos \ varphi = \ left | { \ cos \ left ( { \ overrightarrow u, \ overrightarrow v } \ right ) } \ right | = \ dfrac { { \ left | { \ overrightarrow u. \ overrightarrow v } \ right | } } { { \ left | { \ overrightarrow u } \ right |. \ left | { \ overrightarrow v } \ right | } } $

Để tính \ ( \ overrightarrow u, \ overrightarrow v, \ left | { \ overrightarrow u } \ right |, \ left | { \ overrightarrow v } \ right | \ ) ta chọn ba véc tơ \ ( \ overrightarrow a, \ overrightarrow b, \ overrightarrow c \ ) không đồng phẳng mà hoàn toàn có thể tính được độ dài và góc giữa chúng, sau đó bộc lộ những véc tơ \ ( \ overrightarrow u, \ overrightarrow v \ ) qua những véc tơ \ ( \ overrightarrow a, \ overrightarrow b, \ overrightarrow c \ ) rồi thực thi những đo lường và thống kê .

Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.

Phương pháp:

Để chứng minh hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) vuông góc ta thực hiện một trong các cách:

Cách 1: Chứng minh \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}}  = 0\), trong đó \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) là các VTCP của \({d_1},{d_2}\).

Cách 2: Sử dụng tính chất \(\left\{ \begin{array}{l}b//c\\a \bot c\end{array} \right. \Rightarrow a \bot b\)

Cách 3: Sử dụng định lý Pi-ta-go hoặc xác định góc giữa \({d_1},{d_2}\) và tính trực tiếp góc đó.

Source: https://vh2.com.vn
Category : Trái Đất