https://vh2.com.vn – Véc tơ trong không gian Toán hình học 11 – Bài giảng và đề thi | Học toán online chất lượng cao 2022 | Vted

VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN

(1) Định nghĩa Véctơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

Kí hiệu $\overrightarrow{AB}$ chỉ véctơ có điểm đầu là $A,$ điểm cuối là $B.$

Các khái niệm về giá của véctơ, sự cùng phương, cùng hướng của hai véctơ, véctơ – không, hai véctơ bằng nhau được định nghĩa tựa như như trong mặt phẳng .

(2) Các phép toán của véctơ trong không gian

Các phép toán cộng, trừ hai véctơ tương tự như trong mặt phẳng .

*Quy tắc trung điểm:

Với USD M $ là trung điểm của đoạn thẳng $ AB, $ ta có $ \ overrightarrow { MA } + \ overrightarrow { MB } = \ overrightarrow { 0 } $ và với $ O $ là điểm bất kể ta có $ \ overrightarrow { OM } = \ frac { 1 } { 2 } \ left ( \ overrightarrow { OA } + \ overrightarrow { OB } \ right ). $

*Quy tắc hình bình hành:

Với $ ABCD $ là hình bình hành, ta có $ \ overrightarrow { AC } = \ overrightarrow { AB } + \ overrightarrow { AD }. $

*Tính chất trọng tâm tam giác:

Với USD G $ là trọng tâm tam giác $ ABC, $ ta có $ \ overrightarrow { GA } + \ overrightarrow { GB } + \ overrightarrow { GC } = \ overrightarrow { 0 } $ và với $ O $ là điểm bất kể, ta có \ [ \ overrightarrow { OG } = \ frac { 1 } { 3 } \ left ( \ overrightarrow { OA } + \ overrightarrow { OB } + \ overrightarrow { OC } \ right ). \ ]

*Ba điểm thẳng hàng: Với $A,B,C$ thẳng hàng và $O$ là điểm bất kì ta có \[\overrightarrow{OA}=x\overrightarrow{OB}+(1-x)\overrightarrow{OC}.\]

(3) Quy tắc hình hộp

Cho hình hộp $ ABCD.A ‘ B’C ‘ D ‘ $ có ba cạnh xuất phát từ đỉnh $ A $ là $ AB, AD, AA ‘ $ và đường chéo USD AC ‘. $ Khi đó ta có quy tắc hình hộp là : \ [ \ overrightarrow { AC ‘ } = \ overrightarrow { AB } + \ overrightarrow { AD } + \ overrightarrow { AA ‘ }. \ ]
Thông thường ta sẽ đặt $ \ overrightarrow { AB } = \ overrightarrow { a }, \ overrightarrow { AD } = \ overrightarrow { b }, \ overrightarrow { AA ‘ } = \ overrightarrow { c } $ vậy theo quy tắc hình hộp, ta có \ [ \ overrightarrow { AC ‘ } = \ overrightarrow { a } + \ overrightarrow { b } + \ overrightarrow { c }. \ ]

Chứng minh. Theo quy tắc hình bình hành, ta có \[\begin{align} & \left\{ \begin{align} & \overrightarrow{AC’}=\overrightarrow{AA’}+\overrightarrow{AC} \\ & \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD} \\ \end{align} \right. \\ & \Rightarrow \overrightarrow{AC’}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA’}. \\ \end{align}\]

(4) Khái niệm về ba véctơ đồng phẳng

Xét ba véc tơ $ \ overrightarrow { a }, \ overrightarrow { b }, \ overrightarrow { c } $ là những véctơ khác véctơ – không. Với $ O $ là điểm bất kỳ trong không gian, xét ba điểm $ A, B, C $ thoả mãn $ \ overrightarrow { OA } = \ overrightarrow { a }, \ overrightarrow { OB } = \ overrightarrow { b }, \ overrightarrow { OC }. $ + ) Nếu $ OA, OB, OC $ cùng nằm trên một mặt phẳng ta nói ba véctơ $ \ overrightarrow { a }, \ overrightarrow { b }, \ overrightarrow { c } $ đồng phẳng ; trường hợp này giá của $ \ overrightarrow { a }, \ overrightarrow { b }, \ overrightarrow { c } $ luôn luôn song song với một mặt phẳng. + ) Nếu $ OA, OB, OC $ không thuộc cùng một mặt phẳng ta nói ba véctơ $ \ overrightarrow { a }, \ overrightarrow { b }, \ overrightarrow { c } $ không đồng phẳng .

(5) Định nghĩa ba véctơ đồng phẳng

Trong không gian ba véctơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng .

(6) Điều kiện để ba véctơ đồng phẳng

Trong không gian cho hai véc tơ $ \ overrightarrow { a }, \ overrightarrow { b } $ không cùng phương và véctơ $ \ overrightarrow { c }. $ Khi đó ba véctơ $ \ overrightarrow { a }, \ overrightarrow { b }, \ overrightarrow { c } $ đồng phẳng khi và chỉ khi $ \ overrightarrow { c } = m \ overrightarrow { a } + n \ overrightarrow { b }. $ Ngoài ra bộ số ( m ; n ) là duy nhất .

*Hệ quả: Bốn điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng khi và chỉ khi \[\overrightarrow{OA}=m\overrightarrow{OB}+n\overrightarrow{OC}+(1-m-n)\overrightarrow{OD}.\]

+ ) Ba véctơ $ \ overrightarrow { a }, \ overrightarrow { b }, \ overrightarrow { c } $ không đồng phẳng khi đó \ [ m \ overrightarrow { a } + n \ overrightarrow { b } + p \ overrightarrow { c } = \ overrightarrow { 0 } \ Leftrightarrow m = n = p = 0. \ ]

(7) Biểu diễn một véctơ qua ba véctơ không đồng phẳng

Trong không gian cho ba véctơ không đồng phẳng $ \ overrightarrow { a }, \ overrightarrow { b }, \ overrightarrow { c }. $ Khi đó với mọi véctơ $ \ overrightarrow { x } $ ta luôn có $ \ overrightarrow { x } = m \ overrightarrow { a } + n \ overrightarrow { b } + p \ overrightarrow { c }. $ Ngoài ra bộ số ( m ; n ; p ) là duy nhất .

B – BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Câu 1. Cho hình hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’.$ Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

A. $ \ overrightarrow { AC ‘ } = \ overrightarrow { AB } + \ overrightarrow { AD } + \ overrightarrow { AA ‘ }. $
B. $ \ overrightarrow { AC ‘ } = \ overrightarrow { AB } + \ overrightarrow { AD } + \ overrightarrow { AC }. $
C. $ \ overrightarrow { AC ‘ } = \ overrightarrow { AC } + \ overrightarrow { AB ‘ } + \ overrightarrow { AD ‘ }. $
D. $ \ overrightarrow { AC ‘ } = \ overrightarrow { AB ‘ } + \ overrightarrow { AD ‘ } + \ overrightarrow { AA ‘ }. $

Các em có thể xem trực tiếp tại website hoặc để lại địa chỉ email để nhận bản PDF in ra học và luyện tập nhé!

Source: https://vh2.com.vn
Category : Trái Đất