Các công thức hệ tọa độ trong không gian

Ở các lớp dưới, chúng ta đã được tìm hiểu về hệ toạ độ trong mặt phẳng Oxy, và hôm nay ta sẽ tiếp tục tìm hiểu về một hệ toạ độ rộng lớn hơn, đó chính là hệ toạ độ trong không gian Oxyz. Vậy hệ toạ độ trong không gian Oxyz có gì khác so với hệ toạ độ Oxy? Cùng HocThatGioi đi tìm hiểu ngay nào!

Những điểm và Vecto có tọa độ đặc biệt quan trọng trong không gian Oxyz : Các đặc thù đặc biệt quan trọng của Vecto trong không gian : tổng, hiệu, tích 2 vecto ; vecto không có tọa độ, 2 vecto bằng nhau, tích vô hướng của 2 vecto và công thức tính góc giữa 2 vecto Những công thức cực hữu ích tính nhanh những tọa độ của điểm, vecto cũng như tích vô hướng, tích có hướng và góc giữa 2 vecto Tổng hợp 4 dạng bài thường hay gặp trong đề thi về hệ toạ độ trong không gian

• Các phép toán trên vectơ: cộng trừ, tích vô hướng, góc giữa 2 vectơ
• Tìm toạ độ các điểm đặc biệt như trung điểm, trọng tâm,… từ các yếu tố cho trước
• Xét 4 điểm A, B, C, D có đồng phẳng hay không
• Tìm hình chiếu vuông góc của điểm đường thẳng toạ độ và mặt phẳng toạ độ
• Tính diện tích tam giác, thể tích khối tứ diện bằng phương pháp toạ độ
• Tính góc giữa 2 đường thẳng, khoảng cách giữa 2 đường thẳng, góc giữa 2 mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về Lý thuyết hệ toạ độ trong không gian hay đầy đủ nhất. Nếu các bạn thấy hay và bổ ích, hãy chia sẻ cho bạn bè của mình để cùng nhau học thật giỏi. Đừng quên để lại 1 like, 1 cmt để tạo động lực cho HocThatGioi và giúp HocThatGioi ngày càng phát triển hơn nhé! Chúc các bạn học thật tốt!

Bài viết khác liên quan đến phương pháp toạ độ trong không gian

Ở lớp 10, những bạn học viên đã từng học những dạng toán sử dụng hệ tọa độ trong mặt phẳng. Trong chương trình lớp 12, những nội dũng đã được học trước đó sẽ được thừa kế như một nền tảng để lan rộng ra ra không gian ba chiều là chiêu thức tọa độ trong không gian. Và nội dung trong bài này sẽ xoay quanh những yếu tố như : tọa độ điểm, vectơ, phương trình, góc, khoảng cách giữa những đối tượng người tiêu dùng trong không gian như đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu … Và trong bài viết này là giải thuật bài tập hệ tọa độ trong không gian, qua bài này sẽ giúp những bạn học viên hiều thêm về khái niệm và chớp lấy giải pháp tọa độ trong mặt phẳng và giải pháp tọa độ trong không gian.

1. Hệ tọa độ

Trong không gian, cho ba trục x’Ox, y’Oy, z’Oz vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi \ ( \ vec { i }, \ vec { j }, \ vec { k } \ ) lần lượt là những vectơ đơn vị chức năng trên những trục x’Ox, y’Oy, z’Oz .
Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz trong không gian, hay đơn thuần được gọi là hệ tọa độ Oxyz ( Hình 3.1 )
Điểm O được gọi là gốc tọa độ .
Các mặt phẳng Oxy, Oyz, Ozx đôi một vuông góc với nhau được gọi là những mặt phẳng tọa độ .
Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz .
Vì \ ( \ vec { i }, \ vec { j }, \ vec { k } \ ) là ba vectơ đơn vị chức năng đôi một vuông góc với nhau nên :
\ ( \ vec { i ^ 2 } = \ vec { j ^ 2 } = \ vec { k ^ 2 } = 1 \ ) và \ ( \ vec { i }. \ vec { j } = \ vec { j }. \ vec { k } = \ vec { k }. \ vec { i } = 0 \ )

Câu hỏi 1 bài 1 trang 63 sgk hình học lớp 12: Trong không gian Oxyz, cho một điểm M. Hãy phân tích vectơ \(\vec{OM}\) theo ba vectơ không đồng phẳng \(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\) đã cho trên các trục Ox, Oy, Oz.

Giải: \(\vec{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}\)

2. Tọa độ của một điểm

Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Vì ba vectơ \ ( \ vec { OM } = x \ vec { i } + y \ vec { j } + z \ vec { k } \ ) không đồng phẳng nên có một bộ ba số ( x ; y ; z ) duy nhất sao cho : \ ( \ vec { OM } = x \ vec { i } + y \ vec { j } + z \ vec { k } \ ) ( Hình 3.2 )
trái lại với bộ ba số ( x ; y ; z ) ta có một điểm M duy nhất trong không gian thỏa mãn nhu cầu hệ thúc \ ( \ vec { OM } = x \ vec { i } + y \ vec { j } + z \ vec { k } \ ) .
Ta gọi bộ ba số ( x ; y ; z ) đó là tọa độ của điểm M so với hệ trục tọa độ Oxyz đã cho và viết : M = ( x ; y ; z ) hoặc M ( x ; y ; z )

3. Tọa độ của vectơ

Trong không gian Oxyz cho vectơ \ ( \ vec { a } \ ), khi đó luôn sống sót duy nhất bộ ba số \ ( ( a_1 ; a_2 ; a_3 ) \ ) sao cho : \ ( \ vec { a } = a_1 \ vec { i } + a_2 \ vec { j } + a_3 \ vec { k } \ ) .
Ta gọi bộ ba số \ ( ( a_1 ; a_2 ; a_3 ) \ ) đó là tọa độ của vectơ \ ( \ vec { a } \ ) so với hệ tọa độ Oxyz cho trước và viết \ ( \ vec { a } = ( a_1 ; a_2 ; a_3 ) \ ) hoặc \ ( \ vec { a } ( a_1 ; a_2 ; a_3 ) \ )

Nhận xét: Trong hệ tọa độ Oxyz, tọa độ của điểm M chính là tọa độ của vectơ \(\vec{OM}\).

Ta có : \ ( M = ( x ; y ; z ) ⇔ \ vec { OM } = ( x ; y ; z ) \ )

Câu hỏi 2 bài 1 trang 64 sgk hình học lớp 12: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trung với gốc O, có \(\vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AA’}\) theo thứ tự cùng hướng với \(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\) và có AB = a, AD = b, AA’ = c. Hãy tính tọa độ các vectơ \(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AC’}\) và \(\vec{AM}\) với M là trung điểm của cạnh C’D’.

Giải: Vẽ hình, xác định tọa độ các véc tơ.

Từ hình vẽ trên ta có : A ( 0 ; 0 ; 0 ), B ( a ; 0 ; 0 ), D ( 0 ; b ; 0 ), A ‘ ( 0 ; 0 ; c ) .
Suy ra C ( a ; b ; 0 ), D ‘ ( 0 ; b ; c ), B ‘ ( a ; 0 ; c ), C ‘ ( a ; b ; c ), \ ( M ( \ frac { a } { 2 } ; b ; c ) \ )
Vậy \ ( \ vec { AB } = ( a ; 0 ; 0 ), \ vec { AC } = ( a ; b ; 0 ), \ vec { AC ’ } = ( a ; b ; c ), \ vec { AM } = ( \ frac { a } { 2 } ; b ; c ) \ )

Định lý: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ \(\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)\) và \(\vec{b} = (b_1; b_2; b_3)\). Ta có:

a. \(\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1; a_2 + b_2; a_3 + b_3)\)

b. \(\vec{a} – \vec{b} = (a_1 – b_1; a_2 – b_2; a_3 – b_3)\)

c. \(k\vec{a} = k(a_1; a_2; a_3) = (ka_1; ka_2; ka_3)\)

với k là một số thực .

Chứng minh:

Theo giải thiết : \ ( \ vec { a } = a_1 \ vec { i } + a_2 \ vec { j } + a_3 \ vec { k }, \ vec { b } = b_1 \ vec { i } + b_2 \ vec { j } + b_3 \ vec { k } \ )
\ ( ⇒ \ vec { a } + \ vec { b } = ( a_1 + b_1 ) \ vec { i } + ( a_2 + b_2 ) \ vec { j } + ( a_3 + b_3 ) \ vec { k } \ )
Vậy \ ( \ vec { a } + \ vec { b } = ( a_1 + b_1 ; a_2 + b_2 ; a_3 + b_3 ) \ )
Chứng minh tương tự như cho trường hợp b ) và c ) .

Hệ quả:

a. Cho hai vectơ \(\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)\) và \(\vec{b} = (b_1; b_2; b_3)\)

Ta có : \ ( \ vec { a } = \ vec { b } ⇔ a_1 = b_1 ; a_2 = b_2 ; a_3 = b_3 \ )

b. Vectơ \(\vec{0}\) có tọa độ là (0; 0; 0)

c. Với \(\vec{b} ≠ \vec{0}\) thì hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho: \(a_1 = kb_1, a_2 = kb_2, a_3 = kb_3\)

d. Trong không gian Oxyz, nếu cho hai điểm \(A(x_A; y_A; z_A)\), \(B(x_B; y_B; z_B)\) thì:

\(\vec{AB} = \vec{OB} – \vec{OA} = (x_B – x_A; y_B – y_A; z_B – z_A)\)

1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Định lý: Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ \(\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)\) và \(\vec{b} = (b_1; b_2; b_3)\) được xác định bởi công thức: \(\vec{a}.\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\)

Chứng minh:

\ ( \ vec { a }. \ vec { b } = ( a_1 \ vec { i } + a_2 \ vec { j } + a_3 \ vec { k } ). ( b_1 \ vec { i } + b_2 \ vec { j } + b_3 \ vec { k } ) \ )
\ ( = a_1b_1 \ vec { i ^ 2 } + a_1b_2 \ vec { i }. \ vec { j } + a_1b_3 \ vec { i }. \ vec { k } + a_2b_1 \ vec { j } \ vec { i } + a_2b_2 \ vec { j ^ 2 } + a_2b_3 \ vec { j }. \ vec { k } + a_3b_1 \ vec { k }. \ vec { i } + a_3b_2 \ vec { k }. \ vec { j } + a_3b_3 \ vec { k ^ 2 } \ )
Vì \ ( \ vec { i ^ 2 } = \ vec { j ^ 2 } = \ vec { k ^ 2 } = 1 \ ) và \ ( \ vec { i }. \ vec { j } = \ vec { j }. \ vec { k } = \ vec { k }. \ vec { i } = 0 \ ) nên \ ( \ vec { a }. \ vec { b } = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \ )

2. Ứng dụng

a. Độ dài của một vectơ. Cho vectơ \ ( \ vec { a } = ( a_1 ; a_2 ; a_3 ) \ ). Ta biết rằng \ ( | \ vec { a } | ^ 2 = \ vec { a ^ 2 } \ ) hay \ ( | \ vec { a } | = \ sqrt { \ vec { a ^ 2 } } \ )
Do đó \ ( | \ vec { a } | = \ sqrt { a_1 ^ 2 + a_2 ^ 2 + a_3 ^ 2 } \ )
b. Khoảng cách giữa hai điểm. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \ ( A ( x_A ; y_A ; z_A ) \ ) và \ ( B ( x_B ; y_B ; z_B ) \ ). Khi đó khoảng cách giữa hai điểm A và B chính là độ dài của vectơ \ ( \ vec { AB } \ ). Do đó ta có :
\ ( AB = | \ vec { AB } | = \ sqrt { ( x_B – x_A ) ^ 2 + ( y_B – y_A ) ^ 2 + ( z_B – z_A ) ^ 2 } \ )
c. Góc giữa hai vectơ. Nếu φ là góc giữa hai vectơ \ ( \ vec { a } = ( a_1 ; a_2 ; a_3 ) \ ) và \ ( \ vec { b } = ( b_1 ; b_2 ; b_3 ) \ ) với \ ( \ vec { a } \ ) và \ ( \ vec { b } \ ) khác \ ( \ vec { 0 } \ ) thì \ ( cosφ = \ frac { \ vec { a }. \ vec { b } } { | \ vec { a } |. | \ vec { b } | } \ ). Do đó :
\ ( cosφ = cos ( \ vec { a }, \ vec { b } ) = \ frac { a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 } { \ sqrt { a_1 ^ 2 + a_2 ^ 2 + a_3 ^ 2 }. \ sqrt { b_1 ^ 2 + b_2 ^ 2 + b_3 ^ 2 } } \ )
Từ đó ta suy ra \ ( \ vec { a } ⊥ \ vec { b } ⇔ a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0 \ )

Câu hỏi 3 bài 1 trang 66 sgk hình học lớp 12: Với hệ tọa độ Oxyz trong không gian, cho \(\vec{a} = (3; 0; 1), \vec{b} = (1; -1; -2), \vec{c} = (2; 1; -1)\). Hãy tính \(\vec{a}.(\vec{b} + \vec{c})\) và \(|\vec{a} + \vec{b}|\).

Giải: Sử dụng các công thức cộng, nhân vô hướng hai véc tơ và công thức tính độ dài véc tơ.

Ta có : \ ( \ vec { b } + \ vec { c } = ( 1 + 2 ; – 1 + 1 ; ( – 2 ) + ( – 1 ) ) = ( 3 ; 0 ; – 3 ) ⇒ \ vec { a }. ( \ vec { b } + \ vec { c } ) = 3.3 + 0.0 + 1. ( – 3 ) = 6 \ )
\ ( \ vec { a } + \ vec { b } = ( 3 + 1 ; 0 + ( – 1 ) ; 1 + ( – 2 ) ) = ( 4 ; – 1 ; – 1 ) ⇒ | \ vec { a } + \ vec { b } | = \ sqrt { 4 ^ 2 + ( – 1 ) + ( – 1 ) ^ 2 } = \ sqrt { 18 } = 3 \ sqrt { 2 } \ )

Định lí: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính r có phương trình là: \((x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = r^2\)

Chứng minh:

Gọi M ( x ; y ; z ) là một điểm thuộc mặt cầu ( S ) tâm I nửa đường kính r .
Khi đó : \ ( M ∈ ( S ) ⇔ | \ vec { IM } | = r \ )
\ ( ⇔ \ sqrt { ( x – a ) ^ 2 + ( y – b ) ^ 2 + ( z – c ) ^ 2 } = r \ )
\ ( ⇔ ( x – a ) ^ 2 + ( y – b ) ^ 2 + ( z – c ) ^ 2 = r ^ 2 \ )
Do đó \ ( ( x – a ) ^ 2 + ( y – b ) ^ 2 + ( z – c ) ^ 2 = r ^ 2 \ ) là phương trình của mặt cầu ( S ) .

Câu hỏi 4 bài 1 trang 67 sgk hình học lớp 12: Viết phương trình mặt cầu tâm I(1; -2; 3) có bán kính r = 5.

Giải: Phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c) vá bán kính R có phương trình \((x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = R^2\)

Phương trình mặt cầu là : \ ( ( x – 1 ) ^ 2 + ( y + 2 ) ^ 2 + ( z – 3 ) ^ 2 = 5 ^ 2 = 25 \ )

Nhận xét: Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng:

\ ( x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 – 2 ax – 2 by – 2 cz + d = 0 \ ) với \ ( d = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 – r ^ 2 \ )
Từ đó người ta chứng tỏ được rằng phương trình dạng \ ( x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + 2A x + 2B y + 2C z + D = 0 \ ) với điều kiện kèm theo \ ( A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2 – D > 0 \ ) là phương trình của mặt cầu tâm I = ( – A ; – B ; – C ) có nửa đường kính \ ( r = \ sqrt { A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2 – D } \ )

Ví dụ: Xác định tâm vá bán kính của mặt cầu có phương trình: \(x^2 + y^2 + z^2 + 4x – 2y + 6z + 5 = 0\).

Giải: Phương trình mặt cầu đã cho tương đương với phương trình sau: \((x + 2)^2 + (y – 1)^2 + (z + 3)^2 = 3^2\)

Vậy mặt cầu đã cho có tâm I = ( – 2 ; 1 ; – 3 ), nửa đường kính r = 3. Hướng dẫn những bạn giải bài tập sgk bài 1 hệ tọa độ trong không gian chương 3 hình học lớp 12. Bài giúp những bạn khám phá toạ độ của điểm và của vectơ, biểu thức toạ độ của những phép toán vectơ, tích vô hướng, phương trình mặt cầu .
Các bài tập sau đây đều xét trong không gian Oxyz. Cho ba vectơ \ ( \ ) \ ( \ vec { a } = ( 2 ; – 5 ; 3 ), \ vec { b } = ( 0 ; 2 ; – 1 ), \ vec { c } = ( 1 ; 7 ; 2 ) \ ) .

a. Tính tọa độ của vectơ \(\vec{d} = 4.\vec{a} – \frac{1}{3}\vec{b} + 3\vec{c}\).

b. Tính tọa độ của vectơ \(\vec{e} = \vec{a} – 4\vec{b} – 2\vec{c}\).

• Xem: lời giải bài tập 1 trang 68 sgk hình học 12

Cho ba điểm A = ( 1 ; – 1 ; 1 ), B = ( 0 ; 1 ; 2 ), C = ( 1 ; 0 ; 1 ) .
Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC .

• Xem: lời giải bài tập 2 trang 69 sgk hình học 12

Cho hình hộp ABCD.A ’ B’C ’ D ’ biết A = ( 1 ; 0 ; 1 ), B = ( 2 ; 1 ; 2 ), D = ( 1 ; – 1 ; 1 ), C ’ = ( 4 ; 5 ; – 5 ). Tính tọa độ những đỉnh còn lại của hình hộp .

• Xem: lời giải bài tập 3 trang 68 sgk hình học 12

Tính :

a. \(\)\(\vec{a}.\vec{b}\) với \(\vec{a}(3; 0; -6)\), \(\vec{b}(2; -4; 0)\).

b. \(\vec{c}.\vec{d}\) với \(\vec{c}(1; -5; 2)\), \(\vec{d}(4; 3; -5)\).

• Xem: lời giải bài tập 4 trang 68 sgk hình học 12

Tìm tâm và nửa đường kính của những mặt cầu có phương trình sau đây :

a. \(\)\(x^2 + y^2 + z^2 – 8x – 2y + 1 = 0\)

b. \(3x^2 + 3y^2 + 3z^2– 6x + 8y + 15z – 3 = 0\)

• Xem: lời giải bài tập 5 trang 68 sgk hình học 12

Lập phương trình mặt cầu trong hai trường hợp sau đây :

a. Có đường kính AB với A(4; -3; 7), B(2; 1; 3)

b. Đi qua điểm A = (5; -2; 1) và có tâm C(3; -3; 1)

• Xem: lời giải bài tập 6 trang 68 sgk hình học 12

Vừa rồi là kim chỉ nan bài 1 hệ tọa độ trong không gian chương 3 hình học 12. Qua bài học kinh nghiệm giúp những bạn khám phá toạ độ của điểm và của vectơ, biểu thức toạ độ của những phép toán vectơ, tích vô hướng, phương trình mặt cầu. Bạn thấy nội dung bài học kinh nghiệm này thế nào, để lại quan điểm góp phần ngay bên dưới nhé.

Bài Tập Liên Quan: