Công thức giải nhanh hình toạ độ không gian Oxyz

Vted ra mắt đến quý thầy cô và những em học viên một số ít Công thức giải nhanh hình toạ độ Oxyz được trích từ khoá học PRO X : https://www.vted.vn/khoa-hoc/xem/khoa-hoc-pro-x-luyen-thi-thpt-quoc-gia-mon-toan-2019-kh633150433.html dành cho học viên 2K1 ship hàng trực tiếp kì thi trung học phổ thông vương quốc môn Toán do thầy Đặng Thành Nam biên soạn. Hy vọng bài viết này, giúp ích nhiều cho quý thầy cô giáo và những em học viên .

Các em học sinh hãy cmt bên dưới bài viết này về các công thức mà các em cần công thức tính nhanh, để thầy biên soạn và  cập nhật cho các em nhé!

Đăng kí khoá học PRO X tại đây: https://vh2.com.vn/khoa-hoc/xem/pro-x-luyen-thi-thpt-quoc-gia-mon-toan-2018-kh522847554.html

CÔNG THỨC TÍNH NHANH 1:

CÁCH XÁC ĐỊNH NHANH TOẠ ĐỘ TÂM ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

Bài viết này Vted trình bày cho các em một công thức xác định nhanh toạ độ tâm của đường tròn nội tiếp tam giác trong bài toán Hình giải tích không gian Oxyz.

Chú ý với I là tâm nội tiếp tam giác ABC ta có đẳng thức véctơ sau đây:

\ [ BC. \ overrightarrow { IA } + CA. \ overrightarrow { IB } + AB. \ overrightarrow { IC } = \ overrightarrow 0 \ ]
Chuyển qua toạ độ trong không gian Oxyz, ta hoàn toàn có thể xác lập được nhanh toạ độ điểm I như sau :
\ [ \ left \ { \ begin { gathered } { x_I } = \ dfrac { { BC. { x_A } + CA. { x_B } + AB. { x_C } } } { { BC + CA + AB } } \ hfill \ \ { y_I } = \ dfrac { { BC. { y_A } + CA. { y_B } + AB. { y_C } } } { { BC + CA + AB } } \ hfill \ \ { z_I } = \ dfrac { { BC. { z_A } + CA. { z_B } + AB. { z_C } } } { { BC + CA + AB } } \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right .. \ ]

>>Chứng minh đẳng thức này bạn đọc xem tại đây: https://www.vted.vn/tin-tuc/dang-thuc-vecto-lien-quan-den-tam-noi-tiep-tam-giac-4823.html

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho tam giác $ABC$ với toạ độ các đỉnh $A(1;1;1),B(4;1;1),C(1;1;5).$ Tìm toạ độ điểm $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC.$

A. $I(-2;-1;-2).$

B. $I(2;-1;2).$

C. $I(2;1;2).$

D. $I(1;2;2).$ .

Lời giải. Ta có $BC=5, CA=4, AB=3$.Do đó

\[\left\{ \begin{gathered} {x_I} = \dfrac{{BC.{x_A} + CA.{x_B} + AB.{x_C}}}{{BC + CA + AB}} = \frac{{5.1 + 4.4 + 3.1}}{{5 + 4 + 3}} = 2 \hfill \\ {y_I} = \dfrac{{BC.{y_A} + CA.{y_B} + AB.{y_C}}}{{BC + CA + AB}} = \frac{{5.1 + 4.1 + 3.1}}{{5 + 4 + 3}} = 1 \hfill \\ {z_I} = \dfrac{{BC.{z_A} + CA.{z_B} + AB.{z_C}}}{{BC + CA + AB}} = \frac{{5.1 + 4.1 + 3.5}}{{5 + 4 + 3}} = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right..\]

Vậy $\boxed{I(2;1;2){\text{ (C)}}}.$

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho hai điểm $A(2;2;1),B\left( -\frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} \right).$ Đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác $AOB$ và vuông góc với mặt phẳng $(AOB)$ có phương trình là

>>Lời giải chi tiết:

Các em xem thêm các bài giảng hữu ích khác tại đây: https://vh2.com.vn/khoa-hoc/xem/pro-x-luyen-thi-thpt-quoc-gia-mon-toan-2018-kh522847554.html

CÔNG THỨC TÍNH NHANH 2

XÁC ĐỊNH BÁN KÍNH NGOẠI TIẾP TAM GIÁC

Ta đã biết công thức từ chương trình hệ thức lượng Hình học Toán 10 như sau :

Ta biết được rằng \ [ R = \ frac { abc } { 4S }, \ ]
trong đó USD a, b, c USD là độ dài ba cạnh tam giác và $ S $ là diện tích quy hoạnh tam giác .
Áp dụng trong hình toạ độ không gian $ Oxyz, $ ta được
\ [ R = \ frac { AB.BC.CA } { 2 \ left | \ left [ \ overrightarrow { AB }, \ overrightarrow { AC } \ right ] \ right | }. \ ]
trong đó toàn bộ những phép toán có trong công thức trên trọn vẹn bấm trực tiếp bằng máy tính .

Câu 1. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho ba điểm $A(2;0;-1),B(1;-2;3),C(0;1;2).$ Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$

A. $ \ frac { 7 \ sqrt { 11 } } { 10 }. $
B. $ \ frac { 7 \ sqrt { 11 } } { 5 }. $
C. $ \ frac { 11 \ sqrt { 7 } } { 10 }. $
D. $ \ frac { 11 \ sqrt { 7 } } { 5 }. $

Giải.

Ta có $ AB = \ sqrt { 21 }, BC = \ sqrt { 11 }, CA = \ sqrt { 14 }, { { S } _ { ABC } } = \ frac { 1 } { 2 } \ left | \ left [ \ overrightarrow { AB }, \ overrightarrow { AC } \ right ] \ right | = 5 \ sqrt { \ frac { 3 } { 2 } }. $
Vì vậy \ [ R = \ frac { AB.BC.CA } { 4 { { S } _ { ABC } } } = \ frac { \ sqrt { 21 }. \ sqrt { 11 }. \ sqrt { 14 } } { 4.5 \ sqrt { \ frac { 3 } { 2 } } } = \ frac { 7 \ sqrt { 11 } } { 10 }. \ ]

Chọn đáp án A.

*Chú ý. Thao tác tất cả bằng máy tính, kết quả $R\approx 2,3216375$ lẻ sau đó Bình phương kết quả ta được ${{R}^{2}}=\frac{539}{100}\Rightarrow R=\frac{7\sqrt{11}}{10}.$

CÔNG THỨC TÍNH NHANH 3

XÁC ĐỊNH TOẠ ĐỘ HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN CÁC TRỤC TOẠ ĐỘ, MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ 

• Xét điểm USD M ( { { x } _ { 0 } } ; { { y } _ { 0 } } ; { { z } _ { 0 } } ) USD khi đó toạ độ hình chiếu vuông góc của USD M $ lên những trục toạ độ $ Ox, Oy, Oz $ lần lượt là $ A ( { { x } _ { 0 } } ; 0 ; 0 ), B ( 0 ; { { y } _ { 0 } } ; 0 ), C ( 0 ; 0 ; { { z } _ { 0 } } ). $
• Xét điểm USD M ( { { x } _ { 0 } } ; { { y } _ { 0 } } ; { { z } _ { 0 } } ) USD khi đó toạ độ hình chiếu vuông góc của USD M $ lên những mặt phẳng toạ độ USD ( Oxy ), ( Oyz ), ( Ozx ) USD lần lượt là $ A ( { { x } _ { 0 } } ; { { y } _ { 0 } } ; 0 ), B ( 0 ; { { y } _ { 0 } } ; { { z } _ { 0 } } ), C ( { { x } _ { 0 } } ; 0 ; { { z } _ { 0 } } ). $

Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua các hình chiếu vuông góc của $M(3;2;6)$ trên các trục toạ độ $Ox,Oy,Oz.$

Giải. Ta có $A(3;0;0),B(0;2;0),C(0;0;6)\Rightarrow (ABC):\frac{x}{3}+\frac{y}{2}+\frac{z}{6}=1.$

Ví dụ 2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua các hình chiếu vuông góc của $M(1;2;3)$ trên các mặt phẳng toạ độ $(Oxy),(Oyz),(Ozx).$

CÔNG THỨC TÍNH NHANH 4

XÁC ĐỊNH TOẠ ĐỘ ĐIỂM ĐỐI XỨNG QUA ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG

• Xét điểm USD M ( { { x } _ { 0 } } ; { { y } _ { 0 } } ; { { z } _ { 0 } } ) USD và mặt phẳng USD ( P. ) : ax + by + cz + d = 0. $
Điểm $ N ( x ; y ; z ) USD đối xứng với USD M $ qua mặt phẳng USD ( P. ) USD có toạ độ là nghiệm của hệ \ [ \ left \ { \ begin { gathered } \ frac { { x – { x_0 } } } { a } = \ frac { { y – { y_0 } } } { b } = \ frac { { z – { z_0 } } } { c } \ hfill \ \ a \ left ( { \ frac { { x + { x_0 } } } { 2 } } \ right ) + b \ left ( { \ frac { { y + { y_0 } } } { 2 } } \ right ) + c \ left ( { \ frac { { z + { z_0 } } } { 2 } } \ right ) + d = 0 \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right. \ Rightarrow \ left \ { \ begin { gathered } x = { x_0 } – \ frac { { 2 a ( a { x_0 } + b { y_0 } + c { z_0 } + d ) } } { { { a ^ 2 } + { b ^ 2 } + { c ^ 2 } } } \ hfill \ \ y = { y_0 } – \ frac { { 2 b ( a { x_0 } + b { y_0 } + c { z_0 } + d ) } } { { { a ^ 2 } + { b ^ 2 } + { c ^ 2 } } } \ hfill \ \ z = { z_0 } – \ frac { { 2 c ( a { x_0 } + b { y_0 } + c { z_0 } + d ) } } { { { a ^ 2 } + { b ^ 2 } + { c ^ 2 } } } \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right .. \ ]

*Chú ý. Trong hệ phương trình trên hoặc a = 0 hoặc b = 0 hoặc c = 0 thì tương ứng x =x0 hoặc y =y0 hoặc z =z0.

• Toạ độ điểm $ N ( x ; y ; z ) USD là hình chiếu vuông góc của điểm USD M ( { { x } _ { 0 } } ; { { y } _ { 0 } } ; { { z } _ { 0 } } ) USD và mặt phẳng USD ( P. ) : ax + by + cz + d = 0 $ là \ [ \ left \ { \ begin { align } và x = { { x } _ { 0 } } – \ frac { a ( a { { x } _ { 0 } } + b { { y } _ { 0 } } + c { { z } _ { 0 } } + d ) } { { { a } ^ { 2 } } + { { b } ^ { 2 } } + { { c } ^ { 2 } } } \ \ và y = { { y } _ { 0 } } – \ frac { b ( a { { x } _ { 0 } } + b { { y } _ { 0 } } + c { { z } _ { 0 } } + d ) } { { { a } ^ { 2 } } + { { b } ^ { 2 } } + { { c } ^ { 2 } } } \ \ và z = { { z } _ { 0 } } – \ frac { c ( a { { x } _ { 0 } } + b { { y } _ { 0 } } + c { { z } _ { 0 } } + d ) } { { { a } ^ { 2 } } + { { b } ^ { 2 } } + { { c } ^ { 2 } } } \ \ \ end { align } \ right .. \ ]

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho mặt phẳng $(P):2x-3y+5z-4=0$ và kí hiệu $(Q)$ là mặt phẳng đối xứng với mặt phẳng $(P)$ qua mặt phẳng $(Oxz).$ Hỏi phương trình của mặt phẳng $(Q)$ là ?

A. $ ( Q. ) : 2 x + 3 y + 5 z – 4 = 0. $
C. USD ( Q. ) : 2 x + 3 y + 5 z + 4 = 0. $
B. USD ( Q. ) : 2 x – 3 y + 5 z + 4 = 0. $
D. USD ( Q. ) : 2 x – 3 y + 5 z – 4 = 0. $

Giải. Xét điểm $M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})\in (P),N(x;y;z)$ là điểm đối xứng của $M$ qua $(Oxz),$ ta có $(Ozx):y=0\Rightarrow \left\{ \begin{align} & x={{x}_{0}} \\ & y={{y}_{0}}-\frac{2{{y}_{0}}}{\sqrt{{{1}^{2}}}}=-{{y}_{0}} \\ & z={{z}_{0}} \\ \end{align} \right..$

Thay vào phương trình của $(P),$ ta được: $2x-3(-y)+5z-4=0\Rightarrow (Q):2x+3y+5z-4=0.$ Chọn đáp án A.

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho mặt phẳng $(P):x+2y+3z+4=0.$ Biết $M,N$ là hai điểm đối xứng với nhau qua mặt phẳng $(P)$ và $M$ thuộc mặt cầu $(T):{{x}^{2}}+{{(y+4)}^{2}}+{{z}^{2}}=5.$ Hỏi điểm $N$ thuộc mặt cầu nào dưới đây ?

A. $ ( S ) : { { x } ^ { 2 } } + { { y } ^ { 2 } } + { { z } ^ { 2 } } – \ frac { 8 } { 7 } x + \ frac { 40 } { 7 } y – \ frac { 24 } { 7 } z + \ frac { 45 } { 7 } = 0. $
B. USD ( S ) : { { x } ^ { 2 } } + { { y } ^ { 2 } } + { { z } ^ { 2 } } – \ frac { 8 } { 7 } x – \ frac { 40 } { 7 } y – \ frac { 24 } { 7 } z + \ frac { 45 } { 7 } = 0. $
C. USD ( S ) : { { x } ^ { 2 } } + { { y } ^ { 2 } } + { { z } ^ { 2 } } + \ frac { 8 } { 7 } x + \ frac { 40 } { 7 } y + \ frac { 24 } { 7 } z + \ frac { 45 } { 7 } = 0. $
D. USD ( S ) : { { x } ^ { 2 } } + { { y } ^ { 2 } } + { { z } ^ { 2 } } + \ frac { 8 } { 7 } x – \ frac { 40 } { 7 } y + \ frac { 24 } { 7 } z + \ frac { 45 } { 7 } = 0. $

CÔNG THỨC TÍNH NHANH 5

 MẶT PHẲNG PHÂN GIÁC CỦA HAI MẶT PHẲNG GIAO NHAU

Xét hai mặt phẳng USD ( \ alpha ) : { { a } _ { 1 } } x + { { b } _ { 1 } } y + { { c } _ { 1 } } z + { { d } _ { 1 } } = 0, ( \ beta ) : { { a } _ { 2 } } x + { { b } _ { 2 } } y + { { c } _ { 2 } } z + { { d } _ { 2 } } = 0. $
Khi đó phương trình mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi USD ( \ alpha ), ( \ beta ) USD là
\ [ \ frac { { { a } _ { 1 } } x + { { b } _ { 1 } } y + { { c } _ { 1 } } z + { { d } _ { 1 } } } { \ sqrt { a_ { 1 } ^ { 2 } + b_ { 1 } ^ { 2 } + c_ { 1 } ^ { 2 } } } = \ pm \ frac { { { a } _ { 2 } } x + { { b } _ { 2 } } y + { { c } _ { 2 } } z + { { d } _ { 2 } } } { \ sqrt { a_ { 2 } ^ { 2 } + b_ { 2 } ^ { 2 } + c_ { 2 } ^ { 2 } } }. \ ]

CÔNG THỨC TÍNH NHANH 6

VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG VÀ NGOÀI CỦA TAM GIÁC

Xét tam giác $ ABC, USD khi đó đường phân giác trong góc $ A $ có véctơ chỉ phương là
\ [ \ overrightarrow { u } = \ frac { 1 } { AB } \ overrightarrow { AB } + \ frac { 1 } { AC } \ overrightarrow { AC }. \ ]
trái lại, đường phân giác ngoài góc $ A $ có véctơ chỉ phương là
\ [ \ overrightarrow { u } = \ frac { 1 } { AB } \ overrightarrow { AB } – \ frac { 1 } { AC } \ overrightarrow { AC }. \ ]

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho tam giác $ABC$ với $A(1;-2;1),B(-2;2;1),C(1;-2;2).$ Hỏi đường phân giác trong của góc $A$ của tam giác $ABC$ cắt mặt phẳng $(Oyz)$ tại điểm nào sau đây ?

A. $ \ left ( 0 ; – \ frac { 4 } { 3 } ; \ frac { 8 } { 3 } \ right ). $
B. $ \ left ( 0 ; – \ frac { 2 } { 3 } ; \ frac { 4 } { 3 } \ right ). $
C. $ \ left ( 0 ; – \ frac { 2 } { 3 } ; \ frac { 8 } { 3 } \ right ). $
D. $ \ left ( 0 ; \ frac { 2 } { 3 } ; – \ frac { 8 } { 3 } \ right ). $

Giải.

Ta có véctơ chỉ phương của phân giác trong góc $ A $ là x $ \ begin { gathered } \ overrightarrow u = \ frac { 1 } { { AB } } \ overrightarrow { AB } + \ frac { 1 } { { AC } } \ overrightarrow { AC } = \ frac { 1 } { { \ sqrt { { { ( – 3 ) } ^ 2 } + { 4 ^ 2 } + { 0 ^ 2 } } } } \ left ( { – 3 ; 4 ; 0 } \ right ) + \ frac { 1 } { { \ sqrt { { 0 ^ 2 } + { 0 ^ 2 } + { 1 ^ 2 } } } } ( 0 ; 0 ; 1 ) = \ left ( { – \ frac { 3 } { 5 } ; \ frac { 4 } { 5 } ; 1 } \ right ) \ hfill \ \ \ Rightarrow AM : \ left \ { \ begin { gathered } x = 1 – \ frac { 3 } { 5 } t \ hfill \ \ y = – 2 + \ frac { 4 } { 5 } t \ hfill \ \ z = 1 + t \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right. \ cap ( Oyz ) : x = 0 \ Rightarrow t = \ frac { 5 } { 3 } \ Rightarrow M \ left ( { 0 ; – \ frac { 2 } { 3 } ; \ frac { 8 } { 3 } } \ right ). \ hfill \ \ \ end { gathered } $

Chọn đáp án C.

CÔNG THỨC TÍNH NHANH 7

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU

Hai đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ cắt nhau tại điểm $A({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ và có véctơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}({{a}_{1}};{{b}_{1}};{{c}_{1}}),\overrightarrow{{{u}_{2}}}({{a}_{2}};{{b}_{2}};{{c}_{2}}).$

Đường thẳng phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng này có véctơ chỉ phương được xác định theo công thức

$\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| {{u}_{1}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}\pm \frac{1}{\left| {{u}_{2}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\frac{1}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}\left( {{a}_{1}};{{b}_{1}};{{c}_{1}} \right)\pm \frac{1}{\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}\left( {{a}_{2}};{{b}_{2}};{{c}_{2}} \right).$

Chi tiết có hai phân giác:

• Nếu $\overrightarrow{{{u}_{1}}}\overrightarrow{{{u}_{2}}}>0\Rightarrow \overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| {{u}_{1}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}+\frac{1}{\left| {{u}_{2}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ là véctơ chỉ phương của phân giác tạo bởi góc nhọn giữa hai đường thẳng và $\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| {{u}_{1}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}-\frac{1}{\left| {{u}_{2}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ là véctơ chỉ phương của phân giác tạo bởi góc tù giữa hai đường thẳng.

• Nếu $\overrightarrow{{{u}_{1}}}\overrightarrow{{{u}_{2}}}>0\Rightarrow \overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| {{u}_{1}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}+\frac{1}{\left| {{u}_{2}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ là véctơ chỉ phương của phân giác tạo bởi góc tù giữa hai đường thẳng và $\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| {{u}_{1}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}-\frac{1}{\left| {{u}_{2}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ là véctơ chỉ phương của phân giác tạo bởi góc nhọn giữa hai đường thẳng.

>>Lời giải chi tiết: Hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm $A(1;1;-1).$

Có véctơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}(1;-2;2),\overrightarrow{{{u}_{2}}}(3;-4;0)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{1}}}\overrightarrow{{{u}_{2}}}=3+8=9>0.$

Nên véctơ chỉ phương của đường phân giác tạo bởi góc nhọn giữa hai đường thẳng là

$\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}+\frac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\frac{1}{3}\left( 1;-2;2 \right)+\frac{1}{5}\left( 3;-4;0 \right)=\left( \frac{14}{15};-\frac{22}{15};\frac{2}{3} \right)//(7;-11;5).$

Vậy đường thẳng cần tìm là $\frac{x-1}{7}=\frac{y-1}{-11}=\frac{z+1}{5}.$

Chọn đáp án A.

Câu 2. Trong không gian $Oxyz,$ cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{align}& x=1+3t \\& y=1+4t \\& z=1\\\end{align} \right..$ Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua điểm $A(1;1;1)$ và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}(-2;1;2).$ Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi $d$ và $\Delta $ có phương trình là

Lời giải chi tiết. Có $A(1;1;1)=d\cap \Delta .$ Đường thẳng $d$ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}(3;4;0).$ Đường thẳng $\Delta $ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}(-2;1;2).$ Có $\overrightarrow{{{u}_{1}}}\overrightarrow{{{u}_{2}}}=-6+4=-2<0\Rightarrow \left( \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right)>{{90}^{0}}.$

Do đó phân giác của góc nhọn USD d USD và $ \ Delta $ sẽ đi qua $ A $ và có véctơ chỉ phương \ [ \ overrightarrow { u } = \ frac { 1 } { \ left | \ overrightarrow { { { u } _ { 1 } } } \ right | } \ overrightarrow { { { u } _ { 1 } } } – \ frac { 1 } { \ left | \ overrightarrow { { { u } _ { 2 } } } \ right | } \ overrightarrow { { { u } _ { 2 } } } = \ frac { 1 } { 5 } \ left ( 3 ; 4 ; 0 \ right ) – \ frac { 1 } { 3 } \ left ( – 2 ; 1 ; 2 \ right ) = \ left ( \ frac { 19 } { 15 } ; \ frac { 7 } { 15 } ; – \ frac { 2 } { 3 } \ right ) / / ( 19 ; 7 ; – 10 ). \ ]
Đối chiếu những đáp án chọn D .

CÔNG THỨC TÍNH NHANH 8:

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(\alpha ):ax+by+cz+{{d}_{1}}=0;(\beta ):ax+by+cz+{{d}_{2}}=0({{d}_{1}}\ne {{d}_{2}})$ là $d((\alpha ),(\beta ))=\frac{\left| {{d}_{1}}-{{d}_{2}} \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}.$

CÔNG THỨC TÍNH NHANH 9:

Mặt phẳng song song và cách đều hai mặt phẳng $(\alpha ):ax+by+cz+{{d}_{1}}=0;(\beta ):ax+by+cz+{{d}_{2}}=0({{d}_{1}}\ne {{d}_{2}})$ là $ax+by+cz+\frac{{{d}_{1}}+{{d}_{2}}}{2}=0.$

CÔNG THỨC TÍNH NHANH 10 :

Tìm toạ độ điểm $I$ thoả mãn đẳng thức véc tơ: ${{a}_{1}}\overrightarrow{I{{A}_{1}}}+{{a}_{2}}\overrightarrow{I{{A}_{2}}}+…+{{a}_{n}}\overrightarrow{I{{A}_{n}}}=\overrightarrow{0}.$

Điểm USD I USD được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm $ { A } _ { 1 } $, …, $ { A } _ { n } $ .

Toạ độ điểm $I$ được xác định bởi công thức:

\(\begin{array}{l} {x_I} = \dfrac{{{a_1}{x_{{A_1}}} + {a_2}{x_{{A_2}}} + … + {a_n}{x_{{A_n}}}}}{{{a_1} + {a_2} + … + {a_n}}}\\ {y_I} = \dfrac{{{a_1}{y_{{A_1}}} + {a_2}{y_{{A_2}}} + … + {a_n}{y_{{A_n}}}}}{{{a_1} + {a_2} + … + {a_n}}}\\ {z_I} = \dfrac{{{a_1}{z_{{A_1}}} + {a_2}{z_{{A_2}}} + … + {a_n}{z_{{A_n}}}}}{{{a_1} + {a_2} + … + {a_n}}} \end{array}\)

CÔNG THỨC TÍNH NHANH 11

XÁC ĐỊNH TOẠ ĐỘ TÂM ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP, TÂM ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP, TRỰC TÂM VÀ TRỌNG TÂM CỦA MỘT TAM GIÁC

Dạng 1: Xác định số đo góc của một tam giác

Câu 1. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho các điểm $A(-1;2;4),B(-1;1;4),C(0;0;4).$ Số đo của góc $\angle ABC$ là ?

A. ${{135}^{0}}.$

B. ${{45}^{0}}.$

C. ${{60}^{0}}.$

D. ${{120}^{0}}.$

Giải. Ta có $\overrightarrow{BA}=(0;1;0),\overrightarrow{BC}=(1;-1;0)$ vì vậy $\cos \angle ABC=\frac{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}{BA.BC}=\frac{0.1+1.(-1)+0.0}{\sqrt{{{1}^{2}}}.\sqrt{{{1}^{2}}+{{(-1)}^{2}}}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \angle ABC={{135}^{0}}.$ Chọn đáp án A.

Dạng 2: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác

Tâm ngoại tiếp USD I $ của tam giác $ ABC $ là điểm thuộc mặt phẳng USD ( ABC ) USD và cách đều những đỉnh của tam giác. Vì vậy để tìm toạ độ tâm ngoại tiếp USD I $ của tam giác $ ABC $ tất cả chúng ta giải hệ phương trình :
\ [ \ left \ { \ begin { align } và IA = IB \ \ và IA = IC \ \ và \ left [ \ overrightarrow { AB }, \ overrightarrow { AC } \ right ]. \ overrightarrow { IA } = 0 \ \ \ end { align } \ right .. \ ]

Câu 1. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho các điểm $A(1;2;-1),B(2;3;4),C(3;5;-2).$ Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp $I$ của tam giác $ABC.$

A. $I\left( \frac{5}{2};4;1 \right).$

B. $I\left( \frac{37}{2};-7;0 \right).$

C. $I\left( -\frac{27}{2};15;2 \right).$

D. $I\left( 2;\frac{7}{2};-\frac{3}{2} \right).$

Giải. Toạ độ tâm ngoại tiếp $I$ của tam giác $ABC$ là nghiệm của hệ \[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} IA = IB \hfill \\ IA = IC \hfill \\ \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {IA} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} + {(z + 1)^2} = {(x – 2)^2} + {(y – 3)^2} + {(z – 4)^2} \hfill \\ {(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} + {(z + 1)^2} = {(x – 3)^2} + {(y – 5)^2} + {(z + 2)^2} \hfill \\ ( – 16;11;1).(x – 1;y – 2;z + 1) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2x + 2y + 10z – 23 = 0 \hfill \\ 4x + 6y – 2z – 32 = 0 \hfill \\ – 16(x – 1) + 11(y – 2) + 1(z + 1) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{5}{2} \hfill \\ y = 4 \hfill \\ z = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{5}{2};4;1} \right). \hfill \\ \end{gathered} \]

Chọn đáp án A.

*Chú ý. Với bài toán đặc biệt này, các bạn có thể nhận biết tam giác ABC vuông tại A, do đó tâm ngoại tiếp I là trung điểm cạnh huyền BC. 

Dạng 3: Xác định toạ độ trực tâm của tam giác

Trực tâm $ H $ là điểm nằm trên mặt phẳng USD ( ABC ) USD và có đặc thù vuông góc như sau USD HA \ bot BC, HB \ bot CA, HC \ bot AB. $
Do vậy toạ độ trực tâm $ H $ là điểm nằm trên mặt phẳng USD ( ABC ) USD là nghiệm của hệ phương trình \ [ \ left \ { \ begin { align } và \ overrightarrow { AB }. \ overrightarrow { HC } = 0 \ \ và \ overrightarrow { AC }. \ overrightarrow { HB } = 0 \ \ và \ left [ \ overrightarrow { AB }, \ overrightarrow { AC } \ right ]. \ overrightarrow { HA } = 0 \ \ \ end { align } \ right .. \ ]

Câu 1. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho các điểm $A(2;3;1),B(-1;2;0),C(1;1;-2).$ Tìm toạ độ trực tâm $H$ của tam giác $ABC.$

A. $H\left( \frac{14}{15};\frac{61}{30};-\frac{1}{3} \right).$

B. $H\left( \frac{2}{5};\frac{29}{15};-\frac{1}{3} \right).$

C. $H\left( \frac{2}{15};\frac{29}{15};-\frac{1}{3} \right).$

D. $H\left( \frac{14}{15};\frac{61}{15};-\frac{1}{3} \right).$

Giải. Toạ độ trực tâm $H$ là điểm nằm trên mặt phẳng $(ABC)$ là nghiệm của hệ phương trình

\ [ \ begin { gathered } \ left \ { \ begin { gathered } \ overrightarrow { AB }. \ overrightarrow { HC } = 0 \ hfill \ \ \ overrightarrow { AC }. \ overrightarrow { HB } = 0 \ hfill \ \ \ left [ { \ overrightarrow { AB }, \ overrightarrow { AC } } \ right ]. \ overrightarrow { HA } = 0 \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { gathered } ( – 3 ; – 1 ; – 1 ). ( x – 1 ; y – 1 ; z + 2 ) = 0 \ hfill \ \ ( – 1 ; – 2 ; – 3 ). ( x + 1 ; y – 2 ; z ) = 0 \ hfill \ \ ( 1 ; – 8 ; 5 ). ( x – 2 ; y – 3 ; z – 1 ) = 0 \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right. \ hfill \ \ \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { gathered } – 3 ( x – 1 ) – 1 ( y – 1 ) – 1 ( z + 2 ) = 0 \ hfill \ \ – 1 ( x + 1 ) – 2 ( y – 2 ) – 3 z = 0 \ hfill \ \ 1 ( x – 2 ) – 8 ( y – 3 ) + 5 ( z – 1 ) = 0 \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { gathered } x = \ frac { 2 } { { 15 } } \ hfill \ \ y = \ frac { { 29 } } { { 15 } } \ hfill \ \ z = – \ frac { 1 } { 3 } \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right .. \ hfill \ \ \ end { gathered } \ ]

Chọn đáp án C. 

CÔNG THỨC TÍNH NHANH 12

XÁC ĐỊNH TOẠ ĐỘ TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP MỘT TỨ DIỆN VUÔNG

>>Tìm nhanh phương trình hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng

Xem tại bài viết này: http://vted.vn/tin-tuc/tim-phuong-trinh-hinh-chieu-vuong-goc-cua-mot-duong-thang-len-mat-phang-hinh-oxyz-4368.html

>>Các bài toán về tam giác trong không gian

Xem tại bài viết này: http://vted.vn/tin-tuc/tong-hop-tat-ca-cac-bai-toan-ve-tam-giac-trong-hinh-giai-tich-khong-gian-oxyz-bien-soan-thay-dang-thanh-nam-3296.html

Hẹn gặp quý thầy cô cùng các em trong bài viết Công thức giải nhanh Hình giải tích Oxyz (phần 2)

Gồm 4 khoá luyện thi duy nhất và đầy đủ nhất phù hợp với nhu cầu và năng lực của từng đối tượng thí sinh:

Bốn khoá học X trong gói COMBO X 2020 có nội dung hoàn toàn khác nhau và có mục đich bổ trợ cho nhau giúp thí sinh tối đa hoá điểm số.

1. PRO X 2020: Luyện thi THPT Quốc Gia 2020 – Học toàn bộ chương trình Toán 12, luyện nâng cao Toán 10 Toán 11 và Toán 12. Khoá này phù hợp với tất cả các em học sinh vừa bắt đầu lên lớp 12 hoặc lớp 11 học sớm chương trình 12, Học sinh các khoá trước thi lại đều có thể theo học khoá này. Mục tiêu của khoá học giúp các em tự tin đạt kết quả từ 8 đến 9 điểm. 
2. PRO XMAX 2020: Luyện nâng cao 9 đến 10 chỉ dành cho học sinh giỏi Học qua bài giảng và làm đề thi nhóm câu hỏi Vận dụng cao trong đề thi THPT Quốc Gia thuộc tất cả chủ đề đã có trong khoá PRO X. Khoá PRO XMAX học hiệu quả nhất khi các em đã hoàn thành chương trình kì I Toán 12 (tức đã hoàn thành Logarit và Thể tích khối đa diện) có trong Khoá PRO X. Mục tiêu của khoá học giúp các em tự tin đạt kết quả từ 8,5 đếm 10 điểm.
3. PRO XPLUS 2020: Luyện đề thi tham khảo THPT Quốc Gia 2020 Môn Toán gồm 20 đề 2020. Khoá này các em học đạt hiệu quả tốt nhất khoảng thời gian sau tết âm lịch và cơ bản hoàn thành chương trình Toán 12 và Toán 11 trong khoá PRO X. Khoá XPLUS tại Vted đã được khẳng định qua các năm gần đây khi đề thi được đông đảo giáo viên và học sinh cả nước đánh giá ra rất sát so với đề thi chính thức của BGD. Khi học tại Vted nếu không tham gia XPLUS thì quả thực đáng tiếc. 
4. PRO XMIN 2020: Luyện đề thi tham khảo THPT Quốc Gia 2020 Môn Toán từ các trường THPT Chuyên và Sở giáo dục đào tạo, gồm các đề chọn lọc sát với cấu trúc của bộ công bố. Khoá này bổ trợ cho khoá PRO XPLUS, với nhu cầu cần luyện thêm đề hay và sát cấu trúc.  

Quý thầy cô giáo, quý phụ huynh và các em học sinh có thể mua Combo gồm cả 4 khoá học cùng lúc hoặc nhấn vào từng khoá học để mua lẻ từng khoá phù hợp với năng lực và nhu cầu bản thân. 

Source: https://vh2.com.vn
Category : Trái Đất