Chuyên đề hình học không gian lớp 11 – BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN 11 Dạng 1 : Xác định giao tuyến của – StuDocu

BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN 11

Dạng 1 : Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β)
Phương pháp : • Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng (α)
và (β)
– Đường thẳng đi qua hai điểm chung ấy là giao tuyến cần
tìm
Chú ý : Để tìm chung của (α) và (β) thường tìm 2 đường thẳng đồng phẳng lần
lượt nằm trong hai mp giao điểm nếu có của hai đường thẳng này là
điểm chung của hai mặt phẳng

* * Bài tập :

1. Trong mặt phẳng (** α ) cho tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối không song song và
   điểm S ∉α)(. a. Xác định giao tuyến của SAC )( và (SBD)
   b. Xác định giao tuyến của (SAB) và (SCD)
   c. Xác định giao tuyến của (SAD) và (SBC)
   Giải
   a. Xác định giao tuyến của (SAC) và (SBD)
   Ta có : S là điểm chung của (SAC) và (SBD)
   Trong (α), gọi O = AC ∩ BD

• O ∈ AC mà AC ⊂ (SAC) ⇒ O ∈ (SAC)
• O ∈ BD mà BD ⊂ (SBD) ⇒ O ∈ (SBD)
  ⇒ O là điểm chung của (SAC) và (SBD)
  Vậy : SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD)
  b. Xác định giao tuyến của (SAB) và (SCD)
  Ta có: S là điểm chung của (SAC) và (SBD)
  Trong (α), AB không song song với CD
  Gọi I = AB ∩ CD
• I ∈ AB mà AB ⊂ (SAB) ⇒ I ∈ (SAB)
• I ∈ CD mà CD ⊂ (SCD) ⇒ I ∈ (SCD)
  ⇒ I là điểm chung của (SAB) và (SCD)
  Vậy : SI là giao tuyến của (SAB) và (SCD)
  c. Tương tự câu a, b
  2. Cho bốn điểm A,B,C,D không cùng thuộc một mặt phẳng.
  Trên các đoạn thẳng AB, AC, BD
  lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho MN không song
  song với BC. Tìm giao tuyến của ( BCD) và ( MNP)
  Giải
• P ∈ BD mà BD ⊂ ( BCD) ⇒ P ∈ ( BCD)
• P ∈ ( MNP)
  ⇒ P là điểm chung của ( BCD) và ( MNP)
  Trong mp (ABC), gọi E = MN ∩ BC
• E ∈ BC mà BC ⊂ ( BCD) ⇒ E ∈ ( BCD)
• E ∈ MN mà MN ⊂ ( MNP) ⇒ E ∈ ( MNP)
  ⇒ E là điểm chung của ( BCD) và ( MNP)

a

A

b

βα

k

S

I

D

O
B

C
A
J

C

B

E

N

P D

M

A

Vậy : PE là giao tuyến của ( BCD) và ( MNP)
3. Cho tam giác ABC và một điểm S không thuộc mp (ABC ) , một điểm I thuộc đoạn SA.
Một đường thẳng a không song song với AC cắt các cạnh AB, BC theo thứ tự tại J, K.
Tìm giao tuyến của các cặp mp sau :
a. mp ( I,a) và mp (SAC )
b. mp ( I,a) và mp (SAB )
c. mp ( I,a) và mp (SBC )

Giải a. Tìm giao tuyến của mp ( I, a ) với mp ( SAC ) : Ta có : • I ∈ SA mà SA ⊂ ( SAC ) ⇒ I ∈ ( SAC )

• I ∈ ( I,a)
  ⇒ I là điểm chung của hai mp ( I,a) và (SAC )
  Trong (ABC ), a không song song với AC
  Gọi O = a ∩ AC
• O ∈ AC mà AC ⊂ (SAC ) ⇒ O ∈ (SAC )
• O ∈ ( I,a)
  ⇒ O là điểm chung của hai mp ( I,a) và (SAC )
  Vậy : IO là giao tuyến của hai mp ( I,a) và (SAC )
  b. Tìm giao tuyến của mp ( I,a) với mp (SAB) : là JI
  c. Tìm giao tuyến của mp ( I,a) với mp (SBC )
  Ta có : K là điểm chung của hai mp ( I,a) và mp (SBC )
  Trong mp (SAC), gọi L = IO ∩ SC
• L ∈ SC mà SC ⊂ (SBC ) ⇒ L ∈ (SBC )
• L ∈ IO mà IO ⊂ ( I,a) ⇒ L ∈ ( I,a )
  ⇒ L là điểm chung của hai mp ( I,a) và (SBC )
  Vậy: KL là giao tuyến của hai mp ( I,a) và (SBC )
  4. Cho bốn điểm A ,B ,C, D không cùng nằm trong một mp
  a. Chứng minh AB và CD chéo nhau
  b. Trên các đoạn thẳng AB và CD lần lượt lấy các điểm
  M, N sao cho đường thẳng MN cắt đường
  thẳng BD tại I. Hỏi điểm I thuộc những mp nào.
  Xđ giao tuyến của hai mp (CMN) và ( BCD)
  Giải
  a. Chứng minh AB và CD chéo nhau :
  Giả sử AB và CD không chéo nhau
  Do đó có mp ( α ) chứa AB và CD
  ⇒ A ,B ,C, D nằm trong mp ( α ) mâu thuẩn giả thuyết
  Vậy : AB và CD chéo nhau
  b. Điểm I thuộc những mp :
• I ∈ MN mà MN ⊂ (ABD ) ⇒ I ∈ (ABD )
• I ∈ MN mà MN ⊂ (CMN ) ⇒ I ∈ (CMN )
• I ∈ BD mà BD ⊂ (BCD ) ⇒ I ∈ (BCD )

Xđ giao tuyến của hai mp ( CMN ) và ( BCD ) là CI

L

A

B

J

K C

O

I

S

M

I

C

B D

N

A

Trong ( ABD ), gọi E = AM ∩ BD – E ∈ AM mà AM ⊂ ( AMN ) ⇒ E ∈ ( AMN ) – E ∈ BD mà BD ⊂ ( BCD ) ⇒ E ∈ ( BCD ) ⇒ E là điểm chung của mp ( AMN ) và ( BCD ) Trong ( ACD ), gọi F = AN ∩ CD – F ∈ AN mà AN ⊂ ( AMN ) ⇒ F ∈ ( AMN ) – F ∈ CD mà CD ⊂ ( BCD ) ⇒ F ∈ ( BCD ) ⇒ F là điểm chung của mp ( AMN ) và ( BCD ) Vậy : EF là giao tuyến của mp ( AMN ) và ( BCD ) b. Tìm giao tuyến của ( DMN ) và ( ABC ) Trong ( ABD ), gọi P = DM ∩ AB – P ∈ DM mà DM ⊂ ( DMN ) ⇒ P ∈ ( DMN ) – P ∈ AB mà AB ⊂ ( ABC ) ⇒ P ∈ ( ABC ) ⇒ P là điểm chung của mp ( DMN ) và ( ABC ) Trong ( ACD ), gọi Q = Doanh Nghiệp ∩ AC – Q ∈ DN mà Doanh Nghiệp ⊂ ( DMN ) ⇒ Q ∈ ( DMN ) – Q ∈ AC mà AC ⊂ ( ABC ) ⇒ Q ∈ ( ABCA ) ⇒ Q là điểm chung của mp ( DMN ) và ( ABC ) Vậy : PQ là giao tuyến của mp ( DMN ) và ( ABC )

Dạng 2 : Xác định giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng ( α )
Phương pháp : • Tìm đường thẳng b nằm trong mặt phẳng ( α )
– Giao điểm của a và b là giao đt a và mặt phẳng ( α )
Chú ý : Đường thẳng b thường là giao tuyến của mp (α) và mp (β) ⊃ a
Cần chọn mp (β) chứa đường thẳng a sao cho giao tuyến của
mp (α) và mp (β) dể xác định và giao tuyến không song song với đường thẳng a
Bài tập :
1. Trong mp ( α ) cho tam giác ABC. Một điểm S không thuộc ( α ). Trên cạnh AB lấy
một điểm P
và trên các đoạn thẳng SA, SB ta lấy lần lượt hai điểm M, N sao cho MN không song
song với AB.
a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC )
b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng ( α )
Giải
a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC )
Cách 1 : Trong (SAB), gọi E = SP ∩ MN
– E ∈ SP mà SP ⊂ (SPC) ⇒ E ∈(SPC)
– E ∈ MN
Vậy : E = MN ∩ (SPC )

b

a

A

βα

A

M

B D

P

E

C

N

S

αCách 2 : • Chọn mp phụ ( SAB ) ⊃ MN – ( SAB ) ∩ ( SPC ) = SP – Trong ( SAB ), gọi E = MN ∩ SP E ∈ MN E ∈ SP mà SP ⊂ ( SPC ) Vậy : E = MN ∩ ( SPC ) b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mp ( α ) Cách 1 : Trong ( SAB ), MN không song song với AB Gọi D = AB ∩ MN – D ∈ AB mà AB ⊂ ( α ) ⇒ D ∈ ( α )

• D ∈ MN
  Vậy: D = MN ∩ (α)

Cách 2 : • Chọn mp phụ (SAB) ⊃ MN
– ( SAB) ∩ (α) = AB
– Trong (SAB), MN không song song với AB
Gọi D = MN ∩ AB
D ∈ AB mà AB ⊂ (α) ⇒ D ∈(α)
D ∈ MN
Vậy : D = MN ∩ (α)
2. Cho tứ giác ABCD và một điểm S không thuộc mp (ABCD ).
Trên đoạn SC lấy một điểm M không trùng với S và C.
Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (ABM )
Giải

• Chọn mp phụ (SBD) ⊃ SD
• Tìm giao tuyến của hai mp ( SBD) và (ABM )
  − Ta có B là điểm chung của ( SBD) và (ABM )
  − Tìm điểm chung thứ hai của ( SBD) và (ABM )
  Trong (ABCD ), gọi O = AC ∩ BD
  Trong (SAC ), gọi K = AM ∩ SO
  K∈ SO mà SO ⊂ (SBD) ⇒ K ∈( SBD)

K ∈ AM mà AM ⊂ ( ABM ) ⇒ K ∈ ( ABM ) ⇒ K là điểm chung của ( SBD ) và ( ABM ) ⇒ ( SBD ) ∩ ( ABM ) = BK

• Trong (SBD), gọi N = SD ∩ BK
  N∈ BK mà BK ⊂ (AMB) ⇒ N ∈(ABM)
  N ∈ SD
  Vậy : N = SD ∩ (ABM)
  3. Cho tứ giác ABCD và một điểm S không thuộc mp (ABCD ). Trên đoạn AB lấy một
  điểm M ,
  Trên đoạn SC lấy một điểm N ( M, N không trùng với các đầu mút ).
  a. Tìm giao điểm của đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD)
  b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD)
  Giải

Trang 5

M

A

D

O C

B

S

K

N

Q

A

C

P

D

I N

B

M

S

Vậy: E = BC ∩ ( IHK)
6. Cho tứ diện SABC .Gọi D là điểm trên SA ,
E là điểm trên SB và F là điểm trên AC ( DE và AB
không song song ).
a. Xđ giao tuyến của hai mp (DEF) và ( ABC )
b. Tìm giao điểm của BC với mặt phẳng ( DEF )
c. Tìm giao điểm của SC với mặt phẳng ( DEF )

N

M

F E

K

D
C

B

A

S

Giải a. Xđ giao tuyến của hai mp ( DEF ) và ( ABC ) Ta có : F là điểm chung của hai mặt phẳng ( ABC ) và ( DEF ) Trong ( SAB ), AB không song song với DE Gọi M = AB ∩ DE

• M ∈ AB mà AB ⊂ (ABC) ⇒ M ∈ (ABC)
• M ∈ DE mà DE ⊂ (DEF) ⇒ M ∈ (DEF)
  ⇒ M là điểm chung của hai mặt phẳng (ABC) và (DEF)
  Vậy: FM là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và (DEF)
  b. Tìm giao điểm của BC với mặt phẳng ( DEF )
• Chọn mp phụ (ABC) ⊃ BC
• Tìm giao tuyến của ( ABC ) và (DEF)
  Ta có (ABC) ∩ (DEF) = FM hình 1
• Trong (ABC), gọi N = FM ∩ BC
  N∈ BC
  N ∈ FM mà FM ⊂ (DEF) ⇒ N ∈ (DEF)
  Vậy: N = BC ∩ (DEF)
  c. Tìm giao điểm của SC với mặt phẳng ( DEF )
• Chọn mp phụ (SBC) ⊃ SC
• Tìm giao tuyến của ( SBC ) và (DEF)
  Ta có: E là điểm chung của ( SBC ) và (DEF)
  ο N ∈ BC mà BC ⊂ (SBC) ⇒ N ∈ (SBC)
  ο N ∈ FM mà FM ⊂ (DEF) ⇒ N ∈ (DEF)
  ⇒ N là điểm chung của ( SBC ) và (DEF)
  Ta có (SBC) ∩ (DEF) = EN

N

K

A

M

E

D F C

B

S

• Trong (SBC), gọi K = EN ∩ SC
  K∈ SC
  K ∈ EN mà EN ⊂ (DEF) ⇒ K ∈ (DEF) hình 2
  Vậy: K = SC ∩ (DEF)
  7. Cho hình chóp S .Gọi O là giao điểm của AC và BD. M, N, P lần lượt là các
  điểm trên
  SA, SB ,SD.
  a. Tìm giao điểm I của SO với mặt phẳng ( MNP )
  b. Tìm giao điểm Q của SC với mặt phẳng ( MNP )
  Giải
  a. Tìm giao điểm I của SO với mặt phẳng ( MNP )
• Chọn mp phụ (SBD) ⊃ SO
• Tìm giao tuyến của ( SBD ) và (MNP)
  Ta có N ∈ MN mà MN ⊂ (MNP) ⇒ N ∈ (MNP)
  N ∈ SB mà SB ⊂ (SBD) ⇒ N ∈ (SBD)
  ⇒ N là điểm chung của ( SBD ) và (MNP)

P ∈ MP mà MN ⊂ ( MNP ) ⇒ P ∈ ( MNP ) P ∈ SD mà SD ⊂ ( SBD ) ⇒ P ∈ ( SBD ) ⇒ P là điểm chung của ( SBD ) và ( MNP ) ⇒ ( MNP ) ∩ ( SBD ) = NP

• Trong (SBD), gọi I = SO ∩ NP
  I ∈ SO
  I ∈ NP mà NP ⊂ (MNP) ⇒ I ∈ (MNP)
  Vậy: I = SO ∩ (MNP)
  b. Tìm giao điểm Q của SC với mặt phẳng ( MNP )
• Chọn mp phụ (SAC) ⊃ SC
• Tìm giao tuyến của ( SAC ) và (MNP)
  Ta có M ∈ MN mà MN ⊂ (MNP) ⇒ M ∈ (MNP)
  M ∈ SA mà SA ⊂ (SAC) ⇒ M ∈ (SAC)
  ⇒ M là điểm chung của ( SAC ) và (MNP)
  I ∈ MI mà MI ⊂ (MNP) ⇒ I ∈ (MNP)
  I ∈ SO mà SO ⊂ (SAC) ⇒ I ∈ (SAC)
  ⇒ I là điểm chung của ( SAC ) và (MNP)
  ⇒ ( SAC) ∩ (SBD) = MI
• Trong (SAC), gọi Q = SC ∩ MI
  Q∈ SC
  Q∈ MI mà MI ⊂ (MNP) ⇒ Q ∈ (MNP)
  Vậy: Q = SC ∩ (MNP)
  8. Cho tứ diện ABCD .Gọi M,N lần lượt là
  trung điểm AC và BC. K là điểm trên BD và
  không trùng với trung điểm BD.
  a. Tìm giao điểm của CD và (MNK )
  b. Tìm giao điểm của AD và (MNK )
  Giải
  a. Tìm giao điểm của CD và (MNK ) :

I

Q

P

N

M

O

D

C

B

A

S

J

I

B

D

C

N

K

M

A

Vậy : Q = MN ∩ ( ABO ) b. Tìm giao điểm của AO và ( BMN ) :

• Chọn mp (ABP) ⊃ AO
• Tìm giao tuyến của (ABP ) và (BMN)
  Ta có : B là điểm chung của (ABP ) và (BMN)
  Q ∈ MN mà MN ⊂ (BMN) ⇒ Q ∈ (BMN)
  Q ∈ AP mà AP ⊂ (ABP) ⇒ Q ∈ (ABP)
  ⇒ Q là điểm chung của (ABP ) và (BMN)
  ⇒ (ABP) ∩ (BMN) = BQ
• Trong (ABP), gọi I = BQ ∩ AO
  I∈ AO
  I∈ BQ mà BQ ⊂ (BMN) ⇒ I ∈ (BMN)
  Vậy: I = AO ∩ (BMN)
  10. Trong mp ( α ) cho hình thang ABCD, đáy lớn AB. Gọi I ,J, K lần lượt là các điểm
  trên SA, AB,
  BC ( K không là trung điểm BC). Tìm giao điểm của :
  a. IK và (SBD)
  b. SD và (IJK )
  c. SC và (IJK )
  Giải
  a. Tìm giao điểm của IK và (SBD)
• Chọn mp phụ (SAK) ⊃ IK
• Tìm giao tuyến của (SAK ) và (SBD)
  Ta có : S là điểm chung của (SAK ) và (SBD)
  Trong (ABCD), gọi P = AK ∩ BD
  P ∈ AK mà AK ⊂ (SAK) ⇒ P ∈ (SAK)
  P ∈ BD mà BD ⊂ (SBD) ⇒ P ∈ (SBD)
  ⇒ P là điểm chung của (SAK ) và (SBD)
  ⇒ (SAK) ∩ (SBD) = SP
• Trong (SAK), gọi Q = IK ∩ SP

Q. ∈ IK Q ∈ SP mà SP ⊂ ( SBD ) ⇒ Q ∈ ( SBD ) Vậy : Q = IK ∩ ( SBD ) b. Tìm giao điểm của SD và ( IJK ) :

• Chọn mp phụ (SBD) ⊃ SD
• Tìm giao tuyến của (SBD ) và (IJK)
  Ta có : Q là điểm chung của (IJK ) và (SBD)
  Trong (ABCD), gọi M = JK ∩ BD
  M ∈ JK mà JK ⊂ ( IJK) ⇒ M ∈ (IJK)
  M ∈ BD mà BD ⊂ (SBD) ⇒ M ∈ (SBD)
  ⇒ M là điểm chung của (IJK ) và (SBD)
  ⇒ (IJK) ∩ (SBD) = QM
• Trong (SBD), gọi N = QM ∩ SD
  N ∈ SD
  N ∈ QM mà QM ⊂ (IJK) ⇒ N ∈ (IJK)

N

F

M

Q

P K

J

I

C

B

D

A

S

Vậy : N = SD ∩ ( IJK ) c. Tìm giao điểm của SC và ( IJK ) :

• Chọn mp phụ (SAC) ⊃ SC
• Tìm giao tuyến của (SAC ) và (IJK)
  Ta có : I là điểm chung của (IJK ) và (SAC)
  Trong (ABCD), gọi E = AC ∩ JK
  E ∈ JK mà JK ⊂ ( IJK) ⇒ E ∈ ( IJK)
  E ∈ AC mà AC ⊂ (SAC) ⇒ E ∈ (SAC)
  ⇒ E là điểm chung của (IJK ) và (SAC)
  ⇒ ( IJK) ∩ (SAC) = IE
• Trong (SAC), gọi F = IE ∩ SC
  F ∈ SC
  F ∈ IE mà IE ⊂ ( IJK) ⇒ F ∈ ( IJK)
  Vậy : F = SC ∩ ( IJK )
  11 tứ diện ABCD. Trên AC và AD lấy hai điểm M,N sao cho MN không song song
  với CD.
  Gọi O là điểm bên trong tam giác BCD.
  a. Tìm giao tuyến của (OMN ) và (BCD )
  b. Tìm giao điểm của BC với (OMN)
  c. Tìm giao điểm của BD với (OMN)
  Giải
  a. Tìm giao tuyến của (OMN ) và (BCD ):
  Ta có : O là điểm chung của (OMN ) và (BCD )
  Trong (ACD), MN không song song CD
  Gọi I = MN ∩ CD
  ⇒ I là điểm chung của (OMN ) và (BCD )
  Vậy : OI = (OMN ) ∩ (BCD )
  b. Tìm giao điểm của BC với (OMN) :
  Trong (BCD), gọi P = BC ∩ OI
  Vậy : P = BC ∩ ( OMN )
  c. Tìm giao điểm của BD với (OMN) :
  Trong (BCD), gọi Q = BD ∩ OI
  Vậy : Q = BD ∩ ( OMN )

12 hình chóp S. Trong tam giác SBC lấy điểm M trong tam giác SCD lấy
điểm N
a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SAC)
b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN)
Giải
a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SAC) :

• Chọn mp phụ (SMN) ⊃ MN
• Tìm giao tuyến của (SAC ) và (SMN)
  Ta có : S là điểm chung của (SAC ) và (SMN)
  Trong (SBC), gọi M’ = SM ∩ BC

Trang 11

P

I

Q

O M

D

N

C

B

A

M

N

B C

N’

E D

M’

I

O

A

S

⇒ ( SAC) ∩ (SBD) = SE

• Trong (SMC), gọi J = MN ∩ SE
  J∈ MN
  J∈ SE mà SE ⊂ ( SBD) ⇒ J ∈ ( SBD)
  Vậy J = MN ∩ ( SBD)
  c. Chứng minh I, J, B thẳng hàng
  Ta có : B là điểm chung của (ANB) và ( SBD)
  • I ∈ SO mà SO ⊂ ( SBD) ⇒ I ∈ ( SBD)
  • I ∈ AN mà AN ⊂ (ANB) ⇒ I ∈ (ANB)
    ⇒ I là điểm chung của (ANB) và ( SBD)
• J ∈ SE mà SE ⊂ ( SBD) ⇒ J∈ ( SBD)
• J ∈ MN mà MN ⊂ (ANB) ⇒ J ∈ (ANB)
  ⇒ J là điểm chung của (ANB) và ( SBD)
  Vậy : B, I, J thẳng hàng
  2. Cho tứ giác ABCD và S ∉ (ABCD). Gọi I, J là hai điểm trên AD và SB, AD cắt BC
  tại O và
  OJ cắt SC tại M.
  a. Tìm giao điểm K = IJ ∩ (SAC)
  b. Xác định giao điểm L = DJ ∩ (SAC)
  c. Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng
  Giải
  a. Tìm giao điểm K = IJ ∩ (SAC)
• Chọn mp phụ (SIB) ⊃ IJ
• Tìm giao tuyến của (SIB ) và (SAC)
  S là điểm chung của (SIB ) và (SAC)
  Trong (ABCD), gọi E = AC ∩ BI
  ⇒ (SIB) ∩ ( SAC) = SE

M
K

E F

L
A

D

C

B

O

J

I

S

• Trong ( SIB ), gọi K = IJ ∩ SE K ∈ IJ K ∈ SE mà SE ⊂ ( SAC ) ⇒ K ∈ ( SAC ) Vậy : K = IJ ∩ ( SAC ) b. Xác định giao điểm L = DJ ∩ ( SAC )
• Chọn mp phụ ( SBD ) ⊃ DJ
• Tìm giao tuyến của ( SBD ) và ( SAC ) S là điểm chung của ( SBD ) và ( SAC ) Trong ( ABCD ), gọi F = AC ∩ BD ⇒ ( SBD ) ∩ ( SAC ) = SF
• Trong ( SBD ), gọi L = DJ ∩ SF L ∈ DJ L ∈ SF mà SF ⊂ ( SAC ) ⇒ L ∈ ( SAC ) Vậy : L = DJ ∩ ( SAC ) c. Chứng minh A, K, L, M thẳng hàng Ta có : A là điểm chung của ( SAC ) và ( AJO )
  • K ∈ IJ mà IJ ⊂ (AJO) ⇒ K∈ (AJO)
  • K ∈ SE mà SE ⊂ (SAC ) ⇒ K ∈ (SAC )
    ⇒ K là điểm chung của (SAC) và ( AJO)
    • L ∈ DJ mà DJ ⊂ (AJO) ⇒ L ∈ (AJO)
    • L ∈ SF mà SF ⊂ (SAC ) ⇒ L ∈ (SAC )
      ⇒ L là điểm chung của (SAC) và ( AJO)
    • M ∈ JO mà JO ⊂ (AJO) ⇒ M ∈ (AJO)
    • M ∈ SC mà SC ⊂ (SAC ) ⇒ M ∈ (SAC )
      ⇒ M là điểm chung của (SAC) và ( AJO)
      Vậy : A ,K ,L ,M thẳng hàng
      3. Cho tứ diện SABCọi L, M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB và AC sao
      cho LM
      không song song với AB, LN không song song với SC.
      a. Tìm giao tuyến của mp (LMN) và (ABC)
      b. Tìm giao điểm I = BC ∩ ( LMN) và J = SC ∩ ( LMN)
      c. Chứng minh M, I, J thẳng hàng
      Giải
      a_. Tìm giao tuyến của mp (LMN) và (ABC)_
      Ta có : N là điểm chung của (LMN) và (ABC)
      Trong (SAB), LM không song song với AB
      Gọi K = AB ∩ LM
      K ∈ LM mà LM ⊂ (LMN ) ⇒ K ∈ (LMN )
      K ∈ AB mà AB ⊂ ( ABC) ⇒ K ∈ ( ABC)
      b. Tìm giao điểm I = BC ∩ ( LMN)
• Chọn mp phụ ( ABC ) ⊃ BC
• Tìm giao tuyến của ( ABC ) và ( LMN ) ⇒ ( ABC ) ∩ ( LMN ) = NK
• Trong ( ABC ), gọi I = NK ∩ BC I ∈ BC I ∈ NK mà NK ⊂ ( LMN ) ⇒ I ∈ ( LMN ) Vậy : I = BC ∩ ( LMN ) Tìm giao điểm J = SC ∩ ( LMN )
• Trong ( SAC ), LN không song song với SC gọi J = LN ∩ SC

J ∈ SC

K

J

I

S

C

M

L
N

B

A

Vậy : thiết diện là ngũ giác MNPQR
2. Cho hình chóp S. Gọi M, N, P lần lượt
là trung điểm lấy trên AB, AD và SC.
Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP)
Giải
Trong (ABCD), gọi E = MN ∩ DC
F = MN ∩ BC
Trong (SCD), gọi Q = EP ∩ SD
Trong (SBC), gọi R = FP ∩ SB
Vậy : thiết diện là ngũ giác MNPQR

3. Cho tứ diện ABCD. Gọi H,K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC. Trên đường
thẳng CD
lấy điểm M sao cho KM không song song với BD. Tìm thiết diện của tứ diện với mp
(HKM ).
Xét 2 .trường hợp :
a. M ở giữa C và D
b. M ở ngoài đoạn CD
Giải
a. M ở giữa C và D :
Ta có : HK, KM là đoạn giao tuyến của (HKM) với (ABC) và (BCD)
Trong (BCD), gọi L = KM ∩ BD
Trong (ABD), gọi N = AD ∩ HL
Vậy : thiết diện là tứ giác HKMN

b. M ở ngoài đoạn CD : Trong ( BCD ), gọi L = KM ∩ BD Vậy : thiết diện là tam giác HKL

4. Cho hình chóp S. Gọi M, N lần lượt là trung điểm lấy trên
AD và DC .Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNE)
Giải
Trong (SCD), gọi Q = EN ∩ SC
Trong (SAD), gọi P = EM ∩ SA
Trong (ABCD), gọi F = MN ∩ BC
Trong (SBC), gọi R = FQ ∩ SB
Vậy : thiết diện là ngũ giác MNQRP

M

N L

B

C

D

A

K

H
M

L

H

K

A

D

C

B

R

P

Q

A N

E

D

C

B F

M

S

Cách 2 :Xác định thiết diện bằng cách vẽ giao tuyến phụ :

Bài tập :
5. Cho hình chóp S .Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB và SC. Giả sử AD và BC
không
song song.
a. Xác định giao tuyến của (SAD) và ( SBC)
b. Xác định thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S
Giải
a. Xác định giao tuyến của (SAD) và ( SBC) :
Trong (ABCD), gọi I = AD ∩ BC
Vậy : SI = (SAD) ∩ ( SBC)
b. Xác định thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S
Trong (SBC), gọi J = MN ∩ SI
Trong (SAD), gọi K = SD ∩ AJ
Vậy : thiết diện là tứ giác AMNK
6. Cho hình chóp S.ABCD tam giác SBC lấy một điểm M
trong tam giác SCD lấy một điểm N.
a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng(SAC)
b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN)
c. Tìm thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S
Giải
a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng(SAC) :
– Chọn mp phụ (SMN) ⊃ MN
– Tìm giao tuyến của (SAC ) và (SMN)
Ta có : S là điểm chung của (SAC ) và (SMN)
Trong (SBC), gọi M’ = SM ∩ BC
Trong (SCD), gọi N’ = SN ∩ CD
Trong (ABCD), gọi I = M’N’ ∩ AC
I ∈ M’N’ mà M’N’ ⊂ (SMN) ⇒ I ∈ ( SMN)
I ∈ AC mà AC ⊂ (SAC) ⇒ I ∈ (SAC)
⇒ I là điểm chung của (SMN ) và (SAC)
⇒ ( SMN) ∩ (SAC) = SI
– Trong (SMN), gọi O = MN ∩ SI
O ∈ MN
O ∈ SI mà SI ⊂ ( SAC) ⇒ O ∈ ( SAC)
Vậy : O = MN ∩ ( SAC )
b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN) :
– Chọn mp phụ (SAC) ⊃ SC
– Tìm giao tuyến của (SAC ) và (AMN)
Ta có : ( SAC) ∩ (AMN) = AO
– Trong (SAC), gọi E = AO ∩ SC
E ∈ SC

Trang 17

P

S

A

O

I

M’

E D

N’
C
B

N

M

Q

I

K J

M

A N

D
C

B

S

§1 .HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

Dạng 5 : Chứng minh hai đường thẳng a và b song song :
Sử dụng một trong các cách sau :
– Chứng minh a và b đồng phẳng và không có điểm chung
– Chứng minh a và b phân biệt và cùng song song với đường thẳng thứ ba
– Chứng minh a và b đồng phẳng và áp dụng các tính chất của hình học phẳng (cạnh đối
của hình
bình hành, định lý talet … )
– Sử dụng các định lý
– Chứng minh bằng phản chứng

Bài tập :
1. Cho hình chóp S với đáy ABCD là hình bình hành .Gọi A’ ,B’, C’ ,D’ lần lượt
là trung
điểm các cạnh SA, SB, SC, SD.
a. Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành
b. Gọi M là điểm bất kì trên BC. Tìm thiết diện của (A’B’M) với hình chóp S
Giải
a. Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành :
Trong tam giác SAB, ta có : A’B’//
2

1 ABTrong tam giác SCD, ta có : C’D ’ / / 21 CD

Mặt khác AB // CD
⇒ A’B’ // C’D’
Vậy : A’B’C’D’ là hình bình hành
b. Tìm thiết diện của (A’B’M) với hình chóp S :
Ta có : AB ∕ ∕ A’B’ và M là điểm chung của (A’B’M) và (ABCD)
Do đó giao tuyến của (A’B’M) và (ABCD) là Mx song song AB và A’B’
Gọi N = Mx ∩ AD
Vậy : thiết diện là hình thang A’B’MN
2. Cho hình chóp S với đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy AB và CD (AB
> CD).

Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB
a. Chứng minh : MN ∕ ∕ CD
b. Tìm P = SC ∩ (ADN)
c. Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I.
Chứng minh : SI ∕ ∕ AB ∕ ∕ CD. Tứ giác SABI là hình gì?
Giải
a. Chứng minh : MN ∕ ∕ CD :
Trong tam giác SAB, ta có : MN ∕ ∕ AB
Mà AB ∕ ∕ CD ( ABCD là hình thang )

N

M

S

A

B

D C

A’ B ‘

D’ C’

I

E

S

B

C

M N

P

D

A

Vậy : MN ∕ ∕ CD b. Tìm P = SC ∩ ( ADN ) :

• Chọn mp phụ ( SBC ) ⊃ SC
• Tìm giao tuyến của ( SBC ) và ( ADN ) Ta có : N là điểm chung của ( SBC ) và ( ADN ) Trong ( ABCD ), gọi E = AD ∩ AC ⇒ ( SBC ) ∩ ( ADN ) = NE
• Trong ( SBC ), gọi P = SC ∩ NE Vậy : P = SC ∩ ( ADN ) c. Chứng minh : SI / / AB / / CD. Tứ giác SABI là hình gì ?

Ta có : SCD CDABSISABSCD/ / / /CD / / AB) ( CD) ( AB) ( ( SAB ) SI⇒   ⊂⊂∩ =( theo định lí 2 )

Xét ∆ ASI, ta có : SI // MN ( vì cùng song song AB)
M là trung điểm AB
⇒ SI // 2MN
Mà AB 2
Do đó : SI //AB
Vậy : tứ giác SABI là hình bình hành
3. Cho tứ diện ABCD .Gọi I ,J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD.
Chứng minh : IJ ∕ ∕ CD
Giải
Gọi E là trung điểm AB

Ta có :  ∈∈ DEJCEI ⇒ IJ và CD đồng phẳngDo đó : 31EDEJ ECEI ( đặc thù trọng tâm )

Vậy : IJ // CD
4. Cho hình chóp S có đáy ABCD là hình thang (đáy lớn AB). Gọi I, J lần lượt là

trung điểm AD và BC, K là điểm trên cạnh SB sao cho SN =
3

2
SB.

a. Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJK)
b. Tìm thiết diện của (IJK) với hình chóp S
Tìm điều kiện để thiết diện là hình bình hành
Giải
a. Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJK) :
Ta có : AB ∕ ∕ IJ và K là điểm chung của (SAB) và (IJK)
Vậy : giao tuyến là đường thẳng Kx song song AB
b. Tìm thiết diện của (IJK) với hình chóp S :
Gọi L = Kx ∩ SA
Thiết diện là hình thang IJKL
Do : IJ là đường trung bình của hình thang ABCD

L

S

C

B

I J

K

D

A

J

I
E

C

D

B

A

Source: https://vh2.com.vn
Category : Trái Đất