Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau ta hoàn toàn có thể làm theo những cách sau :

+ Gọi u→ và v→ là hai vecto chỉ phương của hai đường thẳng; chứng minh: u→. v→ = 0

⇒ (u→ ; v→) = 90°

+ Dùng định lí Pytago hòn đảo chứng minh hai đường thẳng vuông góc .
+ Nếu a / / a ’ ; b / / b ’ và a ⊥ b thì a ‘ ⊥ b ‘

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AC = a; BD = 3a. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD. Tính MN.

Hướng dẫn giải

Gọi P. là trung điểm của AB
⇒ PN ; PM lần lượt là đường trung bình của tam giác ABC và ABD .

Suy ra

Ta có AC ⊥ BD ⇒ PN ⊥ PM hay tam giác PMN vuông tại P.

Do đó

Chọn B

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD. Mặt phẳng (P) song song với AB và CD lần lượt cắt BC; DB; AD; AC tại M; N; P; Q. Tứ giác MNPQ là hình gì?

A. Hình thang
B. Hình bình hành
C. Hình chữ nhật
D. Tứ giác không phải hình thang

Quảng cáo

Hướng dẫn giải

Ta có

Tương tự ta có : MN / / CD ; NP / / AB và QP / / CD
Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành
Lại có MN ⊥ MQ ( do AB ⊥ CD )
⇒ Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật
Chọn C

Ví dụ 3: Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC’ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M; N; P; Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC; CB; BC’ và C’A. Tứ giác MNPQ là hình gì?

A. Hình bình hành
B. Hình chữ nhật
C. Hình vuông
D. Hình thang

Hướng dẫn giải

Vì M ; N ; P. ; Q. lần lượt là trung điểm của những cạnh AC ; CB ; BC ’ và C’A

⇒ MNPQ là hình bình hành

Gọi H là trung điểm của AB.

Vì hai tam giác ABC và ABC’ đều nên

Suy ra AB ⊥ ( CHC ‘ ). Do đó AB ⊥ CC ‘

Ta có

Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật
Chọn B

Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có thể sai?

A. A’C ‘ ⊥ BD
B. BB ‘ ⊥ BD
C. A’B ⊥ DC ‘
D. BC ‘ ⊥ A’D

Hướng dẫn giải

Chọn B
Chú ý : Hình hộp có toàn bộ những cạnh bằng nhau còn gọi là hình hộp thoi
A đúng vì :

Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu AB→.AC→ = AC→.AD→ = AD→.AB→ thì AB ⊥ CD, AC ⊥ BD, AD ⊥ BC. Điều ngược lại đúng không?

Sau đây là giải thuật :

Bước 1: AB→.AC→ = AC→.AD→ ⇔ AC→.(AB→ – AD→) = 0 ⇔ AC.DB = 0 ⇔ AC ⊥ BD

Bước 2: Chứng minh tương tự, từ AC→.AD→ = AD→.AB→ ta được AD ⊥ BC và AB→.AC→ = AD→.AB→ ta được AB ⊥ CD

Bước 3 : trái lại đúng, vì quy trình chứng minh ở bước 1 và 2 là quy trình biến hóa tương tự
Bài giải trên đúng hay sai ? Nếu sai thì sai ở đâu ?
A. Đúng
B. Sai từ bước 1
C. Sai từ bước 1
D. Sai bước 3

Hướng dẫn giải

Chọn A .

Quảng cáo

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N, P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, CD, AD, BC và AC. Tính góc của hai đường thẳng AB và CD?

A. ( AB, CD ) = 60 °
B. ( AB, CD ) = 30 °
C. ( AB, CD ) = 45 °
D. ( AB, CD ) = 90 °
Hiển thị lời giải

+ Ta chứng minh MN vuông góc với RQ :
Ta có MC = MD = ( a √ 3 ) / 2 nên tam giác MCD cân tại M, do đó MN ⊥ CD
Lại có RP / / CD ⇒ MN ⊥ RQ
+ Tương tự ta có QP ⊥ AD
+ Trong tam giác vuông PDQ ta có :

Chọn D

Câu 2: Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC’ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC’ và C’A. Tứ giác MNPQ là hình gì?

A. Hình bình hành
B. Hình chữ nhật
C. Hình vuông
D. Hình thang
Hiển thị lời giải

Chọn B
+ xét tam giác ABC có MN là đường trung bình nên
MN / / AB và MN = ( 50% ) AB ( 1 )
+ Tương tự có : PQ / / AB và PQ = 1/2 AB ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra : MNPQ là hình bhình hành .
Gọi H là trung điểm của AB .

Vì hai tam giác ABC và ABC’ đều nên

Câu 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Trên các cạnh DC và BB’ lấy các điểm M và N sao cho MD = NB = x (0 ≤ x ≤ a). Khẳng định nào sau đây là đúng?

a ) Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. AC ‘ ⊥ B’D ‘
B. AC ’ cắt B’D ’
C. AC ’ và B’D ’ đồng phẳng
D. Cả A, B, C đều đúng
b ) chứng minh và khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. AC ‘ ⊥ MN
B. AC ’ và MN cắt nhau
C. AC ’ và MN đồng phẳng
D. Cả A, B, C đều đúng
Hiển thị lời giải

Câu 4: Cho tứ diện ABCD có AC = a, BD = 3a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD. Tính MN.

Hiển thị lời giải

Chọn A
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD
Ta có :

Mà:

Từ ( 1 ), ( 2 ) ⇒ MENF là hình chữ nhật .
Từ đó ta có :

Chọn D

Quảng cáo

Câu 5: Cho tứ diện ABCD có AB = a ; BD = 3a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD. Tính MN

Hiển thị lời giải

Chọn B
Kẻ NP / / AC, nối MP
Do NP là đường trung bình tam giác ABC
⇒ PN = ( 50% ). AC = a / 2
Do MP là đường trung bình tam giác ABD
⇒ PM = ( 50% ). BD = 3 a / 2
Lại có ( AC, BD ) = ( PN, PM ) = ∠ MPN = 90 °
⇒ Tam giác MNP vuông tại P. .

Vậy

Câu 6: Cho tứ diện ABCD có AB = CD. Gọi I; J; E; F lần lượt là trung điểm của AC; BC; BD; AD. Góc (IE; JF) bằng

A. 30 ° B. 45 ° C. 60 ° D. 90 °
Hiển thị lời giải

Chọn D

Tam giác ABC có IJ là đường trung bình nên IJ / / AB và IJ = 1/2 AB ( 1 )
Tam giác ABD có EF là đường trung bình nên EF / / AB và EF = 1/2 AB ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra : Tứ giác IJEF là hình bình hành .

Mặt khác mà AB = CD nên IJ = JE

Do đó IJEF là hình thoi
Suy ra ( IE ; JF ) = 90 °

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại khoahoc.vietjack.com

Đã có app VietJack trên điện thoại thông minh, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi trực tuyến, Bài giảng …. không tính tiền. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS .

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Theo dõi chúng tôi không lấy phí trên mạng xã hội facebook và youtube :

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

Source: https://vh2.com.vn
Category : Trái Đất