Đồ họa của Tech Insider cho thấy những lục địa sẽ hợp nhất thành một dải đất duy nhất trong vòng 250 triệu năm tới . Bạn đang đọc: Các...
60 câu Trắc nghiệm Hệ tọa độ trong không gian có đáp án – Toán 12
Trắc nghiệm Hệ tọa độ trong không gian có đáp án – Toán 12
Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho vectơ a→ = (2; 1; -2). Tìm tọa độ của các vectơ b→ cùng phương với vectơ a→ và có độ dài bằng 6.
Ta có :
Mặt khác hai vectơ này cùng phương nên ta có :
Từ đó ta suy ra
Vậy đáp án cần tìm là C .
Lưu ý. Đáp án D là sai, do sai lầm đáng tiếc trong tính độ dài của vectơ a → :
Mà hai vectơ này cùng phương nên ta có :
Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ
Với những giá trị nào của m thì sin ( a →, b → ) đạt giá trị lớn nhất
A. m = 1 C. m = – 8
B. m = 1 hoặc m = – 8 D. Không sống sót m thỏa mãn nhu cầu .
Với mọi cặp vectơ
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hay hai vectơ này vuông góc. Điều đó tương đương với điều kiện :
Chọn B .
Nếu tất cả chúng ta tâm lý sai là : ‘ ‘ sin ( a →, b → ) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi góc giữa hai vectơ đó lớn nhất ’ ’ thì khi đó góc giữa hai vectơ bằng 180 o, do đó sống sót số k âm sao cho :
Hệ này vô nghiệm và dẫn đến ta chọn đáp án là D .
Câu 3: Trong không gian Oxyz, gọi φ là góc tạo bởi hai vectơ a→ = (4; 3; 1); b→ = (-1; 2; 3). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Ta có
Suy ra
Vậy đáp án đúng là A .
Lưu ý. Đáp án B sai do tính nhầm
Đáp án C sai do tính nhầm
Đáp án D sai do tính nhầm
Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABDC với A(0;0;0), B(1;-2;3), D(3;1;-4). Tọa độ của điểm C là:
A. ( 4 ; – 1 ; – 1 ) B. ( 2 ; 3 ; – 7 ) C. ( 3/2 ; 50% ; – 2 ) D. ( – 2 ; – 3 ; 7 )
Vì ABDC là hình bình hành nên ta có :
Vậy đáp án đúng là B .
Lưu ý. Đáp án A sai do nhầm giải thiết ABCD là hình bình hành .
Đáp án C xuất phát từ việc vận dụng sai quy tắc hình bình hành
Đáp án D xuất phát từ sai lầm đáng tiếc cho rằng : AC → = DB
Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(1;0;0), B(1;2;0), D(2;-1;0), A’(5;2;2). Tọa độ điểm C’ là:
A. ( 3 ; 1 ; 0 ) B. ( 8 ; 3 ; 2 ) C. ( 2 ; 1 ; 0 ) D. ( 6 ; 3 ; 2 )
Vì ACC’A ’, ABCD là những hình bình hành nên vận dụng quy tắc hình bình hành ta có :
Từ đó suy ra :
Vậy đáp án đúng là D .
Lưu ý. Đáp án A sai do cho rằng tọa độ của C ’ là tổng tọa độ của hai điểm B và D .
Đáp án B sai do cho rằng tọa độ của C ’ là tổng tọa độ của ba điểm B, D và A ’
Đáp án C xuất phát từ sai lầm đáng tiếc rằng
Câu 6: Cho hai vectơ a→, b→ thay đổi nhưng luôn thỏa mãn:
Giá trị nhỏ nhất của
A. 11 B. – 1 C. 1 D. 0
Áp dụng bất đẳng thức vectơ
Dấu bằng xảy ra khi 2 vectơ
cùng hướng. Vậy độ dài của vectơ | a → – 2 b → | ≥ 0 nhỏ nhất bằng 1 .
Suy ra đáp án đúng là C .
Lưu ý. Đáp án A là giá trị lớn nhất của
Đáp án B xuất phát từ bất đẳng thức
tuy nhiên đáp án B sai do độ dài của một vectơ không âm
Đáp án D xuất phát từ nhận xét
tuy nhiên trong trường hợp này dấu bằng không xảy ra
Câu 7: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: x2 + y2 + z2 – 2x – 2y – 4z + 5 = 0
Trong những chứng minh và khẳng định sau, khẳng định chắc chắn nào sai ?
A. Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 1 ; 1 ; 2 ) và đường kính có độ dài bằng 2 .
B. Phương trình chính tắc của mặt cầu ( S ) là : ( x – 1 ) 2 + ( y – 1 ) 2 + ( z – 2 ) 2 = 1
C. Diện tích của mặt cầu ( S ) là π
D. Thể tích của khối cầu ( S ) là 4 π / 3
Ta viết lại phương trình của ( S ) dưới dạng chính tắc như sau :
x2 + y2 + z2 – 2 x – 2 y – 4 z + 5 = 0
<=> (x2 – 2x + 1) +(y2 – 2y + 1) + (z2 – 4z + 4) = 1 + 1 + 4 – 5
<=> (x – 1)2 + (y – 1)2 + (z – 2)2 = 1
Vậy chứng minh và khẳng định B đúng .
Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 1 ; 1 ; 2 ) và có nửa đường kính R = 1, do đó đường kính của ( S ) là 2R = 2 .
Vậy khẳng định chắc chắn A đúng .
Thể tích của khối cầu ( S ) là
Vậy chứng minh và khẳng định D đúng
Khẳng định C là sai do nhầm giữa công thức diện tích quy hoạnh của mặt cầu với diện tích quy hoạnh của đường tròn. Diện tích mặt cầu ( S ) là : 4 πR2 = 4 π
Câu 8: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện đều ABCD có A(0;1;2). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (BCD). Cho H(4;-3;-2). Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD là:
A. I ( 2 ; – 1 ; 0 ) ; R = 2 √ 3 C. I ( 3 ; – 2 ; – 1 ) ; R = 3 √ 3
B. I ( 4 ; – 3 ; – 2 ) ; R = 4 √ 3 D. I ( 3 ; – 2 ; – 1 ) ; R = 9
Do ABCD là tứ diện đều nên H là trọng tâm tam giác BCD và I trùng với trọng tâm G của tứ diện ABCD. Ta có :
Từ đó ta có :
Vậy đáp án C đúng
Lưu ý. Đáp án A sai do nhận định và đánh giá I là trung điểm của AH
Đáp án B sai do cho rằng I trùng H
Đáp án D sai do giám sát nhầm nửa đường kính R
Câu 9: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ u→ = (x; y; z), v→ = (x’; y’; z’). Khẳng định nào dưới đây sai?
Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ u→ = (x; y; z), v→ = (x’; y’; z’) khác 0→ . Khẳng định nào dưới đây sai?
Câu 11: Trong không gian Oxyz, trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng với mọi u→, v→ ?
Câu 12: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a→ = (x1; y1; z1), b→ = (x2; y2; z2) thay đổi. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng?
Câu 13: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ
Trong những chứng minh và khẳng định sau, khẳng định chắc chắn nào đúng ?
Câu 14: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ
Trong những khẳng định chắc chắn sau, chứng minh và khẳng định nào đúng ?
Câu 15: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ
Câu 16: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ
Trong những chứng minh và khẳng định sau, chứng minh và khẳng định nào đúng ?
Câu 17: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a→ = (x1, y1, z1), 2→ = (x2, y2, z2) thay đổi. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng?
Câu 18: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có tọa độ các điểm là: A(xA; yA, zA), B(xB; yB, zB), CA(xC; yC, zC). Gọi M là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là sai?
Câu 19: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A, B có tọa độ các điểm A(xA; yA, zA), B(xB; yB, zB). Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là:
Câu 20: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;2;0), B(-4;5;3), C(3;-10;-6). Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:
A. ( 0 ; – 1 ; – 1 ) B. ( 0 ; – 3 ; – 3 ) C. ( 0 ; – 2 ; – 2 ) D. Đáp án khác
Câu 21: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(2;3;-1), B(1;3;2), G(2;-3;-1) là trọng tâm của tam giác ABC. Tọa độ của điểm C là:
A. ( 3 ; – 15 ; – 4 ) B. ( – 1 ; – 9 ; – 2 ) C. ( – 3 ; 15 ; 4 ) D. ( 1 ; 9 ; 2 )
Câu 22: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ
Tọa độ của vectơ
A. ( 4 ; 3 ; 9 ) B. ( 4 ; 3 ; 21 ) C. ( 2 ; – 1 ; 10 ) D. ( 4 ; – 1 ; 10 )
Câu 23: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;3;-1), B(5;4;-4). Khoảng cách giữa hai điểm A và B là:
A. ( 4 ; 1 ; – 3 ) B. √ 26 C. 2 √ 2 D. √ 66
Câu 24: Cho hai vectơ a→, b→ tạo với nhau một góc 120o. Biết độ dài của hai vectơ đó lần lượt là 4 và 3. Độ dài của vectơ tổng a→ + b→ là:
A. 7 B. 1 C. √ 13 D. √ 37
Câu 25: Cho hai vectơ a→, b→ tạo với nhau một góc 60o . Biết độ dài của hai vectơ đó lần lượt là 5 và 10. Độ dài của vectơ hiệu a→ – b→ là:
A. 15 B. 5 C. 75 D. √ 75
Câu 26: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;2;2), B(-4;-4;-4). Điểm nào dưới đây nằm trên đường thẳng AB?
A. M1 ( – 1 ; 1 ; – 1 ) B. M2 ( 1 ; – 1 ; – 1 ) C. M3 ( – 1 ; – 1 ; 1 ) D. M4 ( – 1 ; – 1 ; – 1 )
Ba điểm A, B, M thẳng hàng khi và chỉ khi hai vecto AB → ; AM → cùng phương
Ta có:
Do đó, ba điểm A, B, M4 thẳng hàng hay điểm M4 nằm trên đường thẳng AB .
Câu 27: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;-3), B(3;6;-9). Điểm nào dưới đây không nằm trên đường thẳng AB?
A. M1 ( 2 ; 4 ; – 6 ) B. M2 ( – 1 ; – 2 ; 3 ) C. M3 ( 0 ; 0 ; 1 ) D. M4 ( 5 ; 10 ; – 15 )
Để ba điểm A, B, M không thẳng hàng khi và chỉ khi hai vecto AB → ; AM → không cùng phương
Ta có:
Do đó, hai vecto này không cùng phương
Suy ra ba điểm A, B, M3 không thẳng hàng hay điểm M3 không nằm trên đường thẳng AB .
Câu 28: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2;1;-3), B(4;2;-6), C(10;5;-15). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Câu 29: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a→ = (1; -2; -3), b→ = (m; 2m – 1; 1). Với những giá trị nào của m thì hai vectơ a→ và b→ vuông góc?
A. m = – 1/3 B. m = – 1/2 C. m = 1 D. m = 0
Câu 30: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a→ = (1; m; 2m – 1), b→ = (m + 1; m2 + 1; 4m – 2). Với những giá trị nào của m thì cos(a→, b→) đạt giá trị lớn nhất?
A. m = 1/2 C. m = 1
B. m = 1 hoặc m = 1/2 D. Không sống sót m thỏa mãn nhu cầu
Câu 31: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a→ = (1; -2; 2), b→ = (-2; m – 3; m). Với những giá trị nào của m thì hai vectơ a→ và b→ có độ dài bằng nhau?
A. m = 1 hoặc m = 2 C. m = 2
B. m = 1 D. Không có m
Câu 32: Trong không gian Oxyz, cho điểm G(1;2;3) là trọng tâm của tam giác ABC trong đó A thuộc trục Ox, B thuộc trục Oy, C thuộc trục Oz. Tọa độ các điểm A, B, C là:
A. A ( 1 ; 0 ; 0 ), B ( 0 ; 2 ; 0 ), C ( 0 ; 0 ; 3 ) C. A ( – 3 ; 0 ; 0 ), B ( 0 ; – 6 ; 0 ), C ( 0 ; 0 ; – 9 )
B. A ( 3 ; 0 ; 0 ), B ( 0 ; 6 ; 0 ), C ( 0 ; 0 ; 9 ) D. A ( 6 ; 0 ; 0 ), B ( 0 ; 3 ; 0 ), C ( 0 ; 0 ; 9 )
Do A thuộc trục Ox, B thuộc trục Oy, C thuộc trục Oz nên A ( a ; 0 ; 0 ) ; B ( 0 ; b ; 0 ) và C ( 0 ; 0 ; c ) .
Mà điểm G ( 1 ; 2 ; 3 ) là trọng tâm của tam giác ABC nên :
Câu 33: Trong không gian Oxyz, ba điểm nào dưới đây lập thành ba đỉnh của một tam giác?
A. A ( 1 ; 2 ; 3 ), B ( 5 ; – 4 ; – 1 ), C ( 3 ; – 1 ; 1 ) C. A ( 1 ; 2 ; 3 ), B ( 5 ; – 4 ; – 1 ), C ( 9 ; – 10 ; – 5 )
B. A ( 1 ; 2 ; 3 ), B ( 5 ; – 4 ; – 1 ), C ( 6 ; – 2 ; 2 ) D. A ( 1 ; 2 ; 3 ), B ( 5 ; – 4 ; – 1 ), C ( – 3 ; 8 ; 7 )
Để ba điểm A, B, C lập thành ba đỉnh của 1 tam giác khi và chỉ khi ba điểm A, B, C không thẳng hàng hay hai vecto AB → ; AC → không cùng phương
Xét giải pháp B ta có :
AB → = ( 4 ; – 6 ; – 4 ) ; AC → = ( 5 ; – 4 ; – 1 )
Suy ra hai vecto này không cùng phương hay 3 điểm A, B, C không thằng hàng.
Câu 34: Cho hai vectơ a→, b→ thay đổi nhưng luôn thỏa mãn
Giá trị nhỏ nhất của:
A. 11 B. – 1 C. 1 D. √ 61
Sử dụng bất đẳng thức vectơ :
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai vectơ này ngược hướng. Suy ra đáp án A .
Hai đáp án B và C xuất phát từ sai lầm đáng tiếc
Đáp án D xuất phát từ sai lầm đáng tiếc
Câu 35: Trong không gian cho hai điểm A(x; y; z), B(m, n, p) thay đổi nhưng luôn thỏa mãn các điều kiện x2 + y2 + z2 = 4, m2 + n2 + p2 = 9. Vectơ AB→ có độ dài nhỏ nhất là:
A. 5 B. 1 C. 13 D. Không sống sót
Từ giả thiết suy ra
Do đó AB ≥ | OA – OB | = 1. Dấu bằng xảy ra khi O nằm ngoài đoạn AB. Suy ra đáp án đúng là B .
Hai đáp án A, D sai do nhầm OA = x2 + y2 + z2 = 4 ; OB = mét vuông + n2 + p2 = 9
Đáp án C sai do nhầm với câu hỏi vectơ AB → có độ dài lớn nhất
Câu 36: Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD với A(0;1;-2), B(3;-2;1), D(1;4;2). Tọa độ của điểm C là:
A. ( 4 ; 1 ; 5 ) B. ( 4 ; 3 ; 1 ) C. ( 4 ; 2 ; 3 ) D. ( 4 ; 1 ; 1 )
Câu 37: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(0;0;0), B(1;2;0), D(2;-1;0), A’(5;2;3). Tọa độ của điểm C’ là:
A. ( 3 ; 1 ; 0 ) B. ( 8 ; 3 ; 3 ) C. ( – 8 ; – 3 ; – 3 ) D. ( – 2 ; – 1 ; – 3 )
Sử dụng quy tắc hình hộp trong không gian :
Ta có :
Câu 38: Trong không gian Oxyz, cho vectơ a→ = (1; -2; 3). Tìm tọa độ của vectơ b→ biết rằng vectơ b→ ngược hướng với vectơ a→ và |b→| = 2|a→|
Vì vectơ b → ngược hướng với vectơ a → và | b → | = 2 | a → | nên :
b → = – 2 a → = ( – 2 ; 4 ; – 6 )
Câu 39: Trong không gian Oxyz, cho vectơ a→ = (-1; -2; 3). Tìm tọa độ của vectơ b→ = (2; y; z) biết rằng vectơ b→ cùng phương với vectơ a→
Vectơ b → cùng phương với vectơ a → khi và chỉ khi sống sót 1 số ít thực k thỏa mãn nhu cầu :
Câu 40: Trong không gian Oxyz, cho vectơ a→ = (m; m + 3; 3 – 2m). Với giá trị nào của m thì vectơ a→ có độ dài nhỏ nhất
A. m = 1/2 B. m = 0 C. m = 1 D. m = – 3
Câu 41: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ u→ = (3; 4; 0), v→ = (2; -1; 2). Tích vô hướng của hai vectơ u→ và v→ là:
A. 15 B. 2 C. 3 D. 0
Câu 42: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là:
( x – 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z + 3 ) 2 = 25
Tìm tọa độ tâm I và nửa đường kính R của mặt cầu ( S )
A. I ( 1 ; – 2 ; – 3 ) ; R = 25 C. I ( – 1 ; 2 ; 3 ) ; R = 25
B. I ( – 1 ; 2 ; 3 ) ; R = 5 D. I ( 1 ; – 2 ; – 3 ) ; R = 5
Câu 43: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là:
x2 + y2 + z2 – 2 x + 4 y + 4 z + 5 = 0
Tìm tọa độ tâm I và nửa đường kính R của mặt cầu ( S )
A. I ( 1 ; – 2 ; – 2 ) ; R = 2 C. I ( – 1 ; 2 ; 2 ) ; R = 2
B. I ( 1 ; – 2 ; – 2 ) ; R = 4 D. I ( – 2 ; 4 ; 4 ) ; R = 4
Câu 44: Phương trình nào dưới đây là phương trình của một mặt cầu?
A. x2 + y2 + z2 – 2 x + 4 y – 8 z – 25 = 0
B. x2 + y2 + z2 – 2 x – 4 y – 6 z + 15 = 0
C. 3×2 + 3 y2 + 3 z2 – 6 x – 7 y – 8 z + 1 = 0
D. ( x – 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z + 3 ) 2 + 10 = 0
Sử dụng phương trình x2 + y2 + z2 – 2 ax – 2 by – 2 cz + d = 0 là phương trình của một mặt cầu khi và chỉ khi a2 + b2 + c2 – d > 0
+ Phương án A và B không thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo a2 + b2 + c2 – d > 0
+ Phương án C : 3×2 + 3 y2 + 3 z2 – 6 x – 7 y – 8 z + 1 = 0
Nên đây có là phương trình mặt cầu .
+ Phương án D : ( x – 1 ) 2 + ( y – 2 ) 2 + ( z – 3 ) 2 + 10 = 0
⇔ ( x – 1 ) 2 + ( y – 2 ) 2 + ( z – 3 ) 2 = – 10 nên không là phương trình mặt cầu .
Câu 45: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là:
3×2 + 3 y2 + 3 z2 + 6 x – 8 y + 15 z – 3 = 0
Tìm tọa độ tâm I và nửa đường kính R của mặt cầu ( S ) .
Câu 46: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có đường kính AB với A(-2;-4;3), B(4;2;0). Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).
( S ) có nửa đường kính :
và có tâm I là trung điểm của AB. Ta có :
Câu 47: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(1;-2;-3) và đi qua điểm M(-1;0;-2). Phương trình của mặt cầu (S) là:
A. ( x – 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z + 3 ) 2 = 3 C. ( x + 1 ) 2 + ( y – 2 ) 2 + ( z – 3 ) 2 = 3
B. ( x + 1 ) 2 + ( y – 2 ) 2 + ( z – 3 ) 2 = 9 D. ( x – 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z + 3 ) 2 = 9
Câu 48: Cho (S) là mặt cầu có tâm I(1;2;4) và đi qua điểm M(-1;4;3). Khẳng định nào dưới đây sai?
A. Bán kính của mặt cầu ( S ) là R = IM = 3
B. Phương trình chính tắc của mặt cầu ( S ) là : ( x – 1 ) 2 + ( y – 2 ) 2 + ( z – 4 ) 2 = 9
C. Mặt cầu ( S ) đi qua gốc tọa độ
D. Phương trình tổng quát của mặt cầu ( S ) là : x2 + y2 + z2 – 2 x – 4 y – 8 z + 12 = 0
Ta có: .
Suy ra :
* Bán kính của mặt cầu ( S ) là R = IM = 3
* Phương trình chính tắc của mặt cầu ( S ) là :
( x – 1 ) 2 + ( y – 2 ) 2 + ( z – 4 ) 2 = 9
* Phương trình tổng quát của mặt cầu ( S ) là :
x2 + y2 + z2 – 2 x – 4 y – 8 z + 12 = 0
* Thay tọa độ điểm O vào phương trình mặt cầu ta thấy không thỏa mãn nhu cầu nên mặt cầu không đi qua gốc tọa độ O .
Câu 49: Cho mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3), bán kính R=4. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Diện tích của mặt cầu ( S ) bằng 16 π
B. Thể tích của khối cầu ( S ) bằng 64 π / 3
C. Phương trình chính tắc cúa ( S ) là : ( x + 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z + 3 ) 2 = 16
D. Phương trình tổng quát của mặt cầu ( S ) là : x2 + y2 + z2 – 2 x – 4 y – 6 z – 2 = 0
Câu 50: Cho mặt cầu (S) có tâm I(1;2;-1) và bán kính R=3. Phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với mặt cầu (S) qua gốc tọa độ là:
A. ( x – 1 ) 2 + ( y – 2 ) 2 + ( z + 1 ) 2 = 9
C. x2 + y2 + z2 – 2 x – 4 y + 2 z – 3 = 0
B. ( x + 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z – 1 ) 2 = 9
D. x2 + y2 + z2 = 9
Mặt cầu ( S ’ ) đối xứng với mặt cầu ( S ) qua gốc tọa độ nên mặt cầu ( S ’ ) có tâm I ’ ( – 1 ; – 2 ; 1 ) đối xứng với I qua gốc O và có nửa đường kính R ’ = R = 3 .
Phương trình mặt cầu ( S ’ ) là : ( x + 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z – 1 ) 2 = 9
Câu 51: Cho mặt cầu (S) có phương trình: x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 6z – 2 = 0. Điểm M(m; -2; 3) nằm trong mặt cầu khi và chỉ khi:
A. m = 6 B. m > – 3 C. – 3 < m < 5 D. m < 5 Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 1 ; - 2 ; 3 ) ,
M nằm trong mặt cầu ( S ) khi và chỉ khi : IM < R nên
Câu 52: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(0;0;1), bán kính R=5. Mặt phẳng (P): 4x – 4y + z + m = 0 cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 5. Khi đó m bằng:
A. m = – 1 B. m = – 4 C. m = 3 D. Đáp số khác
Do mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo một đường tròn có nửa đường kính bằng 5 bằng nửa đường kính mặt cầu nên tâm I thuộc mặt phẳng ( P ) .
Thay tọa độ tâm I vào phương trình mặt phẳng ( P ) ta được :
4.0 – 3.0 + 1 + m = 0 nên m = – 1 .
Câu 53: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O, A(4;0;0), B(0;-2;0), C(0;0;2). Phương trình của mặt cầu (S) là:
A. ( x – 1 ) 2 + ( y + 1 ) 2 + ( z – 1 ) 2 = 6 C. ( x – 4 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z + 2 ) 2 = 24
B. ( x – 2 ) 2 + ( y + 1 ) 2 + ( z – 1 ) 2 = 24 D. ( x + 2 ) 2 + ( y – 1 ) 2 + ( z + 1 ) 2 = 6
Gọi I ( a ; b ; c ) là tâm của mặt cầu ( S ). Ta có :
Từ đó : R = OI = √ 6
Vậy phương trình của mặt cầu ( S ) là : ( x – 2 ) 2 + ( y + 1 ) 2 + ( z – 1 ) 2 = 6
Câu 54: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O, A(-4;0;0), B(0;2;0), C(0;0;4). Phương trình của mặt cầu (S) là:
A. x2 + y2 + z2 + 2 x – y – 2 z = 0 C. x2 + y2 + z2 + 4 x – 2 y + 4 z = 0
B. x2 + y2 + z2 + 4 x + 2 y – 4 z = 0 D. x2 + y2 + z2 + 4 x – 2 y – 4 z = 0
Phương trình tổng quát của mặt cầu ( S ) có dạng x2 + y2 + z2 – 2 ax – 2 by – 2 cz + d = 0 với a2 + b2 + c2 – d > 0
Ta có : O ( 0 ; 0 ; 0 ) ∈ ( S ) ⇔ d = 0
A ( – 4 ; 0 ; 0 ) ∈ ( S ) ⇔ ( – 4 ) 2 + 02 + 02 – 2 a. ( – 4 ) – 0 – 0 + 0 = 0 ⇔ a = – 2
B ( 0 ; 2 ; 0 ) ∈ ( S ) ⇔ 02 + 22 + 02 – 0 – 2 b. 2 – 0 + 0 = 0 ⇔ b = 1
C ( 0 ; 0 ; 4 ) ∈ ( S ) ⇔ 02 + 02 + 42 – 0 – 0 – 2 c. 4 – 0 = 0 ⇔ c = 2
Vậy phương trình tổng quát của mặt cầu ( S ) là : x2 + y2 + z2 + 4 x – 2 y – 4 z = 0
Câu 55: Vị trí tương đối của hai mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1), bán kính R = 1 và mặt cầu (S’) có tâm I'(3;3;3), bán kính R’=1 là:
A. ở ngoài nhau B. tiếp xúc C. cắt nhau D. chứa nhau
Do đó, hai mặt cầu đã cho ở ngoài nhau .
Câu 56: Vị trí tương đối của hai mặt cầu: x2 + y2 + z2 + 2x – 2y – 2z – 7 = 0 và x2 + y2 + z2 + 2x + 2y + 4z + 5 = 0 là:
A. ở ngoài nhau B. tiếp xúc C. cắt nhau D. chứa nhau
Mặt cầu : x2 + y2 + z2 + 2 x – 2 y – 2 z – 7 = 0 có tâm I ( – 1 ; 1 ; 1 ) và
Mặt cầu : x2 + y2 + z2 + 2 x + 2 y + 4 z + 5 = 0 có tâm I ’ ( – 1 ; – 1 ; – 2 ) và R ’ = 1
Do đó, hai mặt cầu này cắt nhau .
Câu 57: Trong không gian Oxyz, cho A(1;0;-3), B(-3;-2;-5). Biết rằng tập hợp các điểm M trong không gian tỏa mãn đẳng thức AM2 + 2BM2 = 30 là một mặt cầu (S). Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của (S).
A. I ( – 1 ; – 1 ; – 4 ) ; R = √ 6 C. I ( – 1 ; – 1 ; – 4 ) ; R = √ 30/2
B. I ( – 2 ; – 2 ; – 8 ) ; R = 3 D. I ( – 1 ; – 1 ; – 4 ) ; R = 3
Gọi I là trung điểm của AB. AB = √ 24
Theo công thức đường trung tuyến ta có
Mặt khác ta có
Nên I ( – 1 ; – 1 ; – 4 ). Từ đó suy ra đáp án đúng là D .
Đáp án A và C sai do nhớ nhầm công thức tính đường trung tuyến
Đáp án B sai do tính nhầm công thức trung điểm
Câu 58: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0;2;-4), B(-3;5;2). Tìm tọa độ điểm M sao cho biểu thức AM2 + 2BM2 đạt giá trị nhỏ nhất.
A. M ( – 3/2 ; 7/2 ; – 1 ) B. M ( – 1 ; 3 ; – 2 ) C. M ( – 2 ; 4 ; 0 ) D. M ( – 3 ; 7 ; – 2 )
Gọi M ( x ; y ; z ). Ta có :
AM2 + 2BM2 = x2 + ( y – 2 ) 2 + ( z + 4 ) 2 + 2 [ ( x + 3 ) 2 + ( y – 5 ) 2 + ( z – 2 ) 2 ]
= x2 + y2 – 4 y + 4 + z2 + 8 z + 16 + 2 ( x2 + 6 x + 9 + y2 – 10 y + 25 + z2 – 4 z + 4 )
= 3 ( x2 + y2 + z2 + 4 x – 8 y ) + 96 = 3 [ ( x + 2 ) 2 + ( y – 4 ) 2 + z2 ] + 36 ≥ 36
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = – 2, y = 4, z = 0 → M ( – 2 ; 4 ; 0 ) .
Vậy đáp án đúng là C
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M trùng I. Từ đó sau khi tìm được điểm I ta suy ra đáp án C đúng .
Nếu đề bài hỏi AM2 + BM2 đạt giá trị nhỏ nhất thì đáp án đúng là A ( vị trí trung điểm của AB )
Câu 59: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là: (x – 1)2 + (y – 1)2 + (z – 3)2 = 4
Cho ba điểm A, M, B nằm trên mặt cầu ( S ) thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo góc AMB = 90 o. Diện tích tam giác AMB có giá trị lớn nhất là :
A. 4 B. 2 C. 4 π D. Không sống sót
Ba điểm A, M, B nằm trên mặt cầu (S) thỏa mãn điều kiện = 90°
Nên tam giác AMB vuông tại M .
Ta có :
Dấu bằng xáy ra khi và chỉ khi tam giác MAB vuông cân tại M và AB là một đường kính của mặt cầu ( S ). Vậy đáp án đúng là A .
Câu 60: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu (S) và (S’) có tâm lần lượt là I(-1;2;3), I’(3;-2;1) và có bán kính lần lượt là 4 và 2. Cho điểm M di động trên mặt cầu (S), N di động trên mặt cầu (S’). Khi đó giá trị lớn nhất của đoạn thẳng MN bằng:
A. 8 B. 2 C. 12 D. 6
Xem thêm: Tổng Hợp Công Thức Hình Học Không Gian Lớp 8 2022 Chi, Công Thức Hình Học Không Gian Lớp 8
Ta có : II ‘ = 6 = R + R ‘
Ta có : MN ≥ MI + II ‘ + I’N = R + 6 + R ‘ = 12
Dấu bằng xảy ra khi M, I, I ‘, N theo thứ tự nằm trên một đường thẳng. Do đó M là giao điểm của tia đối của tia II ‘ với mặt cầu ( S ), N là giao điểm của tia đối của tia I’I với mặt cầu ( S ’ ). Vậy đáp án đúng là C .
Xem thêm
Source: https://vh2.com.vn
Category : Trái Đất