Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;-2;3) và cắt các…

LÝ THUYẾT

I. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng.

1.  Định nghĩa:

Cho mặt phẳng (α). Nếu vecto n→≠0→ và có giá vuông góc với mặt phẳng (α) thì n→ được gọi là vecto pháp tuyến của (α)

2. Chú ý. Nếu là n→ vecto pháp tuyến của một mặt phẳng thì kn→(k≠0) cũng là vecto pháp tuyến của  mặt phẳng đó. 

3. Tích có hướng của hai vectơ

– Định nghĩa: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a→⁢=(a1;a2;a3). Tích có hướng của hai vectơ a→ và  (b→ kí hiệu là [a→,b→], được xác định bởi

[ a →, b → ] = ( | a2 a3b2 b3 | ; | a3a1b3b1 | ; | a1a2b1b2 | ) = ( a2 ⁢ b3-a3 ⁢ b2 ; a3 ⁢ b1-a1 ⁢ b3 ; a1 ⁢ b2-a2 ⁢ b1 )

– Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; 1;1); B(-1; 2; 0) và C(0; 1; -2).

Hãy tìm tọa độ của một vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( ABC ) .

Lời giải:

Ta có : A ⁢ B → ⁢ ( – 3 ; 1 ; – 1 ) ; A ⁢ C → ⁢ ( – 2 ; 0 ; – 3 )
Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( ABC ) là :
n → = [ A ⁢ B → ; A ⁢ C → ] = ( – 3 ; – 7 ; 2 ) .

II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

1. Định nghĩa.

– Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0 trong đó A ; B ; C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng .

– Nhận xét.

a ) Nếu mặt phẳng ( α ) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một vecto pháp tuyến là n → ⁢ ( A ; B ; C ) .
b ) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận vectơ n → ⁢ ( A ; B ; C ) khác 0 → là vecto pháp tuyến là : A ( x – x0 ) + B ( y – y0 ) + C ( z – z0 ) = 0 .

Ví dụ 1. Mặt phẳng 2x – y + 3z – 10 = 0 có một vecto pháp tuyến là n→⁢(2;-1;3).

Ví dụ 2. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC) với A(0; 1; -2); B(2; 1; 0); C ( -2; 1; 1)

Lời giải:

Ta có : A ⁢ B → ⁢ ( 2 ; 0 ; 2 ) ; B ⁢ C → ⁢ ( – 4 ; 0 ; 1 )
Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( ABC ) là n → = [ A ⁢ B → ; B ⁢ C ] = ( 0 ; – 10 ; 0 )
Phương trình tổng quát của mặt phẳng ( ABC ) là :
0 ( x – 0 ) – 10 ( y – 1 ) + 0 ( z + 2 ) = 0 hay y – 1 = 0 .

2. Các trường hợp riêng

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0 .
a ) Nếu D = 0 thì mặt phẳng ( α ) đi qua gốc tọa độ O .

b )
– Nếu A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 thì mặt phẳng ( α ) song song hoặc chứa trục Ox .
– Nếu A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0 thì mặt phẳng ( α ) song song hoặc chứa trục Oy .
– Nếu A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 thì mặt phẳng ( α ) song song hoặc chứa trục Oz .

c )
– Nếu A = B = 0 ; C ≠ 0 thì mặt phẳng ( α ) song song hoặc trùng với ( Oxy ) .
– Nếu A = C = 0 ; B ≠ 0 thì mặt phẳng ( α ) song song hoặc trùng với ( Oxz ) .
– Nếu B = C = 0 ; A ≠ 0 thì mặt phẳng ( α ) song song hoặc trùng với ( Oyz ) .

– Nhận xét:

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ( α ⁢ ) : xa + yb + zc = 1. Ở đây ( α ) cắt những trục tọa độ tại những điểm ( a ; 0 ; 0 ) ; ( 0 ; b ; 0 ) ; ( 0 ; 0 ; c ) với a ⁢ b ⁢ c ≠ 0 .

Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(2; 0; 0); N(0; 3; 0); P(0; 0; 1). Phương trình đoạn chắn của mp(MNP) là:

x2 + y3 + z1 = 1

III. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc.

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( α ) và ( β ) có phương trình :
( α ) : A1x + B1y + C1z + D1 = 0
( β ) : A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Hai mặt phẳng ( α ) ; ( β ) có hai vecto pháp tuyến lần lượt là :
n1 → ( A ; 1B1 ; C1 ) ; n2 → ( A ; 2B2 ; C2 )

1. Điều kiện để hai mặt phẳng song song.

( α ) / / ( β ) ⇔ { n1 → = k. n2 → D1 ≠ kD2 ⇔ { ( A1 ; B1 ; C1 ) = k ( A2 ; B2 ; C2 ) D1 ≠ kD2
( α ) ≡ ( β ) ⇔ { n1 → = k. n2 → D1 = kD2 ⇔ { ( A1 ; B1 ; C1 ) = k ( A2 ; B2 ; C2 ) D1 = kD2

– Chú ý:  Để (α) cắt (β) ⇔n1→≠k.n2→ ⇔(A1;B1;C1)≠k(A2;B2;C2).

Ví dụ 4. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A(2; 1; 2) và song song với mặt phẳng (P): x – y + 2z – 1 = 0.

Lời giải:

Vì mp ( α ) song song với mặt phẳng ( P ) : x – y + 2 z – 1 = 0 nên nα → = ( 1 ; – 1 ; 2 )
Mặt phẳng ( α ) đi qua A ( 2 ; 1 ; 2 ) nên có phương trình :
1 ( x – 2 ) – 1 ( y – 1 ) + 2 ( z – 2 ) = 0 hay x – y + 2 z – 5 = 0 .

2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc.

( α ) ⊥ ( β ) ⇔ n1 → ⊥ n2 → ⇔ A1 ⁢ A2 + B1 ⁢ B2 + C1 ⁢ C2 = 0

Ví dụ 5. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(1; 0; 1); B( 2; 1; -1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): x – y + 2z – 1 = 0

Lời giải:

Ta có vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( Q ) là : nQ → = ( 1 ; – 1 ; 2 )
Và A ⁢ B → ⁢ ( 1 ; 1 ; – 2 )
Vì nP → ⊥ nQ → ; nP → ⊥ A ⁢ B → nên nP → = [ nQ → ; A ⁢ B → ] = ( 0 ; 4 ; 2 )
Phương trình mặt phẳng ( P ) là :
0 ( x – 1 ) + 4 ( y – 0 ) + 2 ( z – 1 ) = 0 hay 4 y – 2 z – 2 = 0

IV. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

– Định lí: Trong không gian Oxyz, cho điểm M0(x0; y0; z0) và mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 .

Khi đó khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng ( α ) được tính :
d ⁢ ( M0, ( α ) ) = | A ⁢ x0 + B ⁢ y0 + C ⁢ z0 + D | A2 + B2 + C2 .

Ví dụ 6. Tính khoảng cách từ điểm M(2; 3; 0) và N( 1; 1; 1) đến mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 1 = 0.

Lời giải:

Theo công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ta có :
d ⁢ ( M ; ( P ) ) = | 2.2 – 3 + 2.0 + 1 | 22 + ( – 1 ) 2 + 22 = 23
d ⁢ ( N ; ( P ) ) = | 2.1 – 1 + 2.1 + 1 | 22 + ( – 1 ) 2 + 22 = 43

Ví dụ 7. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được cho bởi phương trình: (P): x – 2y +2z + 3 = 0 và (Q): x – 2y + 2z – 7= 0.

Lời giải:

Ta biết khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia .
Lấy điểm A ( – 3 ; 0 ; 0 ) thuộc mặt phẳng ( P ) .
Ta có : d ⁢ ( ( P ) ; ( Q ) ) = d ⁢ ( A ; ( Q ) ) = | – 3-2. 0 + 2.0 – 7 | 12 + ( – 2 ) 2 + 22 = 103 .

Source: https://vh2.com.vn
Category : Trái Đất