lý thuyết và bài tập toán cao cấp phần không gian vecto

Tóm t t lý thuy t CHƯƠNG 3: KHÔNG GIAN VECTƠ Không gian vectơ Không gian c a không gian vectơ Đ nh nghĩa 1: Cho V m t t p không r ng, xác đ nh hai phép toán: i) Phép tính c ng (ký hi u +): u, v ∈ V, u + v ∈ V ii) Phép nhân vô hư ng: u ∈ V, k ∈ R, ku ∈ V Các ph n t c a R g i vô hư ng (s th c) ph n t c a V g i vectơ V đư c g i không gian vectơ trư ng s th c R n u th a mãn u ki n sau: i) Tính giao hoán c a phép c ng: ∀u, v ∈ V, u + v = v + u ii) Tính k t h p c a phép c ng: ∀u, v, w ∈ V, (u + v ) + w = u + (v + w ) iii) T n t i m t ph n t không, ký hi u 0, th a mãn: ∀u ∈ V, u + = u iv) ∀u ∈ V, t n t i m t ph n t đ i, ký hi u −u, th a mãn: u + (−u ) = ( ) v) ∀u, v ∈ V, ∀k ∈ R, k u + v = ku + kv ( ) vi) ∀u ∈ V, ∀k, h ∈ R, h + k u = hu + ku vii) ∀u ∈ V, ∀k, h ∈ R, h (ku ) = (hk ) u viii) ∀u ∈ V ,1.u = u Phép tính tr KGVT đư c đ nh nghĩa sau: u − v = u + (−v ) Tính ch t: i) Ph n t (iii) ph n t −u (iv) nh t ii) ∀u ∈ V, 0.u =, trong v ph i vectơ không, th c iii) ∀k ∈ R, ∈ V, k = iv) N u ku = ho c k = ho c u = v) −u = (−1) u v trái s Không gian c a không gian vectơ Đ nh nghĩa 2: Không gian vectơ c a không gian vectơ V trư ng R (g i t t không gian con) m t t p h p W c a V th a hai tính ch t sau: i) ∀u, v ∈ W, u + v ∈ W ii) ∀u ∈ W, ∀k ∈ R, ku ∈ W Nh n xét: Các tính ch t (i) (ii) có th đư c thay th b ng u ki n dư i đây: ∀u, v ∈ W, ∀k ∈ R, ku + v ∈ W Đ nh lý 1: Giao c a m t h b t kỳ không gian c a V m t không gian c a V Ph thu c n tính đ c l p n tính Đ nh nghĩa 3: (T h p n tính) V KGVT R Cho v1, v2, , vm ∈ V Vectơ u ∈ V có d ng u = α1v1 + α2v2 + + αm vm αi ∈ R, i = 1, m, đư c g i t h p n tính c a vectơ v1, v2,, vm (1) Đ nh nghĩa 4: (Ph thu c n tính đ c l p n tính) H vectơ v1, v2,, vm c a KGVT V đư c g i ph thu c n tính, n u t n t i vô hư ng α1, α2,, αm, không ph i t t c đ u b ng 0, cho (2) α1v1 + α2v2 + + αmvm = H vectơ không ph thu c n tính đư c g i đ c l p n tính Nh n xét: N u vectơ v1, v2,, vm ph thu c n tính có nh t m t vectơ t h p n tính c a vectơ l i Chú ý: i) Các vectơ v1, v2,, vm đ c l p n tính n u ch n u m α1,, αm ∈ R, ∑ αivi = ⇒ αi = 0, ∀i = 1, m (3) i =1 ii) M i h h u h n vectơ, có vectơ đ u ph thu c n tính iii) ∀v ∈ V, m t h vectơ g m vectơ, ký hi u {v } đ c l p n tính ch v ≠ Bài t p: 3,6,8,11,12,14,17,18,20,21,26,27,29,31,35,39 Cơ s, s chi u t a đ c a KGVT Rn Ta nói r ng h n vectơ B = {f1, f2,, fn } c a KGVT Rn l p thành m t h ph n t sinh c a Rn n u m i vectơ v ∈ Rn m t t h p n tính c a vectơ f1, f2,, fn t c có th bi u di n v dư i d ng: (4) v = α1 f1 + α2 f2 + + αn fn α1, α2, , αn vô hư ng Đ nh nghĩa 5: (Cơ s c a KGVT) Cơ s B = {f1, f2,, fn } c a KGVT Rn m t h ph n t sinh đ c l p n tính, t c B th a hai u ki n sau: i) v ∈ Rn đư c bi u di n dư i d ng (5) v = α1 f1 + α2 f2 + + αn fn (công th c khai tri n vectơ v thành thành ph n) ii) Phương trình λ1 f1 + λ2 f2 + + λn fn = ch th a mãn (6) λ1 = λ2 = = λn = Các vô hư ng α1, α2, , αn đư c g i t a đ B = {f1, f2,, fn } c a vectơ v s Chú ý: M i vectơ v ∈ Rn đư c khai tri n thành thành ph n m t cách nh t Trong s khác nhau, m t vectơ đư c khai tri n thành thành ph n khác (tr vectơ, t t c t a đ c a vectơ m i s đ u b ng 0) Cơ s t c KGVT Rn : kí hi u B0 = {e1, e2, , en } e1 = [1, 0, 0,, 0] e2 = [ 0,1, 0,, 0] e3 = [ 0, 0,1,, 0] ⋮ en = [0, 0, 0, ,1] Đ nh nghĩa 6: (chi u c a KGVT) N u t n t i s nguyên dương n cho KGVT V có m t s g m n vectơ, s nguyên nh t đư c g i s chi u c a KGVT V Ký hi u: n = dimV Theo đ nh nghĩa, chi u s vectơ c a m i s c a V s t i đ i vectơ đ c l p n tính c a KGVT V KGVT có s chi u h u h n g i KGVT h u h n chi u KGVT có th tìm đư c vô s vectơ đ c l p n tính đư c g i KGVT vô h n chi u Đ nh lý 2: Trong KGVT Rn, h b t kỳ g m n vectơ đ c l p n tính t o thành s Đ nh lý 3: H n vectơ c a KGVT Rn đ c l p n tính ch đ nh th c c a ma tr n t o b i thành ph n c a vectơ đó, khác không Bài t p: 40,44,45,46,54, 55,57,58,60,61,63,65,66,68,72,73,74,75,77 H th c bi n đ i t a đ c a vectơ s thay đ i Ma tr n chuy n Cho B = {e1, e2, , en } B′ = {f1, f2, , fn } hai s c a KGVT Rn Ta quy c B s cũ, B′ s m i T a đ c a vectơ s m i B′ đư c bi u di n s cũ B : f1 = α11e1 + α12e2 + + α1nen f2 = α21e1 + α22e2 + + α2nen ⋮ fn = αn 1e1 + αn 2e2 + + αnnen Ma tr n vuông c p n:  α11 α21 αn     α12 α22 αn   PB →B ′ =  (7) ⋮ ⋮ ⋮   α   1n α2n αnn  đư c g i ma tr n bi n đ i t s cũ B = {ei } đ n s m i B′ = {fi } ho c ma tr n chuy n Đ nh lý 4: Gi s PB →B ′ ma tr n chuy n t s B = {ei } sang s B′ = {fi } QB ′→B ma tr n chuy n t s B′ = {fi } sang s B = {ei } Khi PB →B ′ kh ngh ch −1 QB ′→B = PB →B ′ (8) Đ nh lý 5: Gi s PB →B ′ ma tr n chuy n t s B = {ei } sang s B′ = {fi } KGVT V Khi đ i v i vectơ b t kỳ v ∈ V i) [v ]B = PB →B ′ [v ]B ′ (9) −1 ii) [v ]B ′ = PB ′→B [v ]B Bài t p: 78,81,82,83,85,88,89,92,97,100,101,102,108,109,111,114,115,116,117,119 H ng c a h vectơ s liên h c a v i h ng c a ma tr n (M c 3.5 trang 145-146) (10)

– Xem thêm –

Xem thêm: lý thuyết và bài tập toán cao cấp phần không gian vecto,

Source: https://vh2.com.vn
Category : Trái Đất