5 Phép tịnh tiến trong không gian – Tài liệu text

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản vừa đủ của tài liệu tại đây ( 567.27 KB, 95 trang )

28

Tính chất 2: Nếu

r ur

u = 0,

thì phép tịnh tiến

T ur

( )

A ‘, B ‘

A, B

Tính chất 3: Nếu

T ur ,

( )

thì

là ảnh của hai điểm

T ur

( )

biến:

A, B, C

i) Ba điểm

và

Ox

thành tia

A ‘ B ‘ = AB;

A ‘, B ‘, C ‘

thẳng hàng thành ba điểm

ii) Đường thẳng

; tia

trong phép biến đổi

uuuur uuur

A ‘ B ‘ = AB.

Hệ quả: Phép tịnh tiến

d’

là một phép đồng nhất.

d

thành đường thẳng

O’x’

d’

và

thẳng hàng.

d d’

và hai tia cùng chiều; đoạn

//

hoặc

AB

d

trùng với

thành đoạn

A’ B ‘

một đa giác phẳng thành một đa giác phẳng có các góc và các

cạnh tương ứng bằng nhau.

iii) Mặt cầu

( O, R )

thành mặt cầu

Tính chất 4: Phép biến đổi

T ur

( )

( O ‘, R ) .

biến bốn điểm đồng phẳng thành bốn

điểm đồng phẳng.

A, B, C, D

Chứng minh: Ta xét

là bốn điểm nằm trong

A, B, C

điểm

không thẳng hàng. Ký hiệu

A ‘, B ‘, C ‘

T ur

( )

. Gọi

( P ‘)

lần lượt là ảnh của các

là mặt phẳng đi qua ba điểm

A ‘, B ‘, C ‘

( vì ba điểm

thuộc

và giả sử ba

A ‘, B ‘, C ‘, D ‘

điểm đó qua phép biến đổi

D’

( P)

( P ‘)

.

không thẳng hàng). Ta chứng minh rằng điểm

29

Thật vậy, do

Vì

D ∈ ( ABC )

x, y

nên tồn tại các số thực

uuur

uuur

uuur

AD = x. AB + y. AC.

uuur uuuuur uuur uuuur uuur uuuur

AD = A ‘ D ‘, AB = A ‘ B ‘, AC = A ‘ C ‘

D’

Đẳng thức đó chứng tỏ

thuộc

Hệ quả: Phép tịnh tiến

i) Mặt phẳng

với

( P)

( P)

T ur

( )

( P ‘)

sao cho

uuuuur

uuuur

uuuur

A ‘ D ‘ = x. A ‘ B ‘ + y. A ‘ C ‘.

nên

.

biến:

( P ‘)

thành mặt phẳng

và

( P ‘) ( P )

//

hoặc

( P ‘)

trùng

; nửa mặt phẳng thành nửa mặt phẳng và hai nửa mặt phẳng đó hoặc

song song hoặc nằm trong cùng một mặt phẳng; góc nhị diện thành góc nhị

diện và số đo hai góc phẳng nhị diện bằng nhau.

ii) Miền đa giác thành miền đa giác.

iii) Hình tròn

( I,r)

thành hình tròn

iv) Hình trụ tròn xoay

tròn xoay

( N)

(T )

thành hình trụ tròn xoay

thành hình nón tròn xoay

đó

T ur

( )

và

là một phép tịnh tiến và vectơ tịnh tiến là

Tính chất 6: Cho hai phép biến đổi

Z = ZB o Z A,

khi đó

Z

( T ‘) ;

hình nón

( N ‘) .

Tính chất 5: Cho hai phép tịnh tiến

T

( I ‘, r ) .

là một phép tịnh tiến

ZA

T vr

( )

. Ta đặt

T = T ur o T vr ,

( ) ( )

khi

ur r r

w = u + v.

và

r .

T 2 uuu

( AB )

ZB

với

A

khác

B.

Ta đặt

30

Tính chất 7: Cho phép tịnh tiến

ZO .

Ta đặt

Z1 = T ur o Z O

( )

r r

T ur, u ≠ 0

( )

Z 2 = Z O o T ur .

( )

và

Khi đó

và phép đối xứng qua tâm

Z1

và

Z2

là các phép đối

xứng qua tâm.

Chứng minh: Ta chứng minh

Z1 ,

điểm bất động của

T ur : O ‘ a O1

( )

và ta có

khi đó

qua tâm

ta có

Z O : O1 a O ‘

và ta có

là

uuuur uuuur

OO ‘ = −OO1;

uuuuur uuuur uuuur r

uuuur r

O ‘ O1 = OO1 − OO ‘ = u ⇔ 2OO1 = u.

Đẳng thức trên chứng tỏ

khác

là phép đối xứng qua tâm. Gọi

O1

uuuuur r

O ‘ O1 = u.

Từ các kết quả trên ta suy ra

O1

Z1

ZO : M a M ‘

và

O1

là điểm bất động của

O1 a O ‘,

Z1.

Với điểm

M

theo tính chất của phép đối xứng

uuuuur uuuur

O ‘ M ‘ = −O1M .

T ur : O ‘ a O1, M ‘ a M “

( )

uuuuur uuuur

O1M ” = −O1M .

và

uuuuur uuuuur

O ‘ M ‘ = O1M “.

Đó là điều cần chứng minh.

Mệnh đề thứ hai chứng minh tương tự.

Từ các kết quả trên ta suy ra

31

1.5.3 Phép đối xứng trượt trong không gian

r

r

( P)

( P)

u

0

Cho mặt phẳng

và vectơ khác cùng phương với

. Ta nói

phép biến đổi

( P)

mặt phẳng

T1 = S( P ) o T ur

( )

T2 = T ur o S( P )

( )

hoặc

là phép đối xứng trượt theo

.

Hiển nhiên phép đối xứng trượt theo một mặt phẳng có duy nhất một

( P)

mặt phẳng bất biến là

.

1.6 Phép quay quanh một đường thẳng

1.6.1 Định nghĩa

d

Cho

đường

thẳng

ϕ ( 0 ≤ ϕ ≤ 180 ) .

0

M’

ta xác định điểm

đồng thời xảy ra:

M’

M

và

( P)

cùng nằm trong một mặt

d

vuông góc với

M

O

O.

tại

với góc quay

trong

M ‘.

M

thuộc

Hình 1.6

d,

thì

M’

trong phép quay quanh trục

ϕ

M’

P

thành

Nếu

trục quay,

M

ϕ

O

ii) Phép quay tâm

biến

không thuộc

sao cho các điều kiện sau đây

i) Các điểm

phẳng

góc

M

Với mỗi điểm

d

( P)

và

0

d

trùng với

M,

với góc quay

khi đó ta nói

ϕ.

M’

Đường thẳng

là góc quay. Ta ký hiệu phép quay đó là

là ảnh của

d

M

được gọi là

R( d ,ϕ ) : M a M ‘.

32

Rõ ràng định nghĩa trên không xác định tính duy nhất của điểm

( P)

hướng của

phẳng

( P)

từ

chưa xác định. Nếu ta lấy điểm

A,

A∈ d ( A ≠ O)

thì ta có thể định hướng mặt phẳng

( P)

M ‘,

vì

và nhìn mặt

và khi đó điểm

M’

được xác định một cách duy nhất. Trong trường hợp đó phép quay được ký

hiệu

R( d, A,ϕ )

và đọc là phép quay quanh

xác định. Điểm

A

với góc quay

là yếu tố định hướng mặt phẳng

Trong không gian cho hình

trong phép quay

d

R( d, A,ϕ )

( F).

theo một hướng

.

Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc

lập thành một hình

trong phép quay đó và được ký hiệu

( P)

ϕ

( F ‘)

được gọi là ảnh của

( F)

( F)

R( d, A,ϕ ) : ( F ) → ( F ‘) .

1.6.2 Tính chất

Tính chất 1: Trục quay

ϕ = 1800 ,

d

là đường thẳng bất động của phép quay. Nếu

thì phép quay là phép đối xứng qua

d.

M ‘, N ‘

Tính chất 2: Nếu

phép biến đổi

R( d, A,ϕ )

, thì

M, N

lần lượt là hai ảnh của hai điểm

M ‘ N ‘ = MN .

Chứng minh: Ta xét các trường hợp sau:

trong

Source: https://vh2.com.vn
Category : Trái Đất