Bài giảng Toán ứng dụng ngành cơ khí – Bài 3: Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.91 MB, 47 trang )

Bạn đang đọc: Bài giảng Toán ứng dụng ngành cơ khí – Bài 3: Ứng dụng của Phương trình vi phân – Tài liệu text

Trường Đại học Cơng nghiệp thành phố Hồ Chí Minh

Khoa Cơng nghệ Cơ khí
Bộ mơn Cơ sở – Thiết kế

Bài 3:
Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I
Thời lượng: 2 tiết

1

Nội dung bài học

2

Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I
Gọi x(t) là số lượng của một đối tượng nào đó ở thời điểm t.
Giả sử rằng sự thay đổi số lượng này lại tỉ lệ thuận với chính số lượng đó ở
thời điểm đó. PTVP mơ tả sự thay đổi này có dạng:

dx
 K  x (1)
dt

–Trong đó K là hệ số tỉ lệ, là một hằng số

dx
dx
K t

1   K  dt     K  dt  ln x  Kt  ln C  x  C  e
x
x
Với điều kiện ban đầu: x(0) = x0, ta có C = x0

Vậy quy luật số lượng x(t) là:

x  x0  e K t

(2)

 (2) thể hiện số lượng của đối tượng tại bất kz một thời điểm t nào

3

Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I
x  x0  e

K t

(2)

1) Nếu K>0, thì số lượng x sẽ tăng trưởng khi thời gian t tăng trong (2). PT (2)
thể hiện sự tăng trưởng tại bất kz thời điểm t nào. Sự tăng trưởng theo hàm
mũ.
Ví dụ: Số lượng vi khuẩn trong môi trường nuôi cấy phát triển theo cấp số
nhân trong điều kiện lý tưởng.
  t
(3)

x

x

e
2) Nếu K<0, đặt K=–λ, λ>0, thì:
0
Có nghĩa là số lượng x sẽ giảm sút khi thời gian t tăng trong (3). PT (3) thể
hiện sự sụt giảm tại bất kz thời điểm t nào. Sự sụt giảm theo hàm mũ.
Ví dụ: thí nghiệm cho thấy rằng một chất phóng xạ bị phân hủy với tốc độ tỷ
lệ với lượng chất có mặt tại bất kz thời điểm nào.

4

Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I
x  x0  e K t

x  x0  e t

5

Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I

6

Trong mơi trường nuôi cấy nấm men, nếu chất lên men hoạt động tự tăng gấp
đơi trong 3 giờ, thì nó sẽ tăng lên theo tỉ lệ nào trong 15 giờ với giả thiết rằng số
lượng tăng với tốc độ tỉ lệ với chính nó?

Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I

7

Nếu 30% chất phóng xạ biến mất trong 10 ngày, thì sau bao lâu 90% chất đó sẽ
biến mất?

Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I

8

Uranium phân hủy với tốc độ tỷ lệ thuận với số lượng của nó theo thời gian.
Nếu M1 và M2 là lượng uranium lần lượt tại các thời điểm T1 và T2, hãy xác định
chu kz bán rã của uranium.

Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I
Ví dụ của việc làm mát:
– Nếu để một tách trà nóng trong phịng, nó sẽ nguội đi do nhiệt độ khơng
khí xung quanh
– Nếu một thanh kim loại nóng được nhúng vào một bồn nước, thì thanh
kim loại này nguội đi do nhiệt độ của nước xung quanh
 Định luật Newton của việc làm mát
Định luật làm mát của Newton phát biểu rằng tốc độ thay đổi nhiệt độ T của
một vật thể (nóng) tỷ lệ với sự chênh lệch giữa T và nhiệt độ Ts của môi
trường xung quanh (không khí, nước, v.v.). Nhiệt độ trung bình xung quanh
được gọi là nhiệt độ môi trường xung quanh

PTVP mô tả sự thay đổi này có dạng:

dT
   T  Ts  (4)
dt

–Trong đó λ>0 là hệ số tỉ lệ, là một hằng số

9

Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I

10

dT
   T  Ts  (4)
dt
d T  Ts 
dT
  dt  
   dt  ln T  Ts   t  ln C
 4 
T  Ts
T  Ts
 T  Ts
 ln 
 C

T  Ts


 t
 t
 e  T  Ts  Ce
   t 
C


Với điều kiện ban đầu: T(t=0) = T0, ta có C = T0 –Ts
Vậy quy luật nhiệt độ T(t) là: T  t   Ts  T0  Ts  e  t ;   0

(5)

Khi t∞ thì e–λt 0, suy ra T Ts, có nghĩa sau 1 thời gian dài nhiệt độ của
vật sẽ bằng với nhiệt độ của mơi trường bên ngồi.

Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I

11

Vật nóng lạnh đi trong khơng khí với tốc độ tỷ lệ với sự chênh lệch giữa nhiệt
độ của vật và nhiệt độ của khơng khí xung quanh. Nếu khơng khí được duy trì ở
20°C và vật lạnh đi từ 100°C đến 75°C trong 10 phút, thì khi nào nhiệt độ của nó
là 25°C? Nhiệt độ của nó sẽ là bao nhiêu trong nửa giờ kể từ khi nó bắt đầu
nguội từ 100°C?

Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I

12

Một tách cà phê ở 80°C được đặt trong phịng có nhiệt độ 20°C và nó nguội
xuống 50°C trong 5 phút. Tìm nhiệt độ của nó sau khoảng thời gian 5 phút nữa.
Phải mất thêm bao nhiêu thời gian nữa để nhiệt độ của cà phê sẽ giảm về 25°C.

Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I
Vịi chảy vào

Lưu lượng nước muối
chảy vào là l1 (lít/phút)

Nồng độ muối trong dịng
chảy vào là s1 (gram/lít)

Ban đầu trong bể có l
(lít) nước muối
Lượng muối ban đầu
trong bể là s (gram)

Vịi chảy ra

Lượng muối tại thời
điểm t là x(t) (gram)

Lưu lượng nước muối
chảy ra là l2 (lít/phút)

Hỗn hợp được khuấy đều liên tục

để đảm bảo đồng chất (nồng độ là
như nhau tại mọi nươi trong bể)

13

– Gọi x là lượng muối trong bể tại mỗi thời điểm t

𝐺𝑟𝑎𝑚

dx
 Độ biến thiên muối = Lượng muối đi vào – Lượng muối thoát ra
dt
– Lượng muối đi vào là:

l1s1

14

𝐺𝑟𝑎𝑚
𝑃ℎú𝑡

𝐺𝑟𝑎𝑚
𝑃ℎú𝑡

– Tính nồng độ muối trong bể, cũng là nồng độ muối trong chùm tia nước khi thoát ra khỏi
vịi theo mỗi thời điểm t:
x 𝐺𝑟𝑎𝑚
𝑙í𝑡
– Trong đó V là thể tích nước muối V  l   l1  l2  t

𝑙í𝑡
V
𝐺𝑟𝑎𝑚
x
 Nồng độ muối trong bể là:
𝑙í𝑡
l  l  l  t
1

2

𝐺𝑟𝑎𝑚
l2 x
– Lượng muối thoát ra là:
𝑃ℎú𝑡
l   l1  l2  t
dx
l2 x
dx
l2
Vậy quy luật độ biến thiên muối là:
 l1s1 


 x  l1s1 (6)
dt
l   l1  l2  t
dt l   l1  l2  t

dx
l2

 x  l1s1
dt l   l1  l2  t

 P  t  dt  
e

P  t  dt

 Q t  e



l2
; Q  t   l1s1
l   l1  l2  t

l2
l
dt  2 ln l   l1  l2  t 
l   l1  l2  t
l1  l2

 l   l1  l2  t 
P  t  dt

(6)

Xem thêm: Top 8 phụ kiện chế thuyền điều khiển từ xa 2022

Dạng IV: Phương trình vi phân tuyến tính P  t  

l2
l1 l2

dt  l1s1   l   l1  l2  t 

l2
l1 l2

1 l   l1  l2  t 
dt  l1s1 

l1
l1  l2
l1  l2

l1
l1 l2

 s1 l   l1  l2  t 

l

l1
l1 l2

l

2

1
P  t  dt
P  t  dt


l

l
l

 xe
  Q t  e
dt  C  x l   l1  l2  t  1 2  s1 l   l1  l2  t  1 l2  C

Với điều kiện ban đầu: x(t=0) = s, ta có: C  sl

l2
l1 l2

 s1l

l1
l1 l2

l

l2
l1 l2

 s  s1l 

Vậy quy luật xác định hàm lượng muối trong bể x(t) là: x  t   s1 l   l1  l2  t  
 l l 
x  t   s1 l   l1  l2  t    s  s1l  1  2 1 t 
l 


l2
l2 l1

(7)

l

l2
l1 l2

 s  s1l 

l   l1  l2  t 

l2
l1 l2

15

Nếu lưu lượng nước muối chảy vào bằng với lưu lượng nước muối chảy ra (tốc độ
chảy ra và vào bằng nhau): l1 = l2

dx l1
 6     x  l1s1 (8)
dt l

Dạng IV: Phương trình vi phân tuyến tính

l2
P  t   ; Q  t   l1s1
l

l1
l1
P
t
dt

dt

t
   l
l
e

P  t  dt

e

l1
t
l

l1

l1

l1

t
t
P  t  dt
l lt

l
l
 Q  t  e dt  l1s1   e dt  l1s1  l1  e  s1le

 xe 

P  t  dt

  Q t  e

P  t  dt

dt  C  x  e

l1
t
l

l1

t
l

 s1le  C  x  t   s1l  Ce

l
 1t
l

Với điều kiện ban đầu: x(t=0) = s, ta có: C   s  s1l 
Vậy quy luật xác định hàm lượng muối trong bể x(t) là:

16

x  t   s1l   s  s1l  e

l
 1t
l

(9)

Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I

17

Một bể chứa 100 gallon nước muối được tạo ra bằng cách hịa tan 60 lbs muối
trong nước. Nước muối có chứa 1 lb muối mỗi gallon chảy vào bể với tốc độ 2
gallon mỗi phút. Hỗn hợp được giữ đồng nhất bằng cách khuấy. Hỗn hợp chảy

ra với tốc độ 3 gallon mỗi phút. Tìm khối lượng muối khi hết 1 giờ.

Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I

18

Một bể chứa 100 lít nước ngọt. Nước muối chảy vào với tốc độ 2 lít mỗi phút và
nó chứa 1 g muối mỗi lít. Hỗn hợp được giữ đồng nhất bằng cách khuấy và nó
chảy ra với tốc độ 1 lít mỗi phút. Tìm khối lượng muối khi bể chứa đạt 150 lít
nước muối. Sau bao lâu thì khối lượng muối sẽ đạt 80 g?

Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I

19

Khơng khí trong phòng 20 x 15 x 12 feet chứa 15% cacbon-di-oxit. Tìm phần
trăm cacbon-di-oxit trong phịng khi kết thúc 30 phút khơng khí trong lành có
2% cacbon-đi-oxit đi vào và đi ra qua cửa sổ với tốc độ 24 ft3 trên phút.

Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I

20

Xem xét một mạch điện đơn giản cấu tạo từ:
– Một điện cảm L [H – Henry],
– Một điện trở R [Ω – Ohms],

– Một điện dung (tụ điện) C [F – Farads].
Một sức điện động E [V – Volts] được đặt vào mạch điện. Thông
thường nguồn năng lượng điện là pin hoặc máy phát điện. Nếu
nguồn năng lượng là pin thì E là hằng số. Nếu nguồn năng lượng
là máy phát điện thì E là hàm của thời gian t (tính bằng giây).
Cường độ dòng điện i đi qua đoạn mạch được đo bằng Ampe và
điện tích (hoặc điện lượng) q trên tụ điện được đo bằng
Coulombs.

Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I

21

1. Một điện trở chống lại dòng điện bằng cách tạo ra một sự
giảm sức điện động có độ lớn ER. Theo định luật Ohm, điện
áp đặt trên điện trở R được cho bởi công thức ER = R.i (10)
2. Một cuộn cảm chống lại bất kz sự thay đổi nào của dòng điện
bằng cách tạo ra sự giảm sức điện động có độ lớn EL. Theo
định luật Faraday, điện áp rơi trên cuộn cảm L được xác định
𝒅𝒊
(11)
bởi công thức 𝑬𝑳 = 𝑳
𝒅𝒕

3. Một tụ điện dự trữ năng lượng. Theo quy luật thực nghiệm,
điện áp đặt trên tụ điện C được xác định bởi công thức
𝒒
(12) 𝑬𝑪 =, trong đó q là điện tích có trong tụ.
𝑪

4. Dịng điện i là tốc độ của dòng điện hoặc tốc độ của dịng
điện tích dương q
dq
1
i
 q   idt  EC   idt (13)
dt
C

22

Gọi i *tức là i (t)] là cường độ dòng điện chạy trong mạch tại thời điểm t (giây) bất kz. Định
luật điện áp của Kirchoff phát biểu rằng “trong một mạch kín, tổng của điện áp giảm trên mỗi
phần tử của mạch là bằng hiệu điện thế đặt vào (suất điện động)”.

di q
di
q
EL  EC  ER  E  t   L   Ri  E  t   L  Ri   E  t  (14)
dt C
dt
C
Theo hàm i: đạo hàm 2 vế theo t:

d  dq 
dq 1
14   L    R  q  E  t 
dt  dt 
dt C

d 2i
di 1 dq dE

14   L 2  R 
dt
dt C dt dt
i

d 2i
di i dE
 L 2 R  
dt
dt C dt

Theo hàm q: thay i bằng dq/dt:

(15)

d 2q
dq q
 L 2  R   E  t  (16)
dt
dt C

 Đến bài PTVP bậc cao chúng ta mới nghiên cứu để giải (15) và (16)

23

Xem thêm: [TIÊU CHUẨN VẼ KỸ THUẬT] – CHỮ VÀ NÉT VẼ

Nếu trong mạch điện khơng có thành phần điện dung (tụ điện) thì phương trình vi phân (14)
trở thành dạng:

E t 
di
di R
L  Ri  E  t  
 i 
dt
dt L
L

Dạng IV: Phương trình vi P  t   R ; Q  t   E  t 
(17)
L
L
phân tuyến tính

Nếu trong mạch điện khơng có thành phần điện cảm thì phương trình vi phân (15) hoặc (16)
trở thành dạng:

di i dE
di
1
1 dE 
1
1 dE 
; P t  
; Q t  
15  R      i 


dt C dt
dt RC
R dt 
RC
R dt 

Dạng
IV:
Phương trình
E t  
E  t   vi phân tuyến
dq q
dq
1
1
; P t  
; Q t  
16   R   E  t     q 
 tính
dt C
dt RC
R 
RC
R 

Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I

24

Cho mạch điện đơn giản gồm có 2 thành phần điện dung C và điện trở R với
suất điện động có quy luật E=E0.cos(pt), trong đó E0 và p là các hằng số. Hãy tìm
ra quy luật cường độ dịng điện đi qua mạch i. Cho biết i(t=0)=0 (A)

Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I

25

Cho mạch điện đơn giản gồm có 2 thành phần điện cảm L và điện trở R với suất
điện động có quy luật E=E0.sin(ωt), trong đó E0 và ω là các hằng số. Hãy tìm ra
quy luật cường độ dịng điện đi qua mạch i. Cho biết i(t=0)=0 (A)

 1    K  dt     K  dt  ln x  Kt  ln C  x  C  eVới điều kiện kèm theo khởi đầu : x ( 0 ) = x0, ta có C = x0Vậy quy luật số lượng x ( t ) là : x  x0  e K  t ( 2 )  ( 2 ) bộc lộ số lượng của đối tượng người dùng tại bất kz một thời gian t nàoỨng dụng của Phương trình vi phân bậc Ix  x0  eK  t ( 2 ) 1 ) Nếu K > 0, thì số lượng x sẽ tăng trưởng khi thời hạn t tăng trong ( 2 ). PT ( 2 ) biểu lộ sự tăng trưởng tại bất kz thời gian t nào. Sự tăng trưởng theo hàmmũ. Ví dụ : Số lượng vi trùng trong môi trường tự nhiên nuôi cấy tăng trưởng theo cấp sốnhân trong điều kiện kèm theo lý tưởng.    t ( 3 ) 2 ) Nếu K < 0, đặt K = – λ, λ > 0, thì : Có nghĩa là số lượng x sẽ giảm sút khi thời hạn t tăng trong ( 3 ). PT ( 3 ) thểhiện sự sụt giảm tại bất kz thời gian t nào. Sự sụt giảm theo hàm mũ. Ví dụ : thí nghiệm cho thấy rằng một chất phóng xạ bị phân hủy với vận tốc tỷlệ với lượng chất xuất hiện tại bất kz thời gian nào. Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc Ix  x0  e K  tx  x0  e    tỨng dụng của Phương trình vi phân bậc ITrong mơi trường nuôi cấy nấm men, nếu chất lên men hoạt động giải trí tự tăng gấpđơi trong 3 giờ, thì nó sẽ tăng lên theo tỉ lệ nào trong 15 giờ với giả thiết rằng sốlượng tăng với vận tốc tỉ lệ với chính nó ? Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc INếu 30 % chất phóng xạ biến mất trong 10 ngày, thì sau bao lâu 90 % chất đó sẽbiến mất ? Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc IUranium phân hủy với vận tốc tỷ suất thuận với số lượng của nó theo thời hạn. Nếu M1 và M2 là lượng uranium lần lượt tại những thời gian T1 và T2, hãy xác địnhchu kz bán rã của uranium. Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc IVí dụ của việc làm mát : – Nếu để một tách trà nóng trong phịng, nó sẽ nguội đi do nhiệt độ khơngkhí xung quanh – Nếu một thanh sắt kẽm kim loại nóng được nhúng vào một bồn nước, thì thanhkim loại này nguội đi do nhiệt độ của nước xung quanh  Định luật Newton của việc làm mátĐịnh luật làm mát của Newton phát biểu rằng vận tốc biến hóa nhiệt độ T củamột vật thể ( nóng ) tỷ suất với sự chênh lệch giữa T và nhiệt độ Ts của môitrường xung quanh ( không khí, nước, v.v. ). Nhiệt độ trung bình xung quanhđược gọi là nhiệt độ môi trường tự nhiên xung quanhPTVP miêu tả sự đổi khác này có dạng : dT      T  Ts  ( 4 ) dt – Trong đó λ > 0 là thông số tỉ lệ, là một hằng sốỨng dụng của Phương trình vi phân bậc I10dT      T  Ts  ( 4 ) dtd  T  Ts  dT    dt       dt  ln  T  Ts     t  ln C  4   T  TsT  Ts  T  Ts  ln   CT  Ts   t   t  e  T  Ts  Ce     t  Với điều kiện kèm theo khởi đầu : T ( t = 0 ) = T0, ta có C = T0 – TsVậy quy luật nhiệt độ T ( t ) là : T  t   Ts   T0  Ts  e   t ;   0 ( 5 ) Khi t  ∞ thì e – λt  0, suy ra T  Ts, có nghĩa sau 1 thời hạn dài nhiệt độ củavật sẽ bằng với nhiệt độ của mơi trường bên ngồi. Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I11Vật nóng lạnh đi trong khơng khí với vận tốc tỷ suất với sự chênh lệch giữa nhiệtđộ của vật và nhiệt độ của khơng khí xung quanh. Nếu khơng khí được duy trì ở20 °C và vật lạnh đi từ 100 °C đến 75 °C trong 10 phút, thì khi nào nhiệt độ của nólà 25 °C ? Nhiệt độ của nó sẽ là bao nhiêu trong nửa giờ kể từ khi nó bắt đầunguội từ 100 °C ? Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I12Một tách cafe ở 80 °C được đặt trong phịng có nhiệt độ 20 °C và nó nguộixuống 50 °C trong 5 phút. Tìm nhiệt độ của nó sau khoảng chừng thời hạn 5 phút nữa. Phải mất thêm bao nhiêu thời hạn nữa để nhiệt độ của cafe sẽ giảm về 25 °C. Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc IVịi chảy vàoLưu lượng nước muốichảy vào là l1 ( lít / phút ) Nồng độ muối trong dịngchảy vào là s1 ( gram / lít ) Ban đầu trong bể có l ( lít ) nước muốiLượng muối ban đầutrong bể là s ( gram ) Vịi chảy raLượng muối tại thờiđiểm t là x ( t ) ( gram ) Lưu lượng nước muốichảy ra là l2 ( lít / phút ) Hỗn hợp được khuấy đều liên tụcđể bảo vệ đồng chất ( nồng độ lànhư nhau tại mọi nươi trong bể ) 13 – Gọi x là lượng muối trong bể tại mỗi thời gian t𝐺𝑟𝑎𝑚dx  Độ biến thiên muối = Lượng muối đi vào – Lượng muối thoát radt – Lượng muối đi vào là : l1s114𝐺𝑟𝑎𝑚𝑃ℎú𝑡𝐺𝑟𝑎𝑚𝑃ℎú𝑡 – Tính nồng độ muối trong bể, cũng là nồng độ muối trong chùm tia nước khi thoát ra khỏivịi theo mỗi thời gian t : x 𝐺𝑟𝑎𝑚𝑙í𝑡 – Trong đó V là thể tích nước muối V  l   l1  l2  t𝑙í𝑡𝐺𝑟𝑎𝑚  Nồng độ muối trong bể là : 𝑙í𝑡l   l  l  t𝐺𝑟𝑎𝑚l2 x – Lượng muối thoát ra là : 𝑃ℎú𝑡l   l1  l2  tdxl2 xdxl2Vậy quy luật độ biến thiên muối là :  l1s1   x  l1s1 ( 6 ) dtl   l1  l2  tdt l   l1  l2  tdxl2  x  l1s1dt l   l1  l2  t  P  t  dt   e  P  t  dt  Q  t  el2 ; Q  t   l1s1l   l1  l2  tl2dt  2 ln   l   l1  l2  t   l   l1  l2  tl1  l2    l   l1  l2  t   P  t  dt ( 6 ) Dạng IV : Phương trình vi phân tuyến tính P  t   l2l1  l2dt  l1s1     l   l1  l2  t   l2l1  l21   l   l1  l2  t   dt  l1s1  l1l1  l2l1  l2l1l1  l2  s1   l   l1  l2  t   l1l1  l2P  t  dtP  t  dt  xe   Q  t  edt  C  x   l   l1  l2  t   1 2  s1   l   l1  l2  t   1 l2  CVới điều kiện kèm theo bắt đầu : x ( t = 0 ) = s, ta có : C  sll2l1  l2  s1ll1l1  l2  ll2l1  l2  s  s1l  Vậy quy luật xác lập hàm lượng muối trong bể x ( t ) là : x  t   s1   l   l1  l2  t     l  l  x  t   s1   l   l1  l2  t     s  s1l   1  2 1 t  l  l2l2  l1 ( 7 ) l2l1  l2  s  s1l    l   l1  l2  t   l2l1  l215Nếu lưu lượng nước muối chảy vào bằng với lưu lượng nước muối chảy ra ( tốc độchảy ra và vào bằng nhau ) : l1 = l2dx l1  6     x  l1s1 ( 8 ) dt lDạng IV : Phương trình vi phân tuyến tínhl2P  t   ; Q  t   l1s1l1l1dtdt     le  P  t  dt  el1l1l1l1P  t  dtl lt  Q  t  e dt  l1s1   e dt  l1s1  l1  e  s1le  xe  P  t  dt   Q  t  e  P  t  dtdt  C  x  el1l1  s1le  C  x  t   s1l  Ce  1 tVới điều kiện kèm theo bắt đầu : x ( t = 0 ) = s, ta có : C   s  s1l  Vậy quy luật xác lập hàm lượng muối trong bể x ( t ) là : 16 x  t   s1l   s  s1l  e  1 t ( 9 ) Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I17Một bể chứa 100 gallon nước muối được tạo ra bằng cách hịa tan 60 lbs muốitrong nước. Nước muối có chứa 1 lb muối mỗi gallon chảy vào bể với vận tốc 2 gallon mỗi phút. Hỗn hợp được giữ giống hệt bằng cách khuấy. Hỗn hợp chảyra với vận tốc 3 gallon mỗi phút. Tìm khối lượng muối khi hết 1 giờ. Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I18Một bể chứa 100 lít nước ngọt. Nước muối chảy vào với vận tốc 2 lít mỗi phút vànó chứa 1 g muối mỗi lít. Hỗn hợp được giữ giống hệt bằng cách khuấy và nóchảy ra với vận tốc 1 lít mỗi phút. Tìm khối lượng muối khi bể chứa đạt 150 lítnước muối. Sau bao lâu thì khối lượng muối sẽ đạt 80 g ? Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I19Khơng khí trong phòng 20 x 15 x 12 feet chứa 15 % cacbon-di-oxit. Tìm phầntrăm cacbon-di-oxit trong phịng khi kết thúc 30 phút khơng khí trong lành có2 % cacbon-đi-oxit đi vào và đi ra qua hành lang cửa số với vận tốc 24 ft3 trên phút. Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I20Xem xét một mạch điện đơn thuần cấu trúc từ : – Một điện cảm L [ H – Henry ], – Một điện trở R [ Ω – Ohms ], – Một điện dung ( tụ điện ) C [ F – Farads ]. Một sức điện động E [ V – Volts ] được đặt vào mạch điện. Thôngthường nguồn nguồn năng lượng điện là pin hoặc máy phát điện. Nếunguồn nguồn năng lượng là pin thì E là hằng số. Nếu nguồn năng lượnglà máy phát điện thì E là hàm của thời hạn t ( tính bằng giây ). Cường độ dòng điện i đi qua đoạn mạch được đo bằng Ampe vàđiện tích ( hoặc điện lượng ) q trên tụ điện được đo bằngCoulombs. Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I211. Một điện trở chống lại dòng điện bằng cách tạo ra một sựgiảm sức điện động có độ lớn ER. Theo định luật Ohm, điệnáp đặt trên điện trở R được cho bởi công thức ER = R.i ( 10 ) 2. Một cuộn cảm chống lại bất kz sự biến hóa nào của dòng điệnbằng cách tạo ra sự giảm sức điện động có độ lớn EL. Theođịnh luật Faraday, điện áp rơi trên cuộn cảm L được xác định𝒅𝒊 ( 11 ) bởi công thức 𝑬𝑳 = 𝑳𝒅𝒕3. Một tụ điện dự trữ nguồn năng lượng. Theo quy luật thực nghiệm, điện áp đặt trên tụ điện C được xác lập bởi công thức ( 12 ) 𝑬𝑪 =, trong đó q là điện tích có trong tụ. 4. Dịng điện i là vận tốc của dòng điện hoặc vận tốc của dịngđiện tích dương qdqi   q   idt  EC   idt ( 13 ) dt22Gọi i * tức là i ( t ) ] là cường độ dòng điện chạy trong mạch tại thời gian t ( giây ) bất kz. Địnhluật điện áp của Kirchoff phát biểu rằng “ trong một mạch kín, tổng của điện áp giảm trên mỗiphần tử của mạch là bằng hiệu điện thế đặt vào ( suất điện động ) ”. di qdiEL  EC  ER  E  t   L   Ri  E  t   L  Ri   E  t  ( 14 ) dt CdtTheo hàm i : đạo hàm 2 vế theo t : d  dq  dq 1  14   L    R  q  E  t  dt  dt  dt Cd 2 idi 1 dq dE  14   L 2  R  dtdt C dt dt  id 2 idi i dE  L 2  R   dtdt C dtTheo hàm q : thay i bằng dq / dt : ( 15 ) d 2 qdq q  L 2  R   E  t  ( 16 ) dtdt C  Đến bài PTVP bậc cao tất cả chúng ta mới điều tra và nghiên cứu để giải ( 15 ) và ( 16 ) 23N ếu trong mạch điện khơng có thành phần điện dung ( tụ điện ) thì phương trình vi phân ( 14 ) trở thành dạng : E  t  didi RL  Ri  E  t     i  dtdt LDạng IV : Phương trình vi P  t   R ; Q  t   E  t  ( 17 ) phân tuyến tínhNếu trong mạch điện khơng có thành phần điện cảm thì phương trình vi phân ( 15 ) hoặc ( 16 ) trở thành dạng : di i dEdi1 dE  1 dE  ;  P  t   ; Q  t    15   R      i  dt C dtdt RCR dt  RCR dt  DạngIV : Phương trìnhE  t   E  t   vi phân tuyếndq qdq ;  P  t   ; Q  t    16   R   E  t     q   tínhdt Cdt RCR  RCR  Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I24Cho mạch điện đơn thuần gồm có 2 thành phần điện dung C và điện trở R vớisuất điện động có quy luật E = E0. cos ( pt ), trong đó E0 và p là những hằng số. Hãy tìmra quy luật cường độ dịng điện đi qua mạch i. Cho biết i ( t = 0 ) = 0 ( A ) Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I25Cho mạch điện đơn thuần gồm có 2 thành phần điện cảm L và điện trở R với suấtđiện động có quy luật E = E0. sin ( ωt ), trong đó E0 và ω là những hằng số. Hãy tìm raquy luật cường độ dịng điện đi qua mạch i. Cho biết i ( t = 0 ) = 0 ( A )

Source: https://vh2.com.vn
Category : Chế Tạo