Năng lượng con lắc đơn

Năng lượng con lắc đơn lý tưởng gồm thế năng trọng trường và động năng chuyển động của con lắc. Năng lượng con lắc đơn tổng cộng là cơ năng, nó không đổi.

Trong bài viết này sẽ trình diễn cụ thể đơn cử động năng con lắc ; thế năng trọng trường con lắc ; cơ năng của con lắc .
Xét một con lắc đơn lý tưởng gồm một sợi dây có chiều dài ℓ, vật nặng khối lượng m. Kích thích cho con lắc đơn giao động điều hòa thì

• Phương trình li độ dao động con lắc s = So.cos(ωt + φ)
• Phương trình vận tốc dao động con lắc v = – ωAsin(ωt + φ)

Khi đó năng lượng con lắc đơn gồm thế năng trọng trường và động năng chuyển động. Chọn mốc thế năng đàn hồi ở vị trí cân bằng của vật ta có:

• Năng lượng thế năng
  $\begin{array}{l}
  {{\rm{W}}_t} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{s^2}\\
  \,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}m{\omega ^2}S_0^2{\cos ^2}(\omega t + \varphi )\\
  \,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}m{\omega ^2}S_0^2 + \frac{1}{2}m{\omega ^2}S_0^2\cos (2\omega t + 2\varphi )
  \end{array}$
• Năng lượng động năng
  $\begin{array}{l}
  {{\rm{W}}_d} = \frac{1}{2}m{v^2}\\
  \,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}m{\omega ^2}S_0^2{\sin ^2}(\omega t + \varphi )\\
  \,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}m{\omega ^2}S_0^2 + \frac{1}{2}m{\omega ^2}S_0^2.\sin (2\omega t + 2\varphi \pm \pi )
  \end{array}$

Lưu ý: Động năng và thế năng biến thiên với chu kì bằng một nửa chu kì dao động con lắc đơn ω’ = 2ω; $T’ = \frac{T}{2}$; f’ = 2f, φ$_t$ = 2φ

• Cơ năng con lắc
  $\begin{array}{l}
  {\rm{W}} = {{\rm{W}}_d} + {W_t}\\
  = \frac{1}{2}m{v^2} + \frac{1}{2}m{\omega ^2}{s^2}\\
  = \frac{1}{2}mv_{\max }^2 = \frac{1}{2}m{\omega ^2}S_0^2
  \end{array}$

Để hiểu rõ về năng lượng con lắc đơn, chúng ta cùng nhau vào phần ví dụ minh họa.

Câu 1: Một con ℓắc đơn gồm một sợi dây có chiều dài ℓà ℓ = 100cm, vật nặng có khối ℓượng m = 1kg. Con ℓắc dao động điều hòa với biên độ α$_0$ = 0,1 rad tại nơi có g = 10m/s$^2$. Cơ năng toàn con ℓắc đơn ℓà:
A. 0,01J
B. 0,05J
C. 0,1J
D. 0,5J

Giải

Con lắc đơn có cơ năng
$\begin{array}{l}
{\rm{W = }}\frac{1}{2}m{\omega ^2}S_0^2{\rm{ = }}\frac{1}{2}m.\frac{g}{\ell }.{\left( {{\alpha _0}\ell } \right)^2}\\
{\rm{ = }}\frac{1}{2}m.g\ell \alpha _0^2 = 0,05\left( J \right)
\end{array}$
Chọn B.

Câu 2: Một con ℓắc đơn gồm quả cầu nặng khối ℓượng m = 500g treo vào một sợi dây mảnh dài 60cm. Khi con ℓắc đang ở vị trí cân bằng thì cung cấp cho nó một năng ℓượng 0,015J, khi đó con ℓắc sẽ thực hiện dao động điều hòa. Biết g = 10 m/s$^2$. Biên độ dao động của con ℓắc đơn ℓà:
A. 0,06rad
B. 0,1rad
C. 0,15rad
D. 0,18rad

Giải

Năng lượng cung cấp để con lắc dao động điều hòa chính là cơ năng:
$\begin{array}{l}
{\rm{W = }}\frac{1}{2}m{\omega ^2}S_0^2{\rm{ = }}\frac{1}{2}m.\frac{g}{\ell }.{\left( {{\alpha _0}\ell } \right)^2}\\
{\rm{ = }}\frac{1}{2}m.g\ell \alpha _0^2 \leftrightarrow {\alpha _0} = \sqrt {\frac{{2W}}{{m.g.\ell }}} = 0,1\left( {rad} \right)
\end{array}$

Câu 3: Một con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì là 4 s. Động năng của con lắc đơn biến thiên tuần hoàn với chu kì là bao nhiêu?
A. 2 s.
B. 4 s.
C. 3 s.
D. 1 s.

Giải

Vì chu kì dao động con lắc đơn T = 4 s → T$_đ$ = 2 s.
Chọn: A.

Câu 4: Một con lắc đơn dao động điều hòa với tần số 0,5 Hz. Thế năng của con lắc đơn biến thiên tuần hoàn với chu kì là bao nhiêu?
A. 0,25 s.
B. 4 s.
C. 1 s.
D. 0,5 s.

Giải

Vì tần số dao động
$\begin{array}{l}
f = 0,5\left( {Hz} \right) \to T = \frac{1}{{0,5}} = 2\left( {Hz} \right)\\
\to T’ = \frac{T}{2} = 1\left( s \right)
\end{array}$
Chọn: C.

Câu 5: Một con ℓắc đơn dao động điều hòa với chu kỳ T. Thời gian để động năng và thế năng bằng nhau ℓiên tiếp ℓà 0,5s. Tính chiều dài con ℓắc đơn, lấy g = π$^2$.
A. 10cm
B. 20cm
C. 50cm
D. 100cm

Giải

$\begin{array}{l}
\frac{T}{4} = 0,5\left( s \right) \to T = 2\left( s \right)\\
\to \ell = {\left( {\frac{T}{{2\pi }}} \right)^2}.g = 1\left( m \right) = 100\left( {cm} \right)
\end{array}$
Chọn: D.

Câu 6: Hai con lắc đơn dao động điều hòa tại cùng một nơi trên mặt đất, có năng lượng như nhau. Quả nặng của chúng có cùng khối lượng, chiều dài dây treo con lắc thứ nhất dài gấp đôi chiều dài dây treo con lắc thứ hai. Quan hệ về biên độ góc của hai con lắc là?
A. ${\alpha _1} = 2{\alpha _2}.$
B. ${\alpha _1} = \frac{1}{2}{\alpha _2}.$
C. ${\alpha _1} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}{\alpha _2}.$
D. ${\alpha _1} = \sqrt 2 {\alpha _2}.$

Giải

Vì hai con lắc có cùng cơ năng:
$\begin{array}{l}
{W_1} = {W_2} \leftrightarrow \frac{1}{2}.mg{\ell _1}.\alpha _{01}^2 = \frac{1}{2}.mg{\ell _2}.\alpha _{02}^2\\
\leftrightarrow {\alpha _{01}} = {\alpha _{02}}.\sqrt {\frac{{2{\ell _1}}}{{{\ell _1}}}} = {\alpha _{02}}\sqrt 2
\end{array}$
Chọn D.

Câu 7: Cho con ℓắc đơn dao động điều hòa tại nơi có g = 10m/s$^2$. Biết rằng trong khoảng thời gian 12s thì nó thực hiện được 24 dao động, vận tốc cực đại của con ℓắc ℓà 6π cm/s. Lấy π$^2$ = 10. Giá trị góc ℓệch của dây treo ở vị trí mà ở đó thế năng của con ℓắc bằng động năng ℓà:
A. 0,04 rad
B. 0,01 rad
C. 0,08 rad
D. 0,12 rad

Giải

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta t = N.T = N.\frac{{2\pi }}{\omega } \leftrightarrow \omega = N.\frac{{2\pi }}{{\Delta t}}\\
{v_{\max }} = \omega {S_0}
\end{array} \right. \to {S_0} = \frac{{{v_{\max }}}}{{N.\frac{{2\pi }}{{\Delta t}}}}\\
{{\rm{W}}_d} = {W_t} \to s = \frac{{{S_0}}}{{\sqrt {1 + 1} }} = \frac{{\frac{{{v_{\max }}}}{{N.\frac{{2\pi }}{{\Delta t}}}}}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\frac{{6\pi {{.10}^{ – 2}}}}{{24.\frac{{2\pi }}{{12}}}}}}{{\sqrt 2 }} = 0,01\left( {rad} \right)
\end{array}$
Chọn B.

Source: https://vh2.com.vn
Category: Năng Lượng