Hệ thức Viet và ứng dụng, các dạng bài tập có lời giải từ A – Z

Lý thuyết về hệ thức Viet

1. Định lý Viet thuận

Cho phương trình bậc 2 một ẩn : ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) ( * ) có 2 nghiệm x1 và x2. Khi đó 2 nghiệm này thỏa mãn nhu cầu hệ thức sau :
S = x1 + x2 = – b / a

P = x1.x2 = c/a

Hệ quả:

• Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a≠0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 = c/a.
• Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a≠0) có a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 = −1, còn nghiệm kia là x2= −c/a

2. Định lý Viet đảo

Giả sử hai số thực x1 và x2 thỏa mãn nhu cầu hệ thức :

thì x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình bậc 2 : x2 – Sx + P = 0 ( 1 ) .

Chú ý: điều kiện S2– 4P ≥ 0 là bắt buộc. Đây là điều kiện để ∆(1) ≥ 0 hay nói cách khác, đây là điều kiện để phương trình bậc 2 tồn tại nghiệm.

Tham khảo thêm:

Ứng dụng của hệ thức Viet

1. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

2. Tính giá trị các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm

Biểu thức f ( x1, x2 ) gọi là đối xứng với x1, x2 nếu : f ( x1, x2 ) = f ( x2, x1 ) ( Nếu đổi chỗ vị trí x1 và x2 thì biểu thức không biến hóa )
Nếu f ( x1, x2 ) đối xứng thì f ( x2, x1 ) luôn hoàn toàn có thể màn biểu diễn qua 2 biểu thức đối xứng là S = x1 + x2 ; P = x1. x2
Biểu thức đối xứng giữa những nghiệm x1, x2 của phương trình bậc 2 ax2 + bx + c = 0 là biểu thức có giá trị không thây đôi lúc hoán vị x1 và x2 .
Ta hoàn toàn có thể bộc lộ được những biểu thức đối xứng giữa những nghiệm x1 và x2 theo S và P. Ví dụ :

3. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không nhờ vào vào tham số

Để tìm hệ thức giữa những nghiệm x1, x2 của phương trình bậc hai không nhờ vào tham số ta làm như sau :
Bước 1 : Tìm điều kiện kèm theo để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 ( ∆ ≥ 0 )

Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi ét rồi rút m từ các hệ thức đó

Bước 3 : Đồng nhất những vế ta sẽ tìm được hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm

Các dạng bài tập hệ thức Viet có lời giải

Ví dụ 1 : Tìm hai số biết
a. Tổng của chúng bằng 8, tích của chúng bằng 11
b. Tổng của chúng bằng 17, tích của chúng bằng 180
Giải
a. Vì S = 8, P = 11 thỏa mãn nhu cầu S2 ≥ 4P nên sống sót hai số cần tìm
Hai số đó là nghiệm của phương trình x2 – 8 x + 11 = 0
∆ = ( – 8 ) 2 – 4.11 = 64 – 44 = 20 > 0
Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Vậy hai số cần tìm là : 4 ± √ 5
b. Với S = 17, P = 180 thì S2 = 289 < 4P = 720 nên không sống sót hai số thỏa mãn nhu cầu nhu yếu của đề bài Ví dụ 2 : Tìm u – v biết u + v = 15, u. v = 36, u > v
Lời giải :
Vì S = 15, P = 36 thỏa mãn nhu cầu S2 ≥ 4P nên sống sót hai số u và v
Hai số đó là nghiệm của phương trình x2 – 15 x + 36 = 0
∆ = ( – 15 ) 2 – 4.36 = 225 – 144 = 81 > 0
Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Vậy hai số cần tìm là : 12 và 3
Do u > v nên u = 12 và v = 3 ⇒ u – v = 12 – 3 = 9
Ví dụ 3 : Cho phương trình x2 – 2 ( m – 1 ) x + m – 3 = 0

a, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2

b, Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2 không nhờ vào vào m
Hướng dẫn :
+ Điều kiện để phương trình trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 là : ∆ ’ > 0
Lời giải :
a, x2 – 2 ( m – 1 ) x + m – 3 = 0

∆’ = b’2 – ac = (m – 1)2 – (m – 3) = m2 – 3m + 4 = với mọi m

Vậy với mọi m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2
b, Với mọi m phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn nhu cầu hệ thức Vi-ét :

Ví dụ 2 : Cho phương trình 2×2 + ( 2 m – 1 ) x + m – 1 = 0 ( m là tham số ). Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không nhờ vào vào m .
Lơi giải
Δ = ( 2 m – 1 ) 2 – 4.2 ( – 1 ) = 4 mét vuông – 4 m + 1 – 8 m + 8 = 4 mét vuông – 12 m + 9 = ( 2 m – 3 ) 2 ≥ 0
Vì ∆ ≥ 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm x1 ; x2
Theo hệ thức Vi-et ta có :

Lấy ( 1 ) + ( 2 ) : 2 ( x1 + x2 ) + 4×1 x2 = – 1 không nhờ vào vào m
Tính những size của hình chữ nhật ABCD. Biết diện tích quy hoạnh và chu vi của nó theo thứ tự là 2 a2 và 6 a .
Ví dụ 3 : Cho phương trình x2 + 2 x + k = 0. Tìm giá trị của k để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn nhu cầu 1 trong những điều kiện kèm theo sau :
a ) x1 – x2 = 14
b ) x1 = 2×2
c ) x12 + x22 = 1
d ) 1 / x1 + 1 / x2 = 2
Lời giải :

Ví dụ 4 : Cho phương trình : x2 + ( 2 m – 1 ) x – m = 0 .
a ) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m .
b ) Gọi x1, x2là 2 nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị của m để biểu thức A = x12 + x22 – x1. x2 có giá trị nhỏ nhất
Lời giải

Bên trên chính là hàng loạt định lý Viet và ứng dụng có giúp những bạn học viên mạng lưới hệ thống lại kỹ năng và kiến thức toán học của mình từ đó hoàn toàn có thể vận dụng vào giải bài tập từ cơ bản đến nâng cao đơn thuần và đúng mực nhé

1/5 – ( 1 bầu chọn )

Source: https://vh2.com.vn
Category: Ứng Dụng