Phương trình Maxwell – Wikipedia tiếng Việt

James Clerk Maxwell

Các phương trình Maxwell bao gồm bốn phương trình, đề ra bởi James Clerk Maxwell, dùng để mô tả trường điện từ cũng như những tương tác của chúng đối với vật chất.
Bốn phương trình Maxwell mô tả lần lượt:

Đây cũng chính là nội dung của thuyết điện từ học Maxwell.

Các công thức của Maxwell vào năm 1865 bao gồm 20 phương trình với 20 ẩn số, nhiều phương trình trong đó được coi là nguồn gốc của hệ phương trình Maxwell ngày nay. Các phương trình của Maxwell đã tổng quát hóa các định luật thực nghiệm được những người đi trước phát hiện ra: chỉnh sửa định luật Ampère (ba phương trình cho ba chiều (x, y, z)), định luật Gauss cho điện tích (một phương trình), mối quan hệ giữa dòng điện tổng và dòng điện dịch (ba phương trình (x, y, z)), mối quan hệ giữa từ trường và thế năng vectơ (ba phương trình (x, y, z), chỉ ra sự không tồn tại của từ tích), mối quan hệ giữa điện trường và thế năng vô hướng cũng như thế năng vectơ (ba phương trình (x, y, z), định luật Faraday), mối quan hệ giữa điện trường và trường dịch chuyển (ba phương trình (x, y, z)), định luật Ohm về mật độ dòng điện và điện trường (ba phương trình (x, y, z)), và phương trình cho tính liên tục (một phương trình).
Các phương trình nguyên bản của Maxwell được viết lại bởi Oliver Heaviside và Willard Gibbs vào năm 1884 dưới dạng các phương trình vectơ. Sự thay đổi này diễn tả được tính đối xứng của các trường trong cách biểu diễn toán học. Những công thức có tính đối xứng này là nguồn gốc hai bước nhảy lớn trong vật lý hiện đại đó là thuyết tương đối hẹp và vật lý lượng tử.

Thật vậy, các phương trình của Maxwell cho phép đoán trước được sự tồn tại của sóng điện từ, có nghĩa là khi có sự thay đổi của một trong các yếu tố như cường độ dòng điện, mật độ điện tích… sẽ sinh ra sóng điện từ truyền đi được trong không gian. Vận tốc của sóng điện từ là c, được tính bởi phương trình Maxwell, bằng với vận tốc ánh sáng được đo trước đó bằng thực nghiệm. Điều này cho phép kết luận rằng ánh sáng là sóng điện từ. Các nghiên cứu về ánh sáng và sóng điện từ, tiêu biểu là các nghiên cứu của Max Planck về vật đen và của Heinrich Hertz về hiện tượng quang điện đã cho ra đời lý thuyết lượng tử.

Sự không nhờ vào của tốc độ ánh sáng vào chiều và hệ quy chiếu – những Tóm lại được rút ra từ phương trình Maxwell – là nền tảng của thuyết tương đối. Chú ý rằng khi ta đổi khác hệ quy chiếu, những đổi khác Galileo cổ xưa không vận dụng được vào những phương trình Maxwell mà phải sử dụng một biến đổi mới, đó là đổi khác Lorentz. Einstein đã vận dụng đổi khác Lorentz vào cơ học cổ xưa và cho sinh ra thuyết tương đối hẹp .

Bảng sau đây tóm tắt các phương trình và khái niệm cho trường hợp tổng quát. Ký hiệu bằng chữ đậm là vectơ, trong khi đó những ký hiệu in nghiêng là vô hướng.

Bảng sau đây liệt kê khái niệm của những đại lượng trong hệ giám sát SI :

Các đại lượng D và B liên hệ với E và H bởi:

D = ε 0 E + P = ( 1 + χ e ) ε 0 E = ε E { \ displaystyle \ mathbf { D } \ \ = \ \ \ varepsilon _ { 0 } \ mathbf { E } + \ mathbf { P } \ \ = \ \ ( 1 + \ chi _ { e } ) \ varepsilon _ { 0 } \ mathbf { E } \ \ = \ \ \ varepsilon \ mathbf { E } }

B = μ 0 ( H + M ) = ( 1 + χ m ) μ 0 H = μ H { \ displaystyle \ mathbf { B } \ \ = \ \ \ mu _ { 0 } ( \ mathbf { H } + \ mathbf { M } ) \ \ = \ \ ( 1 + \ chi _ { m } ) \ mu _ { 0 } \ mathbf { H } \ \ = \ \ \ mu \ mathbf { H } }

trong đó :

χ

e

{\displaystyle \chi _{e}}

là hệ số cảm ứng điện của môi trường,

χ

m

{\displaystyle \chi _{m}}

là hệ số cảm ứng từ của môi trường,

ε là hằng số điện môi của môi trường, và

μ là hằng số từ môi của môi trường.

Khi hai hằng số ε and μ phụ thuộc vào cường độ điện trường và từ trường, ta có hiện tượng phi tuyến; xem thêm trong các bài hiệu ứng Kerr và hiệu ứng Pockels.)

Trong thiên nhiên và môi trường tuyến tính[sửa|sửa mã nguồn]

Trong môi trường tuyến tính, vectơ phân cực điện P (coulomb / mét vuông) và vectơ phân cực từ M (ampere / mét) cho bởi:

P = χ e ε 0 E { \ displaystyle \ mathbf { P } = \ chi _ { e } \ varepsilon _ { 0 } \ mathbf { E } }

M = χ m H { \ displaystyle \ mathbf { M } = \ chi _ { m } \ mathbf { H } }

Trong môi trường tự nhiên không tán sắc ( những hằng số không phụ thuộc vào vào tần số của sóng điện từ ), và đẳng hướng ( không biến hóa so với phép quay ), ε và μ không nhờ vào vào thời hạn, phương trình Maxwell trở thành :

∇ ⋅ ε E = ρ { \ displaystyle \ nabla \ cdot \ varepsilon \ mathbf { E } = \ rho }

∇ ⋅ μ H = 0 { \ displaystyle \ nabla \ cdot \ mu \ mathbf { H } = 0 }

∇ × E = − μ ∂ H ∂ t { \ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf { E } = – \ mu { \ frac { \ partial \ mathbf { H } } { \ partial t } } }

∇ × H = J + ε ∂ E ∂ t { \ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf { H } = \ mathbf { J } + \ varepsilon { \ frac { \ partial \ mathbf { E } } { \ partial t } } }

Trong thiên nhiên và môi trường đồng đều ( không đổi khác so với phép tịnh tiến ), ε và μ không đổi theo khoảng trống, và hoàn toàn có thể được đưa ra ngoài những phép đạo hàm theo khoảng trống .Trong trường hợp tổng quát, ε và μ hoàn toàn có thể là tensor hạng 2 diễn đạt thiên nhiên và môi trường lưỡng chiết. Và trong những môi trường tự nhiên tán sắc ε và / hoặc μ phụ thuộc vào vào tần số ánh sáng ( sóng điện từ ), những sự nhờ vào này tuân theo mối liên hệ Kramers-Kronig .

Trong chân không[sửa|sửa mã nguồn]

Chân không là thiên nhiên và môi trường tuyến tính, đồng đẳng ( không đổi khác theo phép quay và phép tịnh tiến ), không tán sắc, với những hằng số ε0 và μ0 ( hiện tượng kỳ lạ phi tuyến trong chân không vẫn sống sót nhưng chỉ quan sát được khi cường độ ánh sáng vượt qua một ngưỡng rất lớn so với số lượng giới hạn tuyến tính trong thiên nhiên và môi trường vật chất ) .

D = ε 0 E { \ displaystyle \ mathbf { D } = \ varepsilon _ { 0 } \ mathbf { E } }

B = μ 0 H { \ displaystyle \ mathbf { B } = \ mu _ { 0 } \ mathbf { H } }

Đồng thời trong chân không không sống sót điện tích cũng như dòng điện, phương trình Maxwell trở thành :

∇ ⋅ E = 0 { \ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf { E } = 0 }

∇ ⋅ H = 0 { \ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf { H } = 0 }

∇ × E = − μ 0 ∂ H ∂ t { \ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf { E } = – \ mu _ { 0 } { \ frac { \ partial \ mathbf { H } } { \ partial t } } }

∇ × H = ε 0 ∂ E ∂ t { \ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf { H } = \ \ \ varepsilon _ { 0 } { \ frac { \ partial \ mathbf { E } } { \ partial t } } }

Những phương trình này có nghiệm đơn thuần là những hàm sin và cos miêu tả sự truyền sóng điện từ trong chân không, tốc độ truyền sóng là :

c = 1 μ 0 ε 0 { \ displaystyle c = { \ frac { 1 } { \ sqrt { \ mu _ { 0 } \ varepsilon _ { 0 } } } } }

Phương trình Maxwell-Gauss thừa kế từ định lý Gauss miêu tả liên hệ giữa thông lượng điện trường qua một mặt kín và tổng điện tích chứa trong mặt kín đó :

∮

S

D

⋅
d

A

=

∫

V

ρ
d
V

{\displaystyle \oint _{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} =\int _{V}\rho dV}

Phương trình này nói lên rằng: mật độ điện tích là nguồn của điện trường. Nói cách khác, sự hiện diện của điện tích (vế phải) sẽ gây nên một điện trường có điện cảm D thể hiện ở vế trái. Ví dụ: một điện tích điểm q nằm ở gốc tọa độ O. Định luật Coulomb cho biết trường tĩnh điện sinh ra bởi điện tích điểm này tại một điểm M trong không gian. Ta có

O
M

=

r

=
r
 

u

r

{\displaystyle \mathbf {OM} =\mathbf {r} =r\ \mathbf {u} _{r}}

với

u

r

{\displaystyle \mathbf {u} _{r}}

là vectơ li tâm có độ lớn đơn vị:

E ( M ) = q 4 π ε 0 r 2 u r { \ displaystyle \ mathbf { E } ( M ) \ = \ { \ frac { q } { 4 \ pi \ varepsilon _ { 0 } \, r ^ { 2 } } } \ \ mathbf { u } _ { r } }

Trường tĩnh điện này thỏa mãn nhu cầu phương trình Maxwell-Gauss với tỷ lệ điện tích :

ρ ( r, t ) = q δ ( 3 ) ( r ) { \ displaystyle \ rho ( \ mathbf { r }, t ) \ = \ q \ \ delta ^ { ( 3 ) } ( \ mathbf { r } ) }

trong đó

δ

(
3
)

(

r

)

{\displaystyle \delta ^{(3)}(\mathbf {r} )}

là hàm delta Dirac ba chiều.

Bảo toàn thông lượng[sửa|sửa mã nguồn]

Thông lượng của từ trường qua một mặt kín S luôn luôn bằng không :

∮

S

B

⋅
d

S

=
0

{\displaystyle \oint _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} =0}

Điều này chỉ ra sự không sống sót của đơn cực từ. Tương tự như điện tích điểm cho điện trường trong định luật Gauss, đơn cực từ là nguồn điểm của từ trường và nó luôn bằng không. Trong thực tiễn, nguồn của từ trường là những thanh nam châm từ. Một thanh nam châm hút là một lưỡng cực từ gồm có cực nam và cực bắc. Khi ta cắt thanh nam châm hút ra làm hai, ta sẽ thu được hai lưỡng cực từ chứ không phải là hai cực nam và bắc riêng không liên quan gì đến nhau .

Phương trình Maxwell-Faraday hay Định luật cảm ứng Faraday (còn gọi là Định luật Faraday-Lenz) cho biết mối liên hệ giữa biến thiên từ thông trong diện tích mặt cắt của một vòng kín và điện trường cảm ứng dọc theo vòng đó.

∮ S E ⋅ d s = − d Φ B d t { \ displaystyle \ oint _ { S } \ mathbf { E } \ cdot d \ mathbf { s } = – { d \ Phi _ { B } \ over dt } }

với E là điện trường cảm ứng, ds là một phần tử vô cùng bé của vòng kín và dΦB/dt là biến thiên từ thông.

.Phương trình Maxwell-Ampere cho biết sự Viral từ trường trong mạch kín với dòng điện đi qua đoạn mạch :

∮

S

B

⋅
d

s

=

μ

0

I

e
n
c

{\displaystyle \oint _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} =\mu _{0}I_{\mathrm {enc} }}

Xem thêm: Các linh kiện điện tử cơ bản – TKTECH Co., LTD

trong đó :

B

{\displaystyle \mathbf {B} }

là từ trường,

d

s

{\displaystyle d\mathbf {s} }

là thành phần vi phân của mạch kín

S

{\displaystyle S}

,

I

e
n
c

{\displaystyle I_{\mathrm {enc} }}

là dòng điện bao phủ bởi đường cong

S

{\displaystyle S}

,

μ

0

{\displaystyle \mu _{0}}

là độ từ thẩm của môi trường,

∮

S

{\displaystyle \oint _{S}}

là đường tích phân theo mạch kín

S

{\displaystyle S}

.

Hệ đơn vị CGS[sửa|sửa mã nguồn]

Các phương trình trên được cho trong hệ đo lường và thống kê quốc tế ( viết tắt là SI ). Trong hệ CGS ( hệ xentimét-gam-giây ), những phương trình trên có dạng sau :

∇ ⋅ E = 4 π ρ { \ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf { E } = 4 \ pi \ rho }

∇ ⋅ B = 0 { \ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf { B } = 0 }

∇ × E = − 1 c ∂ B ∂ t { \ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf { E } = – { \ frac { 1 } { c } } { \ frac { \ partial \ mathbf { B } } { \ partial t } } }

∇ × B = 1 c ∂ E ∂ t + 4 π c J { \ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf { B } = { \ frac { 1 } { c } } { \ frac { \ partial \ mathbf { E } } { \ partial t } } + { \ frac { 4 \ pi } { c } } \ mathbf { J } }

Trong chân không, những phương trình trên trở thành :

∇ ⋅ E = 0 { \ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf { E } = 0 }

∇ ⋅ B = 0 { \ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf { B } = 0 }

∇ × E = − 1 c ∂ B ∂ t { \ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf { E } = – { \ frac { 1 } { c } } { \ frac { \ partial \ mathbf { B } } { \ partial t } } }

∇ × B = 1 c ∂ E ∂ t { \ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf { B } = { \ frac { 1 } { c } } { \ frac { \ partial \ mathbf { E } } { \ partial t } } }

Phương trình truyền sóng[sửa|sửa mã nguồn]

Phương trình truyền sóng hay còn gọi là phương trình d’Alembert miêu tả sự truyền đi của sóng điện từ trong môi trường tự nhiên .
Bắt đầu từ phương trình :

∇
×
(
∇
×

E

)
=
∇
(
∇
⋅

E

)
−

∇

2

E

{\displaystyle \nabla \times (\nabla \times {\textbf {E}})=\nabla (\nabla \cdot {\textbf {E}})-\nabla ^{2}{\textbf {E}}}

Trong chân không ( với tỷ lệ điện tích bằng không ), phương trình Maxwell – Gauss có dạng :

∇
⋅

E

=
0

{\displaystyle \nabla \cdot {\textbf {E}}=0}

nên phương trình tiên phong trở thành :

∇
×
(
∇
×

E

)
=
−

∇

2

E

{\displaystyle \nabla \times (\nabla \times {\textbf {E}})=-\nabla ^{2}{\textbf {E}}}

.

Quay sang phương trình Maxwell-Faraday :

∇
×

E

=
−

∂

B

∂
t

{\displaystyle \nabla \times {\textbf {E}}=-{\frac {\partial {\textbf {B}}}{\partial t}}}

Lấy rot hai vế, phương trình trên trở thành :

∇
×

(

−

∂

B

∂
t

)

=
∇
×
(
∇
×

E

)
=
−

∇

2

E

{\displaystyle \nabla \times \left(-{\frac {\partial {\textbf {B}}}{\partial t}}\right)=\nabla \times (\nabla \times {\textbf {E}})=-\nabla ^{2}{\textbf {E}}}

Theo định luật Schwartz ta hoàn toàn có thể đổi thứ tự của đạo hàm theo khoảng trống và đạo hàm theo thời hạn ( hai biến này trọn vẹn độc lập trong vật lý phi tương đối tính ) :

−

∂

∂
t

(
∇
×

B

)
=
−

∇

2

E

{\displaystyle -{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times {\textbf {B}})=-\nabla ^{2}{\textbf {E}}}

Cùng với mật độ điện tích, vectơ mật độ dòng điện trong chân không cũng bằng không

j

=

0

{\displaystyle {\textbf {j}}={\textbf {0}}}

, nên phương trình Maxwell-Ampère trở thành:

∇
×

B

=

1

c

2

∂

E

∂
t

{\displaystyle \nabla \times {\textbf {B}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\textbf {E}}}{\partial t}}}

nên cuối cùng ta thu được một phương trình đạo hàm riêng cấp hai cho vecto cường độ điện trường

E

{\displaystyle {\textbf {E}}}

với nghiệm có dạng dao động điều hòa:

∇

2

E

=

1

c

2

∂

2

E

∂

t

2

{\displaystyle \nabla ^{2}{\textbf {E}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\textbf {E}}}{\partial t^{2}}}}

Trong một số ít sách, ta hoàn toàn có thể thấy phương trình này được viết dưới dạng :

Δ

E

=

1

c

2

∂

2

E

∂

t

2

{\displaystyle \Delta {\textbf {E}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\textbf {E}}}{\partial t^{2}}}}

với toán tử

Δ
=

∇

2

{\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}}

.

Đây là phương trình truyền sóng điện từ ( thành phần điện trường ) trong chân không. Trong dạng 4 chiều, phương trình này đặc biệt quan trọng gọn :

Δ

E

=
0

{\displaystyle \Delta {\textbf {E}}=0}

.

Hoàn toàn tương tự như như trên cho từ trường, ta có :

r
o
t

→

(

r
o
t

→

H
→

)
=

g
r
a
d

→

(
d
i
v

H
→

)
−

∇

2

H
→

{\displaystyle {\vec {rot}}({\vec {rot}}{\vec {H}})={\vec {grad}}(div{\vec {H}})-{\nabla }^{2}{\vec {H}}}

Trong chân không tỷ lệ dòng điện bằng không, phương trình Maxwell-Ampère trở thành :

r
o
t

→

H
→

=

ϵ

0

∂

E
→

∂
t

{\displaystyle {\vec {rot}}{\vec {H}}=\epsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}}

Phương trình trên trở thành :

r
o
t

→

(

ϵ

0

∂

E
→

∂
t

)
=
−

∇

2

H
→

{\displaystyle {\vec {rot}}(\epsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}})=-{\nabla }^{2}{\vec {H}}}

Theo định luật Schwartz ta co thể đổi thứ tự của đạo hàm theo khoảng trống và đạo hàm theo thời hạn :

ϵ

0

∂

∂
t

(

r
o
t

→

E
→

)
=
−

∇

2

H
→

{\displaystyle \epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}({\vec {rot}}{\vec {E}})=-{\nabla }^{2}{\vec {H}}}

Theo định luật Maxwell-Faraday cho chân không ta có:

r
o
t

→

E
→

=
−

μ

0

∂

H
→

∂
t

{\displaystyle {\vec {rot}}{\vec {E}}=-\mu _{0}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}}

Thu được :

∇

2

H
→

=

1

c

2

∂

2

H
→

∂

t

2

{\displaystyle {\nabla }^{2}{\vec {H}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {H}}}{\partial t^{2}}}}

Đây là phương trình truyền sóng điện từ ( thành phần từ trường ) trong chân không .

Source: https://vh2.com.vn
Category : Điện Tử