Xét Tính Đơn Điệu Của Hàm Số Chứa Căn Thức: Phương Pháp Và Bài Tập

1. Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số chứa căn và ví dụ minh họa

1.1. Định nghĩa tính đơn điệu của hàm số là gì

Cho hàm số y = f ( x ) xác lập trên K ( với K là một khoảng chừng hoặc một đoạn hoặc nửa khoảng chừng ) .

• Hàm số y = f ( x ) là đồng biến ( tăng ) trên K nếu :

$\forall X_{1},X_{2}\in  K,X_{1}

• Hàm số y = f ( x ) là nghịch biến ( giảm ) trên K nếu : 

$\forall X_{1},X_{2}\in  K,X_{1}f(X_{2})$

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K .

1.2 Lưu ý khi xét tính đơn điệu của hàm số chứa căn

Khi xét tính đơn điệu của hàm số chứa căn cần phải tìm điều kiện kèm theo xác lập của hàm số dưới căn thức và vận dụng một lần nữa ở bước cuối .
Phương pháp dùng để xét tính đơn điệu của hàm số chứa căn gồm có những bước sau :
Bước 1 : Tìm tập xác lập ( xét sao cho phần trong căn lớn hơn 0 ) .
Bước 2 : Tính đạo hàm y ‘ = f ‘ ( x ) của căn thức .
Bước 3 : Tìm nghiệm của f ‘ ( x ) hoặc những giá trị làm hàm số không xác lập .
Bước 4 : Lập bảng biến thiên .
Bước 5 : Kết luận .
Ví dụ :
Bài tập 1 : Tìm khoảng chừng đồng biến của hàm số sau y = $ \ sqrt { x ^ { 2 } – 2 x } $ .
A. ( – ∞ ; 0 )
B. ( 0 ; 2 )
C. ( 0 ; + ∞ )
D. ( 2 ; + ∞ )
=> CHỌN D
Bài giải :
Ta có tập xác lập của hàm số đã cho là USD x ^ { 2 } – 2 x \ geq 0 \ Leftrightarrow [ \ begin { matrix } x \ leq 0 \ \ x \ geq 2 \ end { matrix } USD. Tập xác lập : D = ( – ∞ ; 0 ] ∪ [ 2 ; + ∞ ) .
Lại có y ‘ = $ \ frac { x-1 } { \ sqrt { x ^ { 2 } – 2 x } } $, $ \ forall x \ in ( – \ infty ; 0 ) \ cup ( 2 ; + \ infty ) USD
=> Hàm số không có đạo hàm tại : x = 0 và x = 2 .
Ta có y ‘ = 0 < => $ \ frac { x-1 } { \ sqrt { x ^ { 2 } – 2 x } } = 0 \ Leftrightarrow x-1 = 0 \ Leftrightarrow x = 1 USD
Có bảng biến thiên :

Từ đó, ta thấy hàm số đồng biến trên ( 2 ; + ∞ ) .
Bài tập 2 : Tìm khoảng chừng đồng biến của hàm số y = $ \ frac { x + 2 } { \ sqrt { x ^ { 2 } – x + 3 } } $
A. USD ( 1 ; + \ infty ) USD
B. USD ( \ frac { 8 } { 5 } ; + \ infty ) USD
C. USD ( – \ infty ; \ frac { 8 } { 5 } ) USD
D. USD ( – \ infty ; 2 ) USD
=> CHỌN C
Bài giải :
Tập xác lập của hàm số khi USD x ^ { 2 } – x + 3 > 0 USD đúng $ \ forall x \ in R USD
Vậy tập xác lập D = R
Ta có : y ‘ = $ \ frac { \ sqrt { x ^ { 2 } – x + 3 } – \ frac { ( 2 x – 1 ) ( x + 2 ) } { 2 \ sqrt { x ^ { 2 } – x + 3 } } } { x ^ { 2 } – x + 3 } = \ frac { – 5 x + 8 } { 2 \ sqrt { ( x ^ { 2 } – x + 3 ) } ^ { 3 } } $
y ‘ = 0 < => $ \ frac { – 5 x + 8 } { 2 \ sqrt { ( x ^ { 2 } – x + 3 ) } ^ { 3 } } = 0 \ Leftrightarrow – 5 x + 8 = \ frac { 8 } { 5 } $
Ta có bảng biến thiên :

2. Một số bài tập trắc nghiệm về tính đơn điệu của hàm số chứa căn ( có đáp án )

Bài 1 : Hàm số y = $ \ sqrt { 2 x – x ^ { 2 } } $ nghịch biến trên khoảng chừng nào ?
A. ( 0 ; 1 ) .
B. ( – ∞ ; 1 ) .
C. ( 1 ; 2 ) .
D. ( 1 ; + ∞ ) .
=> CHỌN C
Bài giải :
Ta có tập xác lập D = [ 0 ; 2 ]
Lại có y ‘ = $ \ frac { 1 – x } { \ sqrt { 2 x – x ^ { 2 } } } ; \ forall x \ in ( 0 ; 2 ) USD ; y ‘ = 0 < => x = 1
Ta có bảng biến thiên :

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng chừng ( 1 ; 2 )
Bài 2 : Cho hàm số y = $ \ sqrt { x ^ { 2 } – 6 x + 5 } USD. Chọn mệnh đề đúng .
A. Hàm số đồng biến trên khoảng chừng ( 5 ; + ∞ ) .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng chừng ( 3 ; + ∞ ) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng chừng ( – ∞ ; 1 ) .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng chừng ( – ∞ ; 3 ) .
=> CHỌN A
Ta có tập xác lập D = ( – ; 1 ] [ 5 ; + )
Lại có y ‘ = $ \ frac { x-3 } { \ sqrt { x ^ { 2 } – 6 x + 5 } } > 0, \ forall x \ in ( 5 ; + \ infty ) USD
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng chừng USD ( 5 ; + \ infty ) USD .
Bài 3 : Cho hàm số y = $ \ sqrt { x ^ { 2 } – 1 } USD. Chọn mệnh đề đúng .
A. Hàm số có đồng biến trên khoảng chừng ( 0 ; + ∞ ) .
B. Hàm số đồng biến trên ( – ∞ ; + ∞ )
C. Hàm số có đồng biến trên khoảng chừng ( 1 ; + ∞ ) .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng chừng ( 1 ; + ∞ ) .
=> CHỌN C
Ta có tập xác lập D = $ ( – \ infty ; – 1 ] \ cup [ 1 ; + \ infty ) USD
Có y ‘ = $ \ frac { x } { \ sqrt { x ^ { 2 } – 1 } } ; \ forall x \ in ( – \ infty ; 1 ) \ cup ( 1 ; + \ infty ) USD
Ta có bảng biến thiên :

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng chừng ( 1 ; + ∞ ) .
Bài 4 : Hỏi hàm số y = $ \ sqrt { x ^ { 2 } – 4 x + 3 } $ đồng biến trên khoảng chừng nào ?
A. ( 2 ; + ∞ )
B. ( – ∞ ; 3 )
C. ( – ∞ ; 1 )

D. (3;+∞)

=> CHỌN D
Ta có tập xác lập D = $ [ – \ infty ; 1 ) \ cup [ 3 ; + \ infty ) USD
Lại có y ‘ = x-2×2-4x+3 ; x ( – ; 1 ) ( 1 ; + )
y ‘ > 0 x-2×2-4x+3 > 0 x > 2
Kết hợp tập xác lập của hàm số, suy ra khoảng chừng đồng biến của hàm số là ( 3 ; + ∞ )
Bài 5 : Hàm số y = $ \ frac { 2 x – 3 } { x ^ { 2 } – 1 } $ nghịch biến trên khoảng chừng nào trong những khoảng chừng dưới đây ?
A. $ ( – \ infty ; – 1 ) USD và USD ( 1 ; \ frac { 3 } { 2 } ) USD
B. USD ( \ frac { 3 } { 2 } ; + \ infty ) USD
C. USD ( 1 ; \ frac { 3 } { 2 } ) USD
D. USD ( – \ infty ; – 1 ) USD
=> CHỌN D
Tập xác lập D = $ ( – \ infty ; – 1 ) \ cup ( 1 ; + \ infty ) USD

Bài 6 : Tìm khoảng chừng nghịch biến của hàm số y = $ \ frac { \ sqrt { x ^ { 2 } – 1 } } { x-2 } $ ?
A. USD ( 1 ; 2 ) USD và USD ( 2 ; + \ infty ) USD
B. USD ( 2 ; + \ infty ) USD
C. USD ( – \ infty ; \ frac { 1 } { 2 } ) USD
D. USD ( \ frac { 1 } { 2 } ; + \ infty ) USD
=> CHỌN C
Ta có tập xác lập USD ( – \ infty ; – 1 ] \ cup [ 1 ; + \ infty ) USD \ { 2 }
Ta có y ‘ = $ \ frac { \ frac { x ( x-2 ) } { \ sqrt { x ^ { 2 } – 1 } } } { ( x-2 ) ^ { 2 } } = \ frac { – 2 x + 1 } { \ sqrt { x ^ { 2 } – 1 ( x-2 ) ^ { 2 } } } ; \ forall x \ in ( – \ infty ; 1 ) \ cup ( 1 ; + \ infty ) USD \ { 2 }
Có y ‘ = 0 $ \ Leftrightarrow x = \ frac { 1 } { 2 } $
Suy ra y ‘ < 0 $ \ Leftrightarrow \ frac { - 2 x + 1 } { \ sqrt { x ^ { 2 } - 1 ( x-2 ) ^ { 2 } } } < 0 \ Leftrightarrow - 2 x + 1 < 0 \ Leftrightarrow x > \ frac { 1 } { 2 } $
Kết hợp với điều kiện kèm theo ta có hàm số nghịch biến trên những khoảng chừng ( 1 ; 2 ) và ( 2 ; + ∞ )
Bài 7 : Cho hàm số y = $ \ sqrt { x-1 } + \ sqrt { 9 – x } USD. Chọn mệnh đề đúng .
A. Hàm số đồng biến trên khoảng chừng ( 5 ; 9 )
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng chừng ( 5 ; 9 )
C. Hàm số đồng biến trên khoảng chừng ( 1 ; 9 )
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng chừng ( 1 ; 9 )
=> CHỌN B

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng chừng ( 5 ; 9 ) .
Bài 8 : Hàm số nào sau đây là hàm số đồng biến trên R ?
A. y = tanx
B. y = $ \ frac { x } { x + 1 } $
C. y = $ \ frac { x } { \ sqrt { x + 1 } } $
D. y = $ x ^ { 3 } – 2 x ^ { 2 } – x + 1 USD
=> CHỌN C
Ta có : Hàm số y = tan ⁡ x đồng biến trên mỗi khoảng chừng USD ( \ frac { – \ pi } { 2 } + k \ pi ; \ frac { \ pi } { 2 } + k \ pi ) USD, k ∈ Z nên loại A .
Hàm số y = $ \ frac { x } { x + 1 } ; ( x \ neq – 1 ) USD có y ‘ = $ \ frac { 1 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } > 0 $ với ∀ x ≠ – 1 nên loại B .
Hàm số y = $ \ frac { x } { \ sqrt { x + 1 } } $ có TXĐ : D = R
Có y ‘ = $ \ frac { \ sqrt { x ^ { 2 } + 1 } – \ frac { x ^ { 2 } } { \ sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } } { x ^ { 2 } + 1 } = \ frac { 1 } { ( x ^ { 2 } + 1 ) } \ sqrt { x ^ { 2 } + 1 } > 0 $ $ \ forall x \ in R USD
Nên hàm số y = $ \ frac { 2 } { \ sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } $ đồng biến trên R .
Bài 9 : Hàm số nào sau đây đồng biến trên R ?
A. y = $ x ^ { 4 } – x ^ { 3 } + 2 x USD
B. y = sinx
C. y = $ \ frac { x-1 } { x + 1 } $
D. y = $ x \ sqrt { x ^ { 2 } + 1 } $
=> CHỌN D

• Bỏ đáp án A : y = $ x ^ { 4 } – x ^ { 3 } + 2 x USD

Tập xác lập : D = R, y ‘ = $ 4 x ^ { 3 } – 3 x ^ { 2 } + 2 = 0 USD ( * ) .
Phương trình ( * ) luôn có một nghiệm nên hàm số không đồng biến trên R .

• Bỏ đáp án B : y = sin ⁡ x luôn đồng biến trên mỗi khoảng chừng USD ( \ frac { – \ pi } { 2 } + k2 \ pi ; \ frac { \ pi } { 2 } + k2 \ pi ) USD, nghịch biến trên mỗi khoảng chừng USD ( \ frac { \ pi } { 2 } + k2 \ pi ; \ frac { 3 \ pi } { 2 } + k2 \ pi ) USD nên hàm số không đồng biến trên R .
• Bỏ đáp án C : y = $ \ frac { x-1 } { x + 1 } USD. TXĐ : D = R \ { – 1 }. y ‘ = $ \ frac { 2 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } > 0 $ ∀ x ≠ – 1 ⇒ hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng chừng xác lập ( – ∞ ; – 1 ) và ( – 1 ; + ∞ ) .
• Chọn đáp án D : y = $ x \ sqrt { x ^ { 2 } + 1 } USD. TXĐ : D = R. y ‘ = $ \ sqrt { x ^ { 2 } + 1 } + \ frac { x ^ { 2 } } { \ sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } > 0 $ ∀ x ∈ R

⇒ Suy ra : hàm số luôn đồng biến trên R .
Bài 10 : Tìm khoảng chừng tổng thể những giá trị thực của m để phương trình USD x + 1 = 3 m \ sqrt { 2 x ^ { 2 } + 1 } $ có hai nghiệm thực phân biệt .

A. $\frac{\sqrt{2}}{6}

B. $-\frac{\sqrt{2}}{6}
C. $ m < \ frac { \ sqrt { 2 } } { 2 } $ D. $ m > \ frac { \ sqrt { 6 } } { 2 } $
=> CHỌN A
Ta có USD x + 1 = 3 m \ sqrt { 2 x ^ { 2 } + 1 } \ Leftrightarrow \ frac { x + 1 } { \ sqrt { 2 x ^ { 2 } + 1 } } = 3 m USD ( 1 )
Xét hàm số : f ( x ) = $ \ frac { x + 1 } { \ sqrt { 2 x ^ { 2 } + 1 } } $ trên R
Ta có f ( x ) ’ = $ \ frac { 2 z ^ { 2 } + 1 – \ frac { ( x + 1 ) 2 x } { \ sqrt { 2 x ^ { 2 } + 1 } } } { 2 x ^ { 2 } + 1 } = \ frac { 1-2 x } { \ sqrt { ( 2 x ^ { 2 } + 1 ) ^ { 3 } } } $
f ‘ ( x ) = 0 < => $ x = \ frac { 1 } { 2 } ; \ lim_ { x \ rightarrow + \ infty } = \ frac { 1 } { \ sqrt { 2 } } ; \ lim_ { x \ rightarrow – \ infty } = \ frac { 1 } { – \ sqrt { 2 } } $
Ta có bảng biến thiên :

Theo bảng biến thiên ta có phương trình ( 1 ) có hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi :

$\frac{1}{\sqrt{2}}<3m<\frac{\sqrt{6}}{2}\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{6}
Bài 11 :

A. $ ( – \ infty ; – \ sqrt { 3 } ), ( 0 ; \ sqrt { 3 } ) USD

B. $(-\infty ;-\sqrt{3}),(\sqrt{3};+\infty )$

C. USD ( – \ sqrt { 3 } ; 0 ), ( \ sqrt { 3 } ; + \ infty ) USD
D. USD ( – \ infty ; – \ sqrt { 3 } ), ( 0 ; + \ infty ) USD
Trên đây là hàng loạt kim chỉ nan và cách xét tính đơn điệu của hàm số chứa căn thường gặp. Để đạt được hiệu quả như mong ước, những em hãy góp vốn đầu tư thời hạn rèn luyện thêm nhiều dạng bài khác nữa. Em hoàn toàn có thể truy vấn Vuihoc. vn và ĐK thông tin tài khoản để luyện đề ! Chúc những em đạt hiệu quả cao trong kỳ thi trung học phổ thông Quốc Gia sắp tới .

Source: https://vh2.com.vn
Category : Đánh Giá